复合函数解题思路

复合函数单调性年级：高二科目：数学时间：4/12/2009 22:10:40 新5823779

请问老师如何求复合函数单调性

答：同学，你好，现提供以下资料供你参考：

若y是u的函数：y＝f(u)，而u又是x的函数：u＝φ(x)，且φ(x)的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通

过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数

及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。

注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

一、复合函数单调性的判断：

设y＝f(x)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]都是单调函数，则y＝f[g(x)]在[a，b]上也是单调函数。

①若)(x f

y=是[m，n]上的增函数，则y＝f[g(x)]与定义在[a，b]上的函数u＝g(x)的单调性相同。

②若)(x f

y=是[m，n]上的减函数，则y＝f[g(x)]与定义在[a，b]上的函数u＝g(x)的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。简而言之“同为增，异为减”。

二、复合函数单调区间的求解步骤:

①求复合函数的定义域；

②把复合函数分解成若干个常见的基本函数；

③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性； ④由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.

例1．求函数21x y =

的单调区间 解：由02≠x ，得0x

令2x t =（0>t ），则t y 1

= t y 1=在),0(+∞上为减函数

而2x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数；由“同增异减”可得，函数21x y =

在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函

数。

例2 求函数342+-=x x y 的单调区间.

解：由x x x x 243013-+≥?≤≥或 ∴函数的定义域是(][)-∞+∞，，13 .

令u x x =-+243 ,则21

u y = y u =1

2

在[)+∞,0是增函数，而u 在(]1,∞-上是减函数，在[)+∞,3上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是[)3，+∞， 函数的减区间是(]1,∞-.

例3 已知228)(x x x f -+=，试确定)2(2x f y -=的单调区间. 解：令22x t -=，则()()912822+--=-+==t t t t f y ，得()t f 在(]1,∞-上为增函数，在[)+∞,1上为减函数；

由122≤-=x t ，解得1-≤x 或1≥x ，由122≥-=x t ，解得11≤≤-x ；而函数t 在(]1,-∞-和[]0,1-上是增函数，在[]1,0和[)+∞,1上是减函数；

由复合函数求单调区间的方法得，)(x g 的单调递增区间为(]1,-∞-和[]1,0，)(x g 的单调递减区间为[)+∞,1和[]0,1-.

例 4 若函数

()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，试判断()22x x f y -=的单调区间。

解：原函数的定义域为R

令22x x u -=，则()u f y =， 函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，而22x x u -=在(]1,∞-上是增函数，在[)+∞,1上为减函数，y ∴在(]1,∞-上为减函数，在[)+∞,1上为增函数，即原函数的单调减区间为(]1,∞-，单调增区间为[)+∞,1.

评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先”的原则。另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步。

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

三角函数经典解题方法与考点题型

三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=m π, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co s π)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++

高考数学解题技巧三角函数

2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数 高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化 例1．已知2tan =θ，求（1） θ θθ θsin cos sin cos -+； 解：（1）2232 121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+ = -+θθθ θθθ θθθθ； 函数的定义域问题 例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期?? ????-23,2ππ上符合①的角为??? ???-67,6ππ,由此可 得到函数的定义域为????? ? +-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>=a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例3、求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 4 3133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 2 2= D ．22m n =

高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ， 值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ， 值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ [] 的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2 1 2≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{} 42|≤≤x x

(完整版)高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

函数解析式与复合函数常见题型知识点练习

函数解析式与复合函数常见题型练习 一． 解析式的求法 1. 代入法 例1、()21f x x =+，求(1)f x + 2. 待定系数法 例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10， 图像过点(0,3)，求()f x 解析式 3. 换元法 例3、2134(31)x x f x +-+= ，求()f x 解析式 4. 配凑法 例4、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式 5. 消元法（构造方程组法，赋值法） 例5、2()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式 6. 利用函数的性质求解析式 例6、已知函数()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数，且32[0,]x ∈时，25()x f x x -+=- (1)求()f x 解析式 (2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值

例7、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5 （1）证明：(1)(4)0f f += （2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式 （3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式 二、复合函数的性质 1、复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性： )(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数, )(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数. 求复合函数单调区间的步骤是： (1)求函数的定义域； (2)用换元法把复合函数分解成常见函数； (3)求各常见函数的单调区间； (4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间； (5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间． 例8、 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3) 例9、求复合函数213 log (2)y x x =-的单调区间 例10、求y=2x 6x 7--的单调区间和最值。 例11、 求y=12x x 221--??? ??的单调区间。

高中数学函数解题技巧及方法

专题1 函数 (理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性 【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义 如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。 例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。 说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 2．求有关复合函数的定义域 ① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法： 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。 ② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法： 若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求 )(x f 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。 3．求有关复合函数的解析式 ①已知 )(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。 ②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法：就是在 )]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。 换元法：就是先设t x g =) (，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f 。

高一数学三角函数解题思路

高一数学三角函数解题思路 第一：三角函数的重要性,即使你高一勉强过了,我希望你能在暑假好 好学习三角函数知识. 第二：任意角三角函数.同角三角函数公式,切化弦公式以后一会常用到,恒等式公式整合了正余弦之间的关系.诱导公式就是一个BUG不用 管它,能记住多少算多少,通用口诀：奇变偶不变符号看象限,奇偶的辨 别是PI/2的整数倍的奇偶决定. 第三：三角函数的图像和性质.首先要明白三角函数线的知识,虽然考 试不会涉及不过对于理解三角函数的图像的绘制提供了直观的理解.三 角函数的草图一律用五点作图法.三角函数的性质包括最值性、单调性、奇偶性、周期性、对称性.三角函数的这五个性质必须好好把握. 第四：正弦函数.这里主要是从基本初等三角函数变换成初等三角函 数.Asin(wt+y)+c.关于各个数值的含义你以后会在高中物理中的交流 电理论或是简谐振动理论里学习.其中的初相位和圆频率之间的先后变 换所产生的关系必须弄清楚,这里经常会弄错还希望你能注意. 第五：余弦函数.和正弦函数一样,不过还有涉及到余弦的便会涉及到 向量的数量积.其实在物理学的功的定义中便接触了. 第六：正切函数.注意它的间断点和周期与正余弦函数的差别.最重要 的还是切化弦吧,还有就是直线斜率和正切的关系. 第七：余切,正割,余割,反三角函数,球面三角函数你接触一下吧.虽然 高中基本不用对于你的学习还是有好处的. 第八：三角恒等变换.这里是三角函数的难点和重点.八个C级要求这 里占了两个.再加上数量积一个,C级要求的三角函数就占了3个.主要 思路：变角变名变次数.主要公式：两角和与差公式,二倍角公式及其 推论(降幂扩角,升幂缩角),辅助角公式.

高中数学三角函数解题方法与技巧分析

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/3e18676871.html, 高中数学三角函数解题方法与技巧分析 作者：王元蕾 来源：《文理导航》2017年第29期 【摘要】在高中学习期间，三角函数是相对独立又颇为重要的一块内容。分析历年来的高考试题可以发现，全国卷中涉及的三角函数的内容一般为选择题（或填空题）和一道大题。选择题的型多变，不易解答。而大题一般出现在第一道大题的位置上，较为简单。另外，数理不分家，三角函数在高中物理的叠加场大题中也发挥着关键作用。总之，加强对于高中数学三角函数内容的学习，十分必要。在本文中，我将介绍自己在高中学习过程中，对三角函数这块内容的理解以及一些解题方法、答题技巧。 【关键词】三角函数；答题技巧；高考 引言 三角函数，顾名思义，与角度和函数有关，数学上对函数的定义为：给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），因此，角度也就是函数定义中A了。据专家、老师以及我的分析，在全国卷中，三角函数题属于低档题，而且三 角函数知识属于高中阶段的工具性知识，因此必须熟练掌握。下面我根据个人经验，从三个方面介绍三角函数的答题技巧。 1.解题时要注意灵活运用基础知识 如例2：如右图所示，在三角形ABC中，已知：tan∠B=3/4，sin∠ADC=4/5，AD长度为5米。求：AB的长度。 解析：由sina/cosa=tana、tan∠B=3/4两个条件可以得出，sina=3/4cosa，再由 sina+cosa=1，联立方程组，再观察图一三角形，可以判断正弦值为正数，可以计算出 sin∠B=3/5。又因为知道sin∠ADC=4/5，则sin∠ADB=sin（180°-∠ADC）=sin∠ADC=4/5。由正弦定理得AD/sin∠B=AB/sin∠ADB，代入数值，解得AB的长度为20/3米。 2.解题时要注重题目的隐含条件 我们都知道三角函数隶属于函数，笔者根据高一学函数时总结的经验可以发现，三角函数题（特别是给出图的题，对图中标注的条件观察不仔细而导致题做不出来）有时候会含有隐含条件，例如：奇偶性、极值、锐角三角形等。 如例3：在銳角三角形ABC中，如果tan∠B=2+√3，sin∠C=√3 /2。求∠A的余弦值。

复合函数的定义域-函数表达式的求法

复合函数的定义域-函数表达式的求法

个性化教学辅导教案 教案课题函数的单调性 教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版A 学习目标1.掌握用定义法求函数的单调性 2.掌握函数最值的求法 重难点重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义. 难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议： 第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法 & 一.复合函数的定义域 1.复合函数的定义： 一般地：若)(u f y=，又)(x g u=，则函数)]([x g f y=叫x的复合函 数，其中)(u f y=叫外层函数，)(x g u=叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: 2 ()35,()1 f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ， 2 2(())3()53(1)538 f g x g x x x =+=++=+ 2.复合函数的定义域 函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围. ① 已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 ② 已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域 ③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类

探讨三角函数解题思路与方法

探讨三角函数解题思路与方法 随着经济全球化的发展，人们生活水平得到了很大的提高，对教育提出了更高的要求，数学是中学教学中一个重要的科目，为了提高教学质量，学校和教师都在对教学模式进行改进，在数学教学中，三角函数是其中一个重要的内容，要全面提高学生的成绩，必须让学生切实掌握三角函数这一章节的知识内容.本文对三角函数的特点进行全面分析，并探究其解题的思路与方法，使学生容易理解，从而获取理想的教学效果. 一、三角函数的特点分析 三角函数知识非常重要，与立体几何、平面几何以及函数息息相关，学生只有掌握好三角函数才可开展这几个知识点的学习.三角函数主要具有以下几个特点：首先，在三角函数中，所涉及到的公式非常多，在进行教学时，要让学生完全理解公式，并加强学生对公式的记忆，进行解题时，三角函数解题方法比较多，而且变换较多；其次，具有思想方法极其集中的特点，例如，数形结合思想、函数方程思想以及化归思想，每种思想都具有其不同的特点，学生要全面掌握；再者，应用区域范围广，学科之间具有相互联系的特点，尤其是三角函数常常运用于物理的解题上，教师在进行三角函数教学时，要注意知识面的拓展，并将教学重点放在

三角知识的弧度制、三角函数的图象方面、特殊角三角函数以及求最值等方面，让学生重点掌握这方面的知识点，熟悉公式，灵活运用恒等变形、公式等，来解决各种各样有关三角函数的问题. 三角函数是数学学习中一个重要的内容，具有一定的难度，教师要巧妙引导学生，使学生掌握解题的思路与方法，让学生正确解题，树立其学习的信心，对教学具有积极性的作用. 二、三角函数主要的解题方法 三角函数的解题方法比较多，主要有平方法、角度解题法以及换元法，学生掌握这些方法之后，认真审题，分析题目，并采用相关的方法进行解题，即可在规定的的时间内完成解题任务. 1.平方法的应用 平方法是解决三角函数问题常用的一个方法，对题目进行分析，若是涉及到正弦、余弦方面的问题时，可以考虑是否能采用平方法进行解决.例如，已知θ∈（0，2π），cos θ、sinθ是方程x2-kx+k+1=0的两个根，求k的值. 分析当遇到类似这样的问题时，学生可先从用韦达定理入手，通过韦达定理求出k的值，一般情况下，所求得的k值都有2个值，其中有一个值需要舍去.该题的正确解答步骤为：

盘点高一数学三角函数解题思路

盘点高一数学三角函数解题思路在了解三角函数解题思路之前大家一定要掌握好三角函数的公式，牢记公式结合三角函数解题思路才能更好的完成本单元的学习。 第一：三角函数的重要性,即使你高一勉强过了,我希望你能在暑假好好学习三角函数知识. 第二：任意角三角函数.同角三角函数公式,切化弦公式以后一会常用到,恒等式公式整合了正余弦之间的关系.诱导公式就是一个BUG不用管它,能记住多少算多少,通用口诀：奇变偶不变符号看象限,奇偶的辨别是PI/2的整数倍的奇偶决定. 第三：三角函数的图像和性质.首先要明白三角函数线的知识,虽然考试不会涉及不过对于理解三角函数的图像的绘制提供了直观的理解.三角函数的草图一律用五点作图法.三角函数的性质包括最值性、单调性、奇偶性、周期性、对称性.三角函数的这五个性质必须好好把握. 第四：正弦函数.这里主要是从基本初等三角函数变换成初等三角函数.Asin(wt+y)+c.关于各个数值的含义你以后会在高中物理中的交流电理论或是简谐振动理论里学习.其中的初相位和圆频率之间的先后变换所产生的关系必须弄清楚,这里经常会弄错还希望你能注意. 第五：余弦函数.和正弦函数一样,不过还有涉及到余弦的便

会涉及到向量的数量积.其实在物理学的功的定义中便接触了. 第六：正切函数.注意它的间断点和周期与正余弦函数的差别.最重要的还是切化弦吧,还有就是直线斜率和正切的关系. 第七：余切,正割,余割,反三角函数,球面三角函数你接触一下吧.虽然高中基本不用对于你的学习还是有好处的. 第八：三角恒等变换.这里是三角函数的难点和重点.八个C 级要求这里占了两个.再加上数量积一个,C级要求的三角函数就占了3个.主要思路：变角变名变次数.主要公式：两角和与差公式,二倍角公式及其推论(降幂扩角,升幂缩角),辅助角公式. 第九：两角和与差公式.这个公式如果你不会用,那请好好学.总共六个公式.记住之间正负号和函数的位置.很好记忆的. 第十：二倍角公式.二倍角公式三个.余弦公式中比较复杂,以及由它推导出来的降幂公式升幂公式也是变换的重点. 第十一：辅助角公式.这个其实是两角和函数的逆运算.它的出现频率却不低于二倍角函数,故特引起重视. 第十二：其他变换公式.万能代换就是一个bug,由半角公式推导而来.积化和差和差化积高中应用不多,大学就很重要了,最基本的极限理论就得用到它.三角公式繁多还有其他 不列举.

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

高中数学三角函数的解题技巧

209 二○一九年一月（下旬） 高 考 ·考试研究· 高中数学三角函数的解题技巧 山东省济宁市实验中学　薛丁方 摘　要：三角函数是高中数学学习中的主要内容，不仅在高中阶段的数学学习中具有重要地位，而且据了解，历年高考数学题中约15%的考察内容与三角函数有关。想要掌握三角函数的解题技巧，首先需要对三角函数概念、性质、公式具备足够的了解，奠定抓实基础，进而在三角函数的解题过程中总结规律，掌握灵活多变的解题方法，做到活学活用，以此提升三角函数的学习质量。本文在三角函数学习的过程中总结了以下几点经验，以供参考与批评。 关键词：高中数学；三角函数；解题技巧 一、掌握基本概念、性质定理，打好基础 三角函数的内容较为复杂，其中涉及到大量的公式与定理，而每一个三角函数公式的使用条件与定理的使用范围受到题目内容的限制，若是在三角函数学习中没有充分的掌握三角函数的概念、公式、性质，理解程度不够，记忆量不足，缺乏知识的灵活运用能力，就会在三角函数解题过程中盲目性解答，出现错用、错套等问题。基于此，笔者认为提升高中生三角函数解题能力，掌握解题技巧的关键在于打好基础。 1.概念与性质的学习是学生三角函数学习中的基础，只有真正吃透三角函数概念，掌握三角函数的性质，才能具有三角函数概念的灵活运用能力，在三角函数的解题过程中灵活应对,周期性与图像性质是我们在高中阶段三角函数学习中的常见性质，在解题中学生应具备三角函数性质的正确判断能力，通过对其性质的判断降低解题难度。如该题目为三角函数周期性类型，学生在该类问题解答中实现利用角度转换的方式，减少解题过程中的计算难度，利用该问题的类型得出解集，利用周期性三角函数在某一特定区间内的奇偶性和单调性，建立图像，利用其特性，迅速找出问题解决的方法。 2.需要重点学习三角函数公式，公式的学习效果以及应用能力的提升，可以让高中生的三角函数解题更加快速、准确。但是，高中阶段的三角函数公式涉及的内容角度，在强行记忆与三角函数有关的公式下，虽然记忆量增加，众多公式也进入的脑袋里，但是，在面对实际问题解答中如何灵活运用，成为了高中生三角函数学习过程中的又一难题。因为用一类型的三角函数公式具有一定的相似度，很多同学会容易记混、错用，因此，我们可以使用口诀记忆的方式，如“一全正，二正弦，三正切，四余弦”、“函数名不变，符号看象限”等，快速记忆，同时需要通过实际的联系，掌握不同公式之间的差异，区分其具体用法，通过总结与分析，掌握不同公式的应该规律。 二、三角函数解题技巧探究 1.利用转化法，灵活多变，解答问题 在充分了解三角函数概念、性质、定理的基础上，需要我们具有清晰的解题思路，掌握科学、简便的解题方法，以求在有限的时间内快速解答出正确的答案。转化法是我们在高中阶段三角函数学习中常用的一种方法，通过转化法在解题中的应用，可以将原本看似复杂的问题转化为简单易懂的形式，在求解，降低了三角函数问题的解答难度。举例说明： 例1已知sinα+cosα=m2，tgα+ctgα=n，求m 2与n 的关系． 此题看似较为复杂，但只要对tgα+ctgα进行适当转换，并找出sinα+cosα与sinαcosα的关系，就可以快 速解出答案．由于tgα+ctgα=1/sinαcosα，根据题目已知条件，可以得出sinαcosα=1/n，又由于sinαcosα=［(sinα+cosα)2－1］/2=m 2－1/2，因此，可以推导出m2与n 的关系式，即m 2=2/n+1． 2.利用托底法简化表达式 上述中的例题属于容易转化的类型，而在面对不易转化的题目类型时，可以采取托底法简化求解，还是结合一道例题进行具体说明． 例2已知tgα=3，求解sinα－3cosα2sinα+cosα的值． 在该题中，只有把求解表达式化简为包含tgα的形式，才能利用已知条件进行求解．根据求解表达式特点，可以将其分子和分母同时除以cosα，将其转化为tgα－3/2tgα+1，代入已知条件后，可以快速求解出， sinα－3cosα/2sinα+cosα=0．3.总结方法规律 首先，在练习的过程中应选择具有典型特征的题型，盲目性的练习不仅不会提升解题能力，还会增加学习负担。其次，针对性练习，每一种三角函数题型都有其自身的一套解题方法，学生可以采取逐个类型练习的方法，从中总结方法与规律，掌握该类型的解题技巧，再次面对此类型题的时候，就能够轻松应对。三角函数的解题方法分为很多种，除了上述提到的转化法、简化法外，还包括排除法、特殊值法、数形结合法等。通过平时练习中的总结经验、积累和归纳，有助于提升解题速度与准确率。 结语：结合上文可知，三角函数的知识内容繁杂，涉及到的公式较多，对于高中生而言具有一定的学习难度。想要掌握三角函数的解题技巧，要一步一步脚印，扎实基础，吃透三角函数的概念，充分了解不同类型公式的使用条件，具有公式的灵活运用能力，能够根据题目的类型及时判断解题方法，通过对条件以及表达式的转化、简化，梳理清晰的解题思路，避免错误理解题目内容、错用公式，总结规律与经验，以此提升高中生的三角函数解题能力，掌握符合自身学习特点的三角函数解题技巧。 参考文献 [1]例析三角函数求值题的解题技巧[J].彭万雷.华夏教师.2016(12) [2]分析高中数学三角函数解题常见误区及正确解题方案[J].宗位勇.数学大世界(下旬).2016(07)

函数解析式与复合函数

函数解析式与复合函数 一． 解析式的求法 1. 代入法 例1、()21f x x =+，求(1)f x + 2. 待定系数法 例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求() f x 解析式 3. 换元法 例3、2134(31)x x f x +-+= ，求()f x 解析式 4. 配凑法 例4、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式 5. 消元法（构造方程组法） 例5、()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式 6. 利用函数的性质求解析式 例6、已知函数()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数，且32[0,]x ∈时，25()x f x x -+=- (1)求()f x 解析式 (2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值

例7、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5 （1）证明：(1)(4)0f f += （2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式 （3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式 二、复合函数的性质 1、复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性： )(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数, )(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数. 求复合函数单调区间的步骤是： (1)求函数的定义域； (2)用换元法把复合函数分解成常见函数； (3)求各常见函数的单调区间； (4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间； (5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间． 例8、 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)