广东省广州市实验中学、执信中学高三数学10月联考试题理(含解析)

广东省广州市实验中学、执信中学高三数学10月联考试题理（含

解析）

数学（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

由题可知．故本题答案选．

2.等差数列中，，为等比数列，且，则的值为（）．

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值．【详解】等差数列中，，又，

所以，

解得或（舍去），

所以，

所以．

故选．

【点睛】本题考查了等差与等比数列的性质与应用问题，考查了计算能力，是基础题目．3.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 即不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．

考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.

4.下面给出四种说法：

①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，则；

②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好；

③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；

④设随机变量服从正态分布，则．

其中不正确的是（）．

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

【答案】C

【解析】

【分析】

对于A，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断；

对于B，相关指数R2越接近1，表示回归的效果越好；

对于C，根据频率分布直方图判定；

对于D，设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），利用对称性可得结论；

【详解】解：①将数据按从小到大的顺序排列为：

、、、、、、、、、，

中位数：；

；

这组数据的平均数是．

因为此组数据中出现次数最多的数是，

所以是此组数据的众数；

则；

②越接近于，表示回归的效果越好，正确；

③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为，

所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错；

④∵随机变量服从正态分布，

∴正态曲线的对称轴是，

∴．故④正确．

故选．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．

【详解】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，

．

故选．

【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6.对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（）．

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线x﹣y+3＝0交于点（﹣1，2），当点A与该点重合时图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最小值，由此即可得到m的最小值．

【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，

其中，再作出指数函数的图象，

可得该图象与直线交于点，

因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，

且此时达到最小值，即的最小值为．

故选．

【点睛】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考查了二元一

次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．

7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（）．

A. B. C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积．

【详解】圆锥，是底面圆心，为球心，

，∴，

①如图①，，[在上]，

∴，

．

②如图②，，

∴，

∴

．

故选．

【点睛】本题考查了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．

8.已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（）．

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB 的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），

由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，

由，两式相减得：=，

则==，

由直线AB的斜率k==1，

∴=1，则=，

双曲线的离心率e===，

∴双曲线C的离心率为，

故选：B．

【点睛】本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．

9.在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面

与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（）．

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得m∥n．

【详解】如图所示：

∵，分别是棱，的中点，故，

则面即为平面与平面相交于，即直线，

由，可得平面，故面与面相交于时，

必有，即，即直线，的夹角为．

故选．

【点睛】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档．

10.已知函数，给出下列四个命题：

①函数的图象关于直线对称；

②函数在区间上单调递增；

③函数的最小正周期为；

④函数的值域为．

其中真命题的个数是（）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】解：对于函数，由于，，

∴，故的图象不关于直线对称，故排除①．

在区间上，，，单调递增，故②正确．函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．

当时，，

故它的最大值为，最小值为；当时，

，

综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．

故选．

【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．

11.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．

整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为

．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．

12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）．

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

函数在(0,2)上存在两个极值点，

等价于在(0,2)上有两个零点，

令f′(x)=0,则，

即，

∴x?1=0或，

∴x=1满足条件,且 (其中x≠1且x∈(0,2)；

∴ ,其中x∈(0,1)∪(1,2)；

设t(x)=ex?x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；

则t′(x)=(x2+2x)e x>0，

∴函数t(x)是单调增函数，

∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，

∴a∈.

本题选择D选项.

点睛：2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．

3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知，，，则，，的大小是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据指数函数与对数函数的单调性可得：a b，c log67．即可得出．

【详解】解：a b，c log67．

∴c＜a＜b．

故答案为：c＜a＜b．

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.已知平面向量，的夹角为，且，．若平面向量满足，则__________．

【答案】

【解析】

由题可设,,设,由题,解得，.

15.展开式中，常数项是__________．

【答案】60

【解析】

解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60. 16.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．

【答案】

【解析】

构造，则

由题意可得：

故数列是为首项，为公差的等差数列

，，，

以上个式子相加可得

解得

，

则

点睛：本题考查了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考查了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握通项公式的求法，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题。

三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）

17.已知函数．

（）若，求的值．

（）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出

的值，再利用

与的关系进行求值；（2）先利用余弦定理求出角A,化简，利用B的范围进行求解.

试题解析：（1）f（x）＝sin cos＋cos2

＝sin＋cos＋＝sin＋.

由f（x）＝1，可得sin＝.

cos＝cos[π－（＋x）]＝－cos（＋x）

＝2sin2（＋）－1＝－.

（2）由acos C＋c＝b，得a·＋c＝b，

即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.

因为A∈（0，π），所以A＝，B＋C＝，

所以0

所以f（B）＝sin＋∈．

考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.三角函数的图像与性质．

18.某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小，得到如下数据：

鞋码合计

男

生

女

生

以各性别各鞋码出现的频率为概率．

（）从该校随机挑选一名学生，求他（她）的鞋码为奇数的概率．

（）为了解该校学生考试作弊的情况，从该校随机挑选名学生进行抽样调查．每位学生从装有除颜色外无差别的个红球和个白球的口袋中，随机摸出两个球，若同色，则如实回答其鞋码是否为奇数；若不同色，则如实回答是否曾在考试中作弊．这里的回答，是指在纸上写下“是”或“否”．若调查人员回收到张“是”的小纸条，试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率．

【答案】（1）（2）．

【解析】

【分析】

（1）由题意知样本中鞋码为奇数的同学共55人，由此能求从该校随机挑选一名学生，他（她）

的鞋码为奇数的概率；

（2）摸球实验中，求出两球同色的概率为，两球异色的概率为，设所求概率为p，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出结果．

【详解】解：（）由题意知，样本中鞋码为奇数的同学共人，故所求概率即为所求概率：．

（）摸球实验中，两球同色的概率为，

两球异色的概率为，

设所求概率为，结合（）的结果，

有，解得，

即所求概率为．

【点睛】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．

19.如图，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿

折起，使平面平面，连接，，，得到如图所示的几何体．

（）求证：平面．

（）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由平面与名垂直的性质定理可得⊥平面. 由折叠前后均有⊥，∩,可得⊥平面；(Ⅱ) 由（Ⅰ）可得二面角的平面角为∠，又依题意，可得，依次求得.，以下由两种解法：1.建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，则问题可求：2.利用相关的立体几何知识，证明二面角的平面角为，然

后利用面几何知识求得二面角的余弦值为.

试题解析：

(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面.

因为平面，所以⊥.

又因为折叠前后均有⊥，∩,

所以⊥平面.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以二面角的平面角为∠.

又⊥平面，平面，所以⊥.

依题意.

因为，所以.

设，则.

依题意△～△，所以，即.

解得，故.

法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则,,，，，

所以，.

由（Ⅰ）知平面的法向量.

设平面的法向量

由得

令，得,

所以.

所以.

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

法2 ：因为⊥平面，

过点作//交于，

则⊥平面.

因为平面，

所以⊥.

过点作⊥于，连接，

所以⊥平面，因此⊥.

所以二面角的平面角为.

由平面几何知识求得

，，

所以.

所以cos∠=.

所以二面角的余弦值为.

20.已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段

的垂直平分线与直线交于点．

（）求点的轨迹方程．

（）已知，两点的坐标分别为，，点是直线上的一个动点，且直线，分别交（）中点的轨迹于，两点（，，，四点互不相同），证明：直线恒过

一定点，并求出该定点坐标．

【答案】（1）（2）直线恒过一定点.

【解析】

试题分析：（1）利用垂直平分线的性质可得，再结合椭圆的定义，可得点的轨迹方程；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，利用两直线方程，及，的交点的横坐标为，可得

，结合前面两式，化简可得

．则当时，恒成立，直线过定点．试题解析：（Ⅰ）依题意有，，

且，

所以点的轨迹方程为：．

（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，

代入椭圆方程得：

且：①，②

∵直线：，直线：

由题知，的交点的横坐标为4，得：

，即

即：，整理得：

③

将①②代入③得：

化简可得：

当变化时，上式恒成立，故可得：

所以直线恒过一定点.

21.已知函数，．

（）设曲线在处的切线为，到点的距离为，求的值．

（）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围．

（）当时，是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴

垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)或(2)(3)不存在

【解析】

试题分析：

(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线即可得到切点的纵坐标,对

进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点到切线的距离为即可求的参数的值.

(2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a与x进行分离得到,则

,再利用函数的导函数研究函数在区间的最大值,即可求的a的取值范围.

(3)根据切线的斜率即为曲线C在切点处的导函数值,即该问可以转化为是否存在使得,令,则

即存在使得

,对再次求导进行最值求解可得,所以不存在使得.

试题解析：

（1）,.

在处的切线斜率为，

∴切线的方程为，即. 2分

又点到切线的距离为,所以，

解之得，或4分

（2）因为恒成立，

若恒成立；

若恒成立，即，在上恒成立，

设则

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以当时，取得最大值，，

所以的取值范围为. 9分

（3）依题意,曲线的方程为,令

所以,

设,则,当,

故在上单调增函数,因此在上的最小值为

即

又时,

所以

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解,但是,没有实数解,故不存在实数使曲线在点处的切线与轴垂直. 14分

考点：导数最值单调性零点

22.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，，与曲线分别交异于极点的四点，，，．

（）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程．

（）求，当时，求的值域．

【答案】（1），，（2）．

【解析】

【分析】

（1）把、的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线关于曲线对称，可得直线x2a＝0经过圆心（1，），求得a＝2，故可得的直角坐标方程；

（2）由题意可得：当α时，|OA|＝4sinα；|OB|＝4cos（α）；|OC|＝4cosα；|OD|＝4sin（α），f（α）＝|OA|?|OB|+|OC|?|OD|，利用和差角公式，可得答案．

【详解】坐标系与参数方程：（），

即，化为直角坐标方程为．

把的方程化为直角坐标方程为，

因为曲线关于曲线对称，故直线经过圆心，

解得，故的直角坐标方程为．

（）当时，，，

，，

∴

，

的值域为．

【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．

23.已知函数，．

（）解不等式．

（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）或．

【解析】

【分析】

（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．

（2）利用条件说明{y|y＝f（x）}?{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【详解】（）由，得，

∴，

得不等式的解为．

故解集为：

（）因为任意，都有，使得成立，

所以，

又，

，所以，

解得或，

所以实数的取值范围为或．

【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．