(精品)数学讲义3分数指数幂(教师)
分数指数幂
课时目标
1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化；
2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算；
知识精要
1. 分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，规定：
(0)m n
a a =≥m n
a
-
=(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >.
m n
a 和m n
a
-叫做分数指数幂，a 是底数.
注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质
设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a =
（3）(),()p
p
p
p
p p a a ab a a b b
==
4. 分数指数幂的运算
（1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算.
（2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.
热身练习
1. 把下列方根化为幂的形式
（1 （2） （3 解：原式132= 解：原式1310=- 解：原式14
5=±
（4） （5 （6 解：原式13(7)=-- 解：原式=31a - 解：原式12
()a =-
说明：根据1
n
a =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算
（1）131()27- （2）2
3
8()27
（3）121()16-
解：原式13=- 解：原式49=
解：原式1
4=-
（4）0.57
(1)9
（5）1
2(32) （6）31
21)64(
解：原式4
3=
解：原式= 解：原式=2
3. 计算
（1）1
38()27
（2）21331010? （3）11
2228?
解：原式=3
2
解：原式=10 解：原式=4
（4）111362a a a ÷ （5）2110
55(25)? 解：原式=3
1a 解：原式=400
4. 利用幂的运算性质运算：
（1 （2 （3解：原式56
5= 解：原式=542 解：原式=16
23
精解名题
例1 计算
（1）4
3
555÷? （2）25
12
32)3(32)27(2-+---
解：原式=12
75 解：原式=－12
（3）6
4
3
321648?÷? （4）
12
43a
a
a a ??
解：原式=3
12 解：原式=a
（5）053
21
)15(125)25
9(+--- （6）341
41
331
064.028|48|÷?--
解：原式=3
23
解：原式=5
（7）4141241)21
()41()21(+?+?-a a a （8）)4()2(331
2161326561y x y x y x ?-÷
解：原式=2
1
164
4-a 解：原式=6y
（9）2
1
2131
])27[()3()64
27(-+---- （10）221
21
])32()32[(--++
解：原式=33834+- 解：原式=6
1
例2 94,24==β
α，求β
α2
122-的值.
解：33
23
2)
4(424
12
12==
÷=-
-β
αβ
α
例3 ）（，求下列各式的值已知12
12
11:3--+=+x x x
x ）（222-+x x
解：由已知得：72)(2
212
1
1
=-+=+--x x x x
∴472)(2122=-+=+--x x x x
例4 的值，求已知3213
13
13
133124---++??=a a a a . 解：由已知得：a =2 ∴原式=8
19
例5 化简
a b c c a a b
b c
a c
a b
x x ----++
解：原式=a
c c
b b a c
b b
a c a b
a a
c c b x
x
x --+--+--+??11
11
11
)
)
(()
)(()
)
((
=a
c c b b a c b b a c a b a a c c b x
-?-++-?-++-?-+1
11
=1
备选例题
例1 已知1
3x x -+=，求下列各式的值：（1）112
2x x -
+；（2）332
2
x x -
+.
解：（1）∵1
3x x -+= ∴ 1122
2()23x x -
+-= ∴112
2
x x
-
+=
（2）3
32
2
x x
-+=113
3
22()()x x -+=1112
2
()(1)x x x x --+-+=
例2 已知210(0)x
a
a =>，求x x
x x
a a a a --+-的值.
解：222222()212.1;()28.1x x x x x x x x a a a a a a a a ----+=++=-=+-=
∴原式=9
11
81121=
例3 已知：01522≤--x x ，化简25109622+--++x x x x . 解：∵ 01522≤--x x ∴ 0)3)(5(≤+-x x ∴ 53≤≤-x
∴ 03≥+x ，05≤-x
∴ 原式53)5()3(22--+=--+=x x x x 2253-=-++=x x x
巩固练习
1.用幂的形式表示下列各数 （1）6
3
5-
3
2
3- 解：2
166= 3
13
55-=-
21
)3
2(32= 21
33-=-
（2）3
m 错误!未找到引用源。
n
a 2-
1
27+-n
解：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
3
1
3
m m =
2
12)
(a a n
-=-
1
211
27
7++-=-n n
2. 计算
（1）1
320.8
3
211[0.125()32](2)34----+÷
（2
解：原式=[2－9+16]÷错误!未找到引用源。 解：原式=2
=38
（3）21
1 1.53
4
24910.000127()()649---+-+ （4）143133342
2560.06416(
)(2)25
----+++ 解：原式=10＋9－87＋27=6447 解：原式=115130.481616
+++=
3. 化简
0)a >
解：原式=5
3
-x 解：原式=24
17a
(3) 11112
4
2
4
(23)(23)a
b a
b -
-
+-+(4)
211221123
3
3
3
3
3
3
3
a b a b a a b b
a a
b b
+-+
-+++
解：原式=a
4
解：原式=31
2a
自我测试
一、选择
1、下列运算中，正确的是（ D ）
A 、5552a a a ?=
B 、56a a a +=
C 、5525a a a ?=
D 、5315()a a -=- 2、下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ C ） A
、12
()(0)x x =-> B
、13
(0)y y =< C
、34
0)x
x -=> D
、130)x x -=≠
3
、式子a A ） A 、111144
a b B 、111142
a b C 、114
a D 、114
b 4、3216842111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222
+
+++++的值等于（ B ） A 、64112-
B 、63122-
C 、65
1122- D 、323
14(1)2
- 二、填空 1、化简： （1）1311
21
373
2
22[()()()]a
b ab b ---???
=
（2） 21131
1
33
3
4
4
()()x y z x y z ---?????=2xz -．
（3
)20a >
= 2
5
766
a b ．
3、(12
2
1??
?
???= 1．
4、若1
12
2
5x x
-+=，则21
x x +的值是 23 ．
5、已知103,102m
n
==，则32
10
m n -的值为
2
6
3． 6、若13
1
2
x -=
，则x = 8 ．
7、1133
66
()
0,||
a a a a <=设则化简（） －1 ． 8、若103,104x y ==，则10x y -=34
． 9、25
9,a a -==若则243
1
±
．
10、
2= －8 ．
三、计算
（1）2
13
2
55?；
（2）663
1
÷；
解： 6
75=原式 解： 3
213
166-
-==原式
（3）366?； （4）43)22(?； 解： 6
56=原式 解： 3
102=原式
（5）4
132)8(-
；
（6）6
1
33)412(?；
解： 6
1
)4
1(324
13
2
88
)8(--?-
== 解：213616133
48)
412()
412(=
?=??
（7）31
2121
)9121(- （8）3723
÷
解：291213==-=原式 解：2
13123
3)32(÷?=原式632= 四、化简
（1）11112244
()()x y x y -÷- （2）2115113366
22(2)(6)(3)a b a b a b -÷- 解：原式＝114
4
x y + 解：原式＝4a
（3）)3
1()3()(6
5
613
1212132a a b a b a ÷?-? ★（4）11111
2424
2(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+．
解：原式＝－9a 解：原式21x x =++.
★五、解答题
1、计算：407407-++ ．
解：407407-++52)25()25(22=-++=
2、已知112
2
3x x
-+=，求
22332
223
x x x x
--+-+-的值.
解：71=+-x x ，331122
12
2
2
2
47,()(1)18x x x x
x x x x ----+=+=++-=；
∴原式＝3
3、已知12,9,x y xy x y +==<，求
1122112
2
x y x y
-+的值.
解：111111112
22
22
2
2
222
()26;()218x y x y x y x y x y x y -=+-=+=++=
原式=3
3 4、已知122+=n
a
，求n
n n
n a
a a a --++33的值. 解：原式n n n
n n n n n a a a
a a a a a 22221)
1)((----+-=++-+= ∵ 122+=n
a
得121
21122-=+==
-n
n a a
∴ 原式12212112-=-+-+=