6【题组六】函数极值点问题

例1、已知函数()d cx bx x x f +++=23（d c b 、、为常数），当()1,0∈x 时取极大值，

当()2,1∈x 时取极小值，则()2

2132b c ?

?++- ??

?的取值范围是（ ）

A 、2??

? ???

B 、

)

C 、37,254??

???

D 、()5,25

【巩固练习】

设函数cx bx x x f 33)(2

3

++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（ ）

A.21)(101-

≤≤-x f B.0)(2

1

1≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(2

7

1≤≤x f

例2、已知函数())1ln(2

++=x a x x f 有两个极值点21,x x ，21x x <。

（1）求a 的取值范围； （2）求证：()4

2

ln 212->x f

【巩固练习】已知函数()x

e mx x

f 22

-=有两个极值点21x x <，21,x x 。

（1）求m 的取值范围；（2）求证：()21-<<-x f e

例3、已知函数()()R a ax x x f x x g ∈-==,,ln 2

。

（1） 若()()x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求a 的取值范围；

（2） 设()()()x g x f x h +=函数有两个极值点21,x x ，且??

? ??

∈21,01x ，求证：

()()2ln 4

3

21->

-x h x h

【巩固练习】已知.

（1）若对于公共定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围;

（2）设有两个极值点,且,若恒成立,求实数的最大值.

)()()(,ln )(,)(2

x g x f x h x x g ax x x f +==-=)()(x g x f ≥x a )(x h 21,x x )2

1,0(1∈x m x h x h >-)()(21m

例4、已知函数()x mx x x f ln 2

12

++=

（1）若函数()x f 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围 （2）若函数()x f 有两个极值点21,x x ，（21x x <），且2

2

3-≤m ，求()()12-x f x f 的最大值

【巩固练习】已知函数在处的切线与直线垂直，函数

．

（1）求实数的值；

（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．

()ln f x x a x =+1x =20x y +=()()21

2

g x f x x bx =+-a ()g x b 1212,()x x x x <()g x 7

2

b ≥()()12g x g x -

例5、已知函数（）

在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求的取值范围；

（2）记两个极值点分别为,,且．已知,若不等式恒成立,求

的范围．

例6、已知函数()ln f x x mx =-。 （1）讨论函数()f x 的单调区间； （2

）当2

m ≥

时，设()()2

2g x f x x =+的两个极值点为12,x x ()12x x <恰为()2ln h x x cx bx =--的零点，求()'12122x x y x x h +??

=- ???

的最小值。

a x x a x x x f +--=2

2

ln )(a ∈R a 1x 2x 21x x <0>λ112e x x λλ

+

例7、已知()()ln f x x x ax =?+，a 为常数。 （1）在1=x 处的切线过点()2,0-A 求实数a 的值；

（2）()()()2121,ln x x x x ax x x x f <+?=有两个极值点函数 （i ）求证：021<<-a ；（ii ）求证：()()2

1

12->>x f x f

【作业练习】：

1．已知函数()()ax x x x f -=ln 有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．()0，

∞- B ．??

? ??

210， C ．()10， D ．()∞+，0

2、已知函数()1

ln +-

=x ax

x x f 。 （1）若函数()x f 有极值，求实数a 的取值范围；

（2）当()x f 有两个极值点（记21,x x ）时，求证：()()()[]11

21+-+≥+x x f x

x x f x f

3．设函数)2ln()(2

+-=x a x x f ，x

xe x g =)(，且)(x f 存在两个极值点1x 、2x ，

其中<1x 2x .

（1）求实数a 的取值范围；

（2）求)(x g 在区间)0,2(-上的最小值； （3）证明不等式：

1)

(2

1->x x f .

4、已知函数2

()x

f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数) （1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求k 的取值范围； （3）在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<．

极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题（0)——偏移新花样（拐点偏移） 例１已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证：122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则（1,2)是()f x 图像的拐点,若拐点(１,２）也是()f x 的对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

() () 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? , 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(()00 f x '=) 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 120120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(１)——对称化构造（常规套路） 例1（２０１0天津） 已知函数()e x f x x- =． (１）求函数() f x的单调区间和极值； (2)已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称,证明:当1 x> ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>

函数的零点、极值点、驻点与拐点的关系

在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如： 有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如： “知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确，甚至错误的。 人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如： 函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。 函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如： f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。 函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。例如： f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。 且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如： g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一定是函数的极值点。当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。例如：

实验6+过程_函数和程序...

实验6过程、函数和程序包 姓名：学号： 专业：班级： 同组人：无实验日期：2013/7/21 【实验目的与要求】 ?掌握过程的创建与调用 ?掌握PL/SQL函数的编写与调用 ?熟悉程序包的使用 【实验内容与步骤】 6.0．实验准备工作:PL/SQL程序文件的编辑与执行 1．使用文档编辑器编辑以下文件，并保存为aa.sql： 2．以scott身份登录，在SQ L Plus中执行＠aa命令运行程序： 注：测试时，文件名请用全名(即包含路径，如：@c:\aa) 给出运行结果：

6.1．存储过程 1．最简单的存储过程编写与执行 (1)创建测试表 drop table Exam_Table; create table Exam_Table( e_id number(5), e_name varchar2(20), e_salary number(8,2) ); (2)创建存储过程 create or replace procedure insert_salary (v_id number,v_name varchar2,v_salary number) is begin insert into Exam_Table values (v_id,v_name,v_salary); commit; dbms_output.put_line('数据插入成功'); end; / (3) 执行(调用)存储过程 exec insert_salary(6,'g',2000); (4)查询执行结果

select * from Exam_Table; 给出执行的最后结果： 2．参数的使用：in/out/in out参数 阅读以下程序，理解不同类型参数使用的不同，运行程序，给出运行结果。 (1) 用两个参数：in ,out 传入一个姓名，输出：某某人你好： create or replace procedure mp(v_in varchar2,v_out out varchar2) is begin v_out:=v_in||'你好'; end; declare v_name varchar2(10); begin mp('scott',v_name); dbms_output.put_line(v_name); end;--输出：scott你好 给出运行结果：

极值点偏移问题

极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；

函数极值点偏移问题

函数极值点偏移问题 在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题： 【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想． 解析1．e 第（2）问： 构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］， 当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增， 又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）． ∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2． 上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题． 若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下： ①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x） ②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性， ③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系

高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结

高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结 高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。 极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。 求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。 对函数极值概念的理解： 极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点： ①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图 ②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图． ③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． ④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有

极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例 2. 已知函数()ln f x x ax =-，a为常数，若函数() f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 . x x e ?> 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 x x >， ∵ 1122 ln0,ln0 x ax x ax -=-=，∴ 12121212 ln ln(),ln ln() x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴12 12 ln ln x x a x x - = - ，欲证明2 12 x x e >，即证 12 ln ln2 x x +>. ∵ 1212 ln ln() x x a x x +=+，∴即证 12 2 a x x > + ， ∴原命题等价于证明12 1212 ln ln2 x x x x x x - > -+ ，即证：112 212 2() ln x x x x x x - > + ，令1 2 ,(1) x t t x =>，构造 2(1) ln, 1 )1 ( t t g t t t - =-> + ，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 ln ln ln , ln x x x x a x x x x ==?=设2 12 1 ,,(1) x x x t t x <=>， 则11 21 11 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x + ==?=， 反解出： 1211 ln ln ln ln,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+= --- ， 故2 1212 1 ln ln2ln2 1 t x x e x x t t + >?+>?> - ，转化成法二，下同，略.

极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x

实验六 高层绘图操作答案

实验六 高层绘图操作 实验目的： 1. 掌握绘制二维图形的常用函数 2. 掌握绘制三维图形的常用函数 3. 掌握绘制图形的辅助操作 实验内容： 1. 1. 设x x x y cos 2^1sin 35.0????? ? ++=，在π 2~ 0=x 区间取101点，绘制函数曲 线。 x=0:pi/100:2*pi; y=(0.5+3*sin(x)./(1+x..^2)).*cos(x); plot(x,y); 2. 已知2 1x y = ，)2cos(2x y =，213y y y ?=，完成下列操作： （1） 在同一坐标系下用不同的颜色和线型绘制三条曲线。 （2） 以子图形式绘制三条曲线。 （3） 分别用条形图、阶梯图、杆图和填充图绘制三条曲线。 (1).在同一坐标系下用不同的颜色和线型绘制三条曲线。 x=0:pi/1000:2*pi; y1=x.^2; y2=cos(2*x); y3=y1.*y2;

plot(x,y1,'r',x,y2,'b-.',x,y3,'k--'); (2). 以子图形式绘制三条曲线。 x=0:pi/10:2*pi; y1=x.^2; subplot(2,2,1);plot(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); y2=cos(2*x); subplot(2,2,2);plot(x,y2,'b-.'); title('y2=cos(2*x)'); y3=y1.*y2; subplot(2,2,3);plot(x,y3,'k--'); title('y3=y1.*y2'); (3). 分别用条形图、阶梯图、杆图和填充图绘制三条曲线。x=0:pi/10:2*pi; y1=x.^2; subplot(2,2,1);bar(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); subplot(2,2,2);stairs(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); subplot(2,2,3);stem(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); subplot(2,2,4);fill(x,y1,'r');

极值点偏移问题专题.(精选)

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>

高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 <

2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性

matlab 实验6 函数及其调用

数学实验练习六：函数 一、1）写一个 MATLAB 函数 piFun01.m 来计算下列级数： f(n) = 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...) 其中 n 为函数的输入，代表上述级数的项数，级数和 f(n) 则是函数的输出。 解：function f=pifun01(n) f=0; for i=1:n f=f+4*(-1)^(i+1)/(2*i-1); end >> piFun01(100000) ans = 3.1416 2）使用 tic 和 toc 指令来测量 piFun01(100000) 的计算时间。如果你不知道如何使用这两个指令，请使用 help tic 及 help toc 来查出它们的用法。我的旧计算机是 Pentium 450MHz，所得的计算时间约为 2 秒。请说明你的计算机规格以及其计算时间。

解：function f=pifun01(n) tic f=0; for i=1:n f=f+4*(-1)^(i+1)/(2*i-1); end f=toc 二、写一个 MATLAB 的递归函数 fibo.m 来计算 Fibonacci 数列， 其定义如下： fibo(n+2) = fibo(n+1)+fibo(n) 此数列的启始条件如下： fibo(1) = 0, fibo(2) = 1. a) fibo(25) 的返回的值是多少？ 解:function f=fibo(n) if n==1 f=0; elseif n==2

f=1; else f=fibo(n-1)+fibo(n-2); end >> clear >> fibo(25) ans = 46368 b)使用 tic 和 toc 指令来测量 fibo(25) 的计算时间。我的计 算机是 Pentium 2GHz，所得的计算时间约为 3.35 秒。请说明你的计算机规格以及其计算时间。 解： function f=fibo(n) tic if n==1 f=0; elseif n==2 f=1; else f=fibo(n-1)+fibo(n-2); end

(完整版)极值点偏移问题专题.docx

极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x

1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，

6【题组六】函数极值点问题

例1、已知函数()d cx bx x x f +++=23（d c b 、、为常数），当()1,0∈x 时取极大值， 当()2,1∈x 时取极小值，则()2 2132b c ? ?++- ?? ?的取值范围是（ ） A 、2?? ? ??? B 、 ) C 、37,254?? ??? D 、()5,25 【巩固练习】 设函数cx bx x x f 33)(2 3 ++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（ ） A.21)(101- ≤≤-x f B.0)(2 1 1≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(2 7 1≤≤x f 例2、已知函数())1ln(2 ++=x a x x f 有两个极值点21,x x ，21x x <。 （1）求a 的取值范围； （2）求证：()4 2 ln 212->x f

【巩固练习】已知函数()x e mx x f 22 -=有两个极值点21x x <，21,x x 。 （1）求m 的取值范围；（2）求证：()21-<<-x f e 例3、已知函数()()R a ax x x f x x g ∈-==,,ln 2 。 （1） 若()()x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求a 的取值范围； （2） 设()()()x g x f x h +=函数有两个极值点21,x x ，且?? ? ?? ∈21,01x ，求证： ()()2ln 4 3 21-> -x h x h 【巩固练习】已知. （1）若对于公共定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围; （2）设有两个极值点,且,若恒成立,求实数的最大值. )()()(,ln )(,)(2 x g x f x h x x g ax x x f +==-=)()(x g x f ≥x a )(x h 21,x x )2 1,0(1∈x m x h x h >-)()(21m

实验六、用窗函数法设计FIR滤波器分析解析

实验六 用窗函数法设计 FIR 滤波器 一、实验目的 (1) 掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。 (2) 熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。 (3) 了解各种窗函数对滤波特性的影响。 二、实验原理 滤波器的理想频率响应函数为H d (e j ω )，则其对应的单位脉冲响应为： h d (n) = ?-π π ωωωπ d e e H n j j d )(21 窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列h(n)逼h d (n)。由于h d (n)往往是无 限长序列，且是非因果的，所以用窗函数。w(n)将h d (n)截断，并进行加权处理： h(n) = h d (n) w(n) h(n)就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数H(e j ω )为： H(e j ω ) = ∑-=-1 )(N n n j e n h ω 如果要求线性相位特性，则h (n )还必须满足： )1()(n N h n h --±= 可根据具体情况选择h(n)的长度及对称性。 用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数w(n)的类型及窗口长度N 的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。 三、实验步骤 1. 写出理想低通滤波器的传输函数和单位脉冲响应。 2. 写出用四种窗函数设计的滤波器的单位脉冲响应。 3. 用窗函数法设计一个线性相位FIR 低通滤波器，用理想低通滤波器作为逼近滤波器，截止频率ωc =π/4 rad ，选择窗函数的长度N ＝15，33两种情况。要求在两种窗口长度下，分别求出h(n)，打印出相应的幅频特性和相频特性曲线，观察3dB 带宽和阻带衰减； 4 用其它窗函数(汉宁窗(升余弦窗)、哈明窗(改进的升余弦窗)、布莱克曼窗) 设计该滤波器，要求同1；比较四种窗函数对滤波器特性的影响。 四、实验用MATLAB 函数 可以调用MATLAB 工具箱函数fir1实现本实验所要求的线性相位FIR-DF 的设计，调用一维快速傅立叶变换函数fft 来计算滤波器的频率响应函数。

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】

试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

3.不含参数的极值点偏移问题

3不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例1：已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +>

法2：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得212 1x x x e x -=， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入式，得11 t t x e x +=， 反解出11 t t x e =-， 则121221t t x x x t t e +=+= +-，故要证122x x +>， 即证221 t t t e +>-， 又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0 t t t e +-->， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=， 即证：②式成立，也即原不等式X1+X2＞2成立

实验六 函数

实验六 函数 一、实验目的 1．掌握自定义函数的一般结构及定义函数的方法。 2．掌握形参、实参、函数原型等重要概念。 3．掌握函数声明、函数调用的一般方法。 4. 了解函数的嵌套调用以及函数的递归调用的格式。 二、实验预习 1 .理解为什么要在程序中引入函数？函数的引入对程序的整体结构有什么样的影响？ 2. 函数的定义格式，理解函数的类型说明符根据什么来确定？ 3. 充分理解函数实参和形参的联系和区别，掌握单向值传递的意义。 4. 了解针对不同返回类型的函数返回值的应用，尤其是有无return 语句的区别。 5. 掌握函数调用与函数声明的格式，了解什么情况下需要进行函数声明？什么情况下不需要？ 6. 了解函数嵌套调用和递归调用的原理及使用原则。 三、实验内容 （一）阅读并调试下列程序，根据要求给出程序结果。 1．求三角形面积函数。 ⑴ 编程分析 ① 设三角形边长为a 、b 、c ，面积area 的算法是s=(a+b+c)/2, area=))()((c s b s a s s --- ，其中 显然，要计算三角形面积，需要用到三个参数，面积函数的返回值的数据类型应为实型。 ② 尽管main()函数可以出现在程序的任何位置，但为了方便程序阅读，通常将主函数放在程序的开始位置，并在它之前集中进行自定义函数的原型声明。 ⑵ 参考程序 /* 定义和使用求三角形面积函数的程序 */ #include "math.h" #include "stdio.h" float area(float,float,float); /*函数的声明*/ void main() { float a,b,c; printf("请输入三角形的三个边长值：\n") scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&c); if(a+b>c&&a+c>b&&b+c>a&&a>0.0&&b>0.0&&c>0.0) printf("Area=%-7.2f\n",area(a,b,c)); /* 以下是计算任意三角形面积的函数 */ float area(float a,float b,float c) { float s,area_s; s=(a+b+c)/2.0;

关于极值点的几个题目

关于极值点与零点的几个题 一．解答题（共7小题） 1．已知函数． （1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值围； （2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值围并证明x1+x2＞2． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域有两个不同的极值点 （1）求a的取值围； （2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1?x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值围． 3．已知函数f（x）=ln﹣ax2+x， （1）讨论函数f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2． 4．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）． （1）若a=，求函数f（x）的单调区间； （2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）有解，数a的取值围． 5．已知函数f（x）=lnx﹣ax． （Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，数a的取值围；

（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1． 6．已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值围． 7．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，数a 的值； （2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）