2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(三十一) 垂直问题3角度——线线、线面、面面
2018数学高考
高考达标检测（三十一）垂直问题3角度——线线、线面、面面
一、选择题
1．(2017·青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()
A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a?α，b⊥β，α∥βD．a?α，b∥β，α⊥β
解析:选C对于C项，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C、2．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()
A．m∥l C．n⊥l B．m∥n D．m⊥n
解析:选C∵α∩β＝l，∴l?β、∵n⊥β，∴n⊥l、
3．(2017·南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β、直线l满足l ⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则()
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析:选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l、4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β()
A．不存在
C．有且只有两对B．有且只有一对D．有无数对
解析:选D过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α、故选D、
5．(2016·银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF 的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()
A．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF 2018数学高考
B．AG⊥平面EFH
D．HG⊥平面AEF
解析:选A由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A、6．(2017·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题:
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD、
其中为真命题的是()
A．①②C．②④B．②③D．①④
解析:选D①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC?AM
⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD、④设
A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由
AC⊥BD?CO⊥BD?O为△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC、
二、填空题
7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________．
①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；
②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；
③若m?α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；
④若m?α，则在β内一定存在与m垂直的直线．
解析:对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m?α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．
答案:②④
8．在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
解析:如图，连接OA，OB，OC，OP，并延长AO交BC于H点，延长
BO交AC于D点，延长CO交AB于G点．
(1)在△R t POA、Rt△POB和△R t POC中，PA＝PC＝PB，
所以 h ＝ ，DE ＝ 、
由面积相等得
x 2
＋ ?2
＝ 所以 OA ＝OB ＝OC ，即 O 为△ABC 的外心．
(2)∵PC ⊥PA ，PB ⊥PC ，PA ∩PB ＝P ，
∴PC ⊥平面 PAB ，又 AB ? 平面 PAB ， ∴PC ⊥AB ，
又 AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ，∴AB ⊥平面 PGC ，
又 CG ? 平面 PGC ，
∴AB ⊥CG ，即 CG 为△ABC 边 AB 的高．
同理可证 BD ，AH 为△ABC 底边上的高，
即 O 为△ABC 的垂心．
答案:(1)外 (2)垂
9、如图，直三棱柱 ABC
A 1
B 1
C 1 中，侧棱长为 2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝
90°，D 是 A 1B 1 的中点，F 是 BB 1 上的动点，AB 1，DF 交于点 E 、要使 AB 1⊥平
面 C 1DF ，则线段 B 1F 的长为________．
解析:设 B 1F ＝x ，因为 AB 1⊥平面 C 1DF ，DF ? 平面 C 1DF ， 所以 AB 1⊥DF 、
由已知可以得 A 1B 1＝ 2，
1
设 Rt
△AA 1B 1 斜边 AB 1 上的高为 h ，则 DE ＝2h 、
又 2× 2＝h 22＋
2
2
，
2 3 3
3 3
在 Rt △DB 1E 中，B 1E ＝
? 2? ? 3?
?2－ ?2＝ ? 2 ? ? 3 ?
6 6 、
6
? 2? 6
? 2 ?
1
即线段 B 1F 的长为2、
2 1 2
x ，得 x ＝2、
答案:
1
2
三、解答题
△
10．如图，在 ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是 AC 的中点，S 是
△ABC 所在平面外一点，且 SA ＝SB ＝SC 、
(1)求证:SD ⊥平面 ABC ；
(2)若 AB ＝BC ，求证:BD ⊥平面 SAC 、
证明:(1)因为 SA ＝SC ，D 是 AC 的中点，
由题意知 BC ＝ 2λ a ，CN ＝BN ＝
a 2
＋ λ 2a 2
，1
所以 SD ⊥AC 、
在 Rt △ABC 中，AD ＝BD ，
又 SA ＝SB ，SD ＝SD ，
所以△ADS ≌△BDS ，所以 SD ⊥BD 、
又 AC ∩BD ＝D ，所以 SD ⊥平面 ABC 、
(2)因为 AB ＝BC ，D 为 AC 的中点，所以 BD ⊥AC 、
由(1)知 SD ⊥BD ，又 SD ∩AC ＝D ，
所以 BD ⊥平面 SAC 、
11．(2016·郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABC A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，
∠BAC ＝90°，点 M ，N 分别为 A ′B 和 B ′C ′的中点．
(1)证明:MN ∥平面 AA ′C ′C ；
(2)设 AB ＝λ AA ′，当 λ 为何值时，CN ⊥平面 A ′MN ，试证明你的结论．
解:(1)证明:如图，取 A ′B ′的中点 E ，连接 ME ，NE 、
因为 M ，N 分别为 A ′B 和 B ′C ′的中点，
所以 NE ∥A ′C ′，ME ∥BB ′∥AA ′、
又 A ′C ′? 平面 AA ′C ′C ，A ′A ? 平面 AA ′C ′C ， 所以 ME ∥平面 AA ′C ′C ，NE ∥平面 AA ′C ′C ，
所以平面 MNE ∥平面 AA ′C ′C ，
因为 MN ? 平面 MNE ， 所以 MN ∥平面 AA ′C ′C 、
(2)当 λ ＝ 2时，CN ⊥平面 A ′MN ，证明如下:
连接 BN ，设 AA ′＝a ，则 AB ＝λ AA ′＝λ a ，
2
因为三棱柱 ABC A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，
所以平面 A ′B ′C ′⊥平面 BB ′C ′C ，
因为 AB ＝AC ，点 N 是 B ′C ′的中点，
所以 A ′N ⊥平面 BB ′C ′C ，
所以 CN ⊥A ′N ，
要使 CN ⊥平面 A ′MN ，只需 CN ⊥BN 即可，
??
即2 a2＋λ2a2?＝2λ2a2，解得λ＝2，
2
B
所以CN2＋BN2＝BC2，
1
??
故当λ＝2时，CN⊥平面A′MN、
12．(2016·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC、
(1)求证:DC⊥平面PAC、
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC、
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
解:(1)证明:因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥DC、
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC、
(2)证明:因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC、
因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥AB、
又因为PC∩AC＝C，
所以AB⊥平面PAC、
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC、
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF、
理由如下:取PB的中点F，连接EF，CE，CF、
因为E为AB的中点，
所以EF∥PA、
又因为PA?平面CEF，EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF、
高考达标检测（一）集合
一、选择题
1．(2017·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，＝{2,4}，则?U(A∩B)＝()
A．{1,2,3}B．{1,2,4}
3．(2017·重庆适应性测试)设全集U＝R，集合A＝?x∈R?x
?－2>0?，B＝{x∈
C．{1,3,4}D．{2,3,4}
解析:选A因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以?
U
(A∩B)＝{1,2,3}，故选A、2．(2017·福州模拟)集合A＝{－3，－1,2,4}，B＝{x|2x<8}，则A∩B＝()
A．{－3} C．{－3，－1,2}B．{－1,2} D．{－3，－1,2,4}
解析:选C由题意知，集合A＝{－3，－1,2,4}，B＝{x|2x<8}＝{x|x<3}，则A∩B＝{－3，－1,2}，故选C、
R|0 U A)∩B＝() ???x－1 ?? ?? ?? A．(1,2] C．(1,2)B．[1,2) D．[1,2] 解析:选B依题意得? U A＝{x|1≤x≤2}，(? U A)∩B＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，选B、 4．(2017·武汉调研)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B＝() A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) B．(2,3] C．(－∞，3]∪(4，＋∞) D．[－2,2) 解析:选A因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A、5．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(? R Q)＝() A．[2,3] C．[1,2)B．(－2,3] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析:选B∵Q＝{x∈R|x2≥4}， ∴? R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}． ∵P＝{x∈R|1≤x≤3}， ∴P∪(? R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]． 6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是() A．7 C．25B．10 D．52 解析:选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}． ?3? Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得 a ＝－ 、综上可知，实数 a 的值为 1 或－ 、 8 B 由 x ∈A ∩B ，可知 x 可取 0,1； 由 y ∈A ∪B ，可知 y 可取－1,0,1,2,3、 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示: Y x －1 0 1 2 3 1 (0，－1) (1，－1) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) 所以 A *B 中的元素共有 10 个． 7．(2017·吉林一模)设集合 A ＝{0,1}，集合 B ＝{x |x >a }，若 A ∩B 中只有一个元素， 则实数 a 的取值范围是( ) A ．{a |a <1} C ．{a |a ≥1} B ．{a |0≤a <1} D ．{a |a ≤1} 解析:选 B 由题意知，集合 A ＝{0,1}，集合 B ＝{x |x >a }，画出数轴(图略)．若 A ∩B 中只有一个元素，则 0≤a <1，故选 B 、 8．设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P －Q ＝{x |x ∈P ，且 x ?Q }，如果 P ＝{x |log 2x <1}， Q ＝{x ||x －2|<1}，那么 P －Q ＝( ) A ．{x |0 C ．{x |1≤x <2} B ．{x |0 D ．{x |2≤x <3} 解析:选 B 由 log 2x <1，得 0 由|x －2|<1，得 1 所以 Q ＝{x |1 由题意，得 P －Q ＝{x |0 二、填空题 9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合 A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子 集，则实数 a 的值为________． 解析:由题意知，集合 A 有且仅有两个子集，则集合 A 中只有一个元素．当 a －1＝0， ?2? 即 a ＝1 时，A ＝? ?，满足题意；当 a －1≠0，即 a ≠1 时，要使集合 A 中只有一个元素，需 1 1 8 8 1 答案:1 或－
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