高二数学单元练习题

梯度训练

基础强化

1．关于(a－b)10的说法，错误的是( )

A．展开式中的二项式系数之和是1024

B．展开式中的第6项的二项式系数最大

C．展开式中的第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

解析　根据二项式系数的性质知，A、B、D正确．

答案　C

2．二项式(1－x)4n＋1的展开式中系数最大的项是( )

A．第2n＋1项 B．第2n＋2项

C．第2n项 D．第2n＋1项或第2n＋2项

解析　取n＝1验证知，

T3＝C，T4＝C(－1)3<0.

答案　A

3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的所有二项式的各项系数和为( )

A．2n＋1 B．2n＋1＋1

C．2n＋1－1 D．2n＋1－2

解析　由题意知，各项系数的和相当于x＝1时的值，即2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.

答案　D

4．在(a＋b)n的展开式中与第k项二项式系数相同的是( )

A．第n－k项 B．第n－k－1项

C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项

解析　由通项知，T k＝C a n－k＋1b k－1，

而T n－k＋2＝C a k－1b n－k＋1，

∵C＝C，∴应选D.

答案　D

5．如果是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．

1

3　3

5　6　5

7　11　11　7

9　18　22　18　9

…　…　…　…　…　…

解析　由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.

答案　2n－1

6．二项式(x－)6展开式的中间项为________．

解析　中间为第4项．

T4＝C x3(－)3＝－8C＝－160.

答案　－160

能力提升

7．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．

解析　(x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4

＝(x－1)8.由T r＋1＝C x8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C＝－8.

答案　－8

8．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答)

解析　依题意得2n＝32，∴n＝5.

∵T r＋1＝C(x2)5－r·()r＝C x10－5r.

令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C＝10.

答案　5　10

9．(x－y)4的展开式中x3y3的系数为________．

解析　由T r＋1＝C(x)4－r(－y)r＝(－1)r C x4－·y2＋r.令4－＝3，得r ＝2.

这时2＋r＝3.故x3y3的系数为(－1)2C＝6.

答案　6

10．在( 1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________．(用数字作答)

解析　对于(1＋x)3，展开式中x的系数为C＝3；对于(1＋)3，展开式的通项为T r＋1＝C()r＝C x，由＝1得，r＝2，故展开式中x的系数为C ＝3；对于(1＋)3，展开式中x的系数为1.故所求x的系数为3＋3＋1＝7.

答案　7

考试高手

11．如图所示，在杨辉三角中，

斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )

A．144 B．146

C．164 D．461

分析　观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．

解析　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.

∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C

＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)

＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.

答案　C