数列单元测试卷
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.
第Ⅰ卷(选择题)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1
2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,1
2
,
1
3
,
1
4
,…
B.-1,2,-3,4,…
C.-1,-1
2
,-
1
4
,-
1
8
,…
D.1,2,3,…,n
3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,
则该数列的公差d=________.( )
A.2 B.3 C.6 D.7
4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )
A.90 B.100 C.145 D.190
6.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
7.等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( )
A.无实根 B.有两个相等实根
C.有两个不等实根D.不能确定有无实根
8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列???
???
???
?11+a n 是等差数列,则a 11等于( )
A .0 B.12 C.2
3 D .-1
9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3n -1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n },那么162是新数列{b n }的( )
A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项
10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }
是以1为首项,2为公比的等比数列,则
A .1 033 B.1 034 C .2 057 D .2 058
11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,17
1==S a .记
[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,
[]199lg =.则b 11的值为( )
A.11
B.1
C. 约等于1
D.2
12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:
则第七个三角形数是( )
A.27 B.28 C.29 D.30
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n(n∈N*),则前8项的和S8=________(用数字作答).
14.数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+n(n≥2),则a5=________.
15.已知数列{a n}的前n项和S n=-2n2+n+2.则{a n}的通
项公式a n=________
16.在等差数列{a n}中,其前n项的和为S n,且S6<S7,S7>S8,有下列四个命题:
①此数列的公差d<0;
②S9一定小于S6;
③a7是各项中最大的一项;
④S7一定是S n中的最大项.
其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号) 三.解答题(共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分) (1) (全国卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,求S n
(2) 已知{b n}是各项都是正数的等比数列,若b1=1,且b2,1
b3,2b1成等差数列,求数列{b n}的通项公式.
2
18.(12分)等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16,
(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.
19. (12分)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{a n}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前10项和.
20.(12分)数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,
b n=a n-a n-1(n≥2),若a n+S n=n,
c n=a n-1.
(1)求证:数列{c n}是等比数列;
(2)求数列{b n}的通项公式.
21.(12分)(全国卷)设数列{}n a 满足+3+…+(2n-1) =2n ,.
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ??
??+??
的前n 项和.
22.(12分)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n +1a n
a n +2n
(n ∈N *
). (1)证明:数列{2n
a n }是等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式a n ;
(3)设b n =n(n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .
数列单元测试卷(解答)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1
解析:选B 由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n=2n+1,故选B.
2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,1
2
,
1
3
,
1
4
,…
B.-1,2,-3,4,…
C.-1,-1
2
,-
1
4
,-
1
8
,…
D.1,2,3,…,n
解析:选C A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列.
3.记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( )
A.2 B.3 C.6 D.7
解析:选B S4-S2=a3+a4=20-4=16,
∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)=4d=16-4=12,
∴d=3.
4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
解析:选D ∵2a n+1-2a n=1,
∴a n+1-a n=1 2,
∴数列{a n}是首项a1=2,公差d=1
2
的等差数列,
∴a101=2+1
2
(101-1)=52.
5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )
A.90 B.100 C.145 D.190
解析:选B 设公差为d,
∴(1+d)2=1×(1+4d),
∵d≠0,
∴d =2,从而S 10=100.
6.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( )
A .1 B.2 C .4 D .8
解析:选A 因为a 3a 11=a 27,又数列{a n }的各项都是正数,所以解得a 7=4,由a 7=a 5·22=4a 5,求得a 5=1.
7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2+(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根
B.有两个相等实根 C .有两个不等实根
D .不能确定有无实根
解析:选A 由于a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,即3a 5=9, ∴a 5=3,方程为x 2+6x +10=0,无实数解.
8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列???
???
???
?11+a n 是等差数列,则a 11等于( )
A .0 B.12 C.2
3
D .-1
解析:选B 设数列{b n}的通项b n=
1
1+a n
,因{b n}为等差数
列,b3=
1
1+a3
=
1
3
,b7=
1
1+a7
=
1
2
,公差d=
b7-b3
4
=
1
24
,
∴b11=b3+(11-3)d=1
3
+8×
1
24
=
2
3
,
即得1+a11=3
2
,a11=
1
2
.
9.等比数列{a n}的通项为a n=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n},那么162是新数列{b n}的( )
A.第5项 B.第12项C.第13项 D.第6项
解析:选C 162是数列{a n}的第5项,则它是新数列{b n}的第5+(5-1)×2=13项.
10.设数列{a n}是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n}是以1为首项,2为公比的等比数列,则
A.1 033 B.1 034 C.2 057 D.2 058 解析:选A 由已知可得a n=n+1,b n=2n-1,
于是ab n =b n +1, 因此
(b 1+1)+(b 2+1)+…+(b 10+1)=b 1+b 2+…+b 10+10=20+21+…+29+10 =1-2101-2+10=1 033.
11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,17
1==S a .记
[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,
[]199lg =.则b 11的值为( )
A.11
B.1
C. 约等于1
D.2 解析:设{}n
a 的公差为d ,据已知有1×72128d +=,
解得 1.d =
所以{}n
a 的通项公式为.n
a
n =
b 11=[lg11 ]=1
12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示:
则第七个三角形数是( )
A.27 B.28 C.29 D.30
解析:选B 法一:∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28.
法二:由图可知第n个三角形数为n n+1
2
,
∴a7=7×8
2
=28.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n(n∈N*),则前8项的和S8=________(用数字作答).
解析:由a1=1,a n+1=2a n(n∈N*)知{a n}是以1为首项,以2为公比的等比数列,由通项公式及前n项和公式知S8=
a11-q8
1-q =
1·1-28
1-2
=255.
答案:255
14.数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+n(n≥2),则a5=________.
解析:由a n =a n -1+n(n≥2),得a n -a n -1=n.则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,
a 5-a 4=5,把各式相加,得a 5-a 1=2+3+4+5=14, ∴a 5=14+a 1=14+1=15. 答案:15
15.已知数列{a n }的前n 项和S n =-2n 2+n +2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n =-2n 2+n +2,
当n≥2时,S n -1=-2(n -1)2+(n -1)+2 =-2n 2+5n -1, ∴a n =S n -S n -1
=(-2n 2+n +2)-(-2n 2+5n -1) =-4n +3.
又a 1=S 1=1,不满足a n =-4n +3, ∴数列{a n }的通项公式是
a n =???
1,n =1,-4n +3,n≥2.
16.在等差数列{a n}中,其前n项的和为S n,且S6<S7,S7>S8,有下列四个命题:
①此数列的公差d<0;
②S9一定小于S6;
③a7是各项中最大的一项;
④S7一定是S n中的最大项.
其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号)
解析:∵S7>S6,即S6<S6+a7,
∴a7>0.同理可知a8<0.
∴d=a8-a7<0.
又∵S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,
∴S9<S6.
∵数列{a n}为递减数列,且a7>0,a8<0,
∴可知S7为S n中的最大项.
答案:①②④
三、解答题(共4小题,共50分)
17.(12分) (1) (全国卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,求S n
(2) 已知{b n}是各项都是正数的等比数列,若b1=1,且b2,
1
2
b3,2b1成等差数列,求数列{b n}的通项公式.解: (1)设等差数列首项为a1,公差为d,
则a4+a5=2a1+7d=24,①
S 6=6a1+d=6a1+15d=48,②
由①②得d=4.a1=-2
S N=-2n+n(n-1) ×4/2=2n2-4n
(2)由题意可设公比为q,则q>0,
由b1=1,且b2,1
2
b3,2b1成等差数列得b3=b2+2b1,
∴q2=2+q,
解得q=2或q=-1(舍去),
故数列{b n}的通项公式为b n=1×2n-1=2n-1.
18.(12分)等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16,
(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n. 解:(1)设{a n}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴a n=2n.
(2)由(1)得a3=8,a5=32,
则b3=8,b5=32.
设{b n }的公差为d ,
则有???
b 1+2d =8, b 1+4d =32,
解得???
b 1=-16,d =12.
从b n =-16+12(n -1)=12n -28, 所以数列{b n }的前n 项和 S n =n
-16+12n -28
2
=6n 2-22n.
19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{a n }的通项公式;
(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得
解得
或
所以由等差数列通项公式可得
a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.
(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条
件.
故|a n |=|3n-7|=
记数列{|a n |}的前n 项和为S n .
S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10| =4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =105
20.(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n≥2),若a n +S n =n ,c n =a n -1. (1)求证:数列{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.
解:(1)证明:∵a 1=S 1,a n +S n =n ①, ∴a 1+S 1=1,得a 1=1
2.
又a n +1+S n +1=n +1②,
①②两式相减得2(a n +1-1)=a n -1, 即a n +1-1a n -1=12,也即c n +1c n =12, 故数列{c n }是等比数列. (2)∵c 1=a 1-1=-12
,
∴c n =-12n ,a n =c n +1=1-1
2n ,
a n -1=1-
12n -1
.
故当n≥2时,b n =a n -a n -1=1
2n -1-12n =1
2n .
又b 1=a 1=1
2,
所以b n =1
2n .
21.(12分)(全国卷)设数列{}n a 满足+3+…+(2n-1) =2n ,.
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ??
?
?+??
的前n 项和.
解:(1)因为+3+…+(2n-1) =2n ,故当n≥2时,
+3+…+(-3)
=2(n-1)
两式相减得(2n-1)=2所以=
(n≥2)
又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.
(2)记 {
}的前n 项和为
,
由(1)知 = = - . 则 = - + - +…+
-
=
.
22.(12分)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n +1a n
a n +2n
(n ∈N *
). (1)证明:数列{2n
a n }是等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式a n ;
(3)设b n =n(n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:由已知可得a n +12n +1=a n
a n +2n , 即2n +1a n +1=2n a n +1,即2n +1a n +1-2n a n =1. ∴数列{2n
a n }是公差为1的等差数列.
(2)由(1)知2n a n =2
a 1+(n -1)×1=n +1,
∴a n =2n
n +1
.
(3)由(2)知b n =n·2n .
S n =1·2+2·22+3·23+…+n·2n ,
必修5 数列 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n =n (n =1,2,3,…),那么数列{a n }( ) A .是公比为2的等比数列 B .是公差为2的等差数列 C .是公比为1 2的等比数列 D .既非等差数列也非等比数列 2.一个数列{a n },其中a 1=3,a 2=6,a n +2=a n +1-a n ,则a 5=( ) A .6 B .-3 C .-12 D .-6 3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( ) A .a n -1 B .Na C .a n D .(n -1)a 4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }的前7项和为( ) A .63 B .64 C .127 D .128 5.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)的值等于( ) A .-8 B .8 C .-9 8 D.98 6.在-12和8之间插入n 个数,使这n +2个数组成和为-10的等差数列,则n 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 7.已知{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( ) A .4 B.1 4 C .-4 D .-14 8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19=( ) A .55 B .95 C .100 D .190 9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( ) A .S 7 B .S 4 C .S 13 D .S 16 10.等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62,则通项是( ) A .2 n -1 B .2 n C .2 n +1 D .2 n +2 11.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A .4或5 B .5或6 C .6或7 D .不存在
数列单元测试卷 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于() A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() A.1,1 2, 1 3, 1 4,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2,- 1 4,- 1 8,… D.1,2,3,…,n 3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.() A.2 C.6 D.7 4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为() A.49 C.51 D.52 5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是() A.90 C.145 D.190 6.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=() A.1 C.4 D.8 7.等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程:x2+(a4+a6)x+10=0()
A .无实根 B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根 8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列? ?????11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 D .-1 9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3n - 1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n },那么162是新数列{b n }的( ) A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则 A .1 033 034 C .2 057 D .2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) C. 约等于1 12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示: 则第七个三角形数是( ) A .27 C .29 D .30 第II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)