正切函数图象
正切函数
1.正切函数的图像
(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x
cos sin --=tanx
(其中x ≠k π+2π
,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.
(2)根据tanx=x x
cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,
从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π
,k ∈Z}
(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π
).利用单位圆中的正切线，通
过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π
(k
∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
y=tanx
2.余切函数的图像如下：
y=cotx
3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx
余切函数y=cotx
注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个
定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.
【重点难点解析】
本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切
线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π
(k
∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.
1.正切函数应注意以下几点：
(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π
,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)
正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π
)(k ∈Z)上是连续的；(3)
在每一个区间(k π-2π,k π+2π
)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.
2.解正切不等式一般有以下两种方法：
图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.
例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.
分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.
解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π
］
-tanx,x ∈(k π-2π
,k π)(k ∈Z)
所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π
,k
π］(k ∈Z).
说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜
tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为
ω
π.
例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须
tanx ＞3, 2cosx+3≥0,
x ≠k π+2π
(k ∈Z)
由此不等式组作图
∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π
).
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
例3 求函数y=tan(2x-3π
)的单调区间.
解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π
+k π)(k ∈Z)是增函数.
∴-2π+k π＜2x-3π＜2π
+k π,k ∈Z.
即-12π+2πk ＜x ＜125π+2π
k ，k ∈Z
函数y=tan(2x-3π
)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)
例4 求函数f(x)=tan(2x+3π
)的周期.
解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π
)
即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π
)
∴tan(2x+3π)的周期是2π
.
例5 求函数y=3tan(2x+3π
)的对称中心的坐标.
分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2π
k ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ω
x+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.
解：由2x+3π= 2π
k ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π
(k ∈Z)
∴对称中心坐标为(4πk -6π
,0)(k ∈Z)
注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.
【难题巧解点拔】
例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π
)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.
分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.
解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π
,k ∈Z}它是关于原点对称.
又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π
)
=-tan(x-4π)-tan(x+4π
)=-f(x)
故此函数是奇函数.
y=tan(x-4π)+tan(x+4π
)
=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π
)］
=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π
)］=2tan2x
∵sin(2π
-a)=cosa
cos(2π
-a)=sina
∴tan(2π
-a)=cota
cot(2π
-a)=tana
故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π
)
即-tan(x-4π)=cot(x+4π
)
周期为2π
当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π
(k ∈Z)
即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π
)时，原函数是增函数.
评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.
y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=
ωπ.
例2 已知
)]6cos(9211lg[
π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.
分析：从已知条件的不等式中解出cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.
解：由已知条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π
)］≤1.
得-21≤cos(x+6π
)≤21
∴k π+3π≤x+6π
≤k π+32π,k ∈Z.
∴k π+6π≤x ≤k π+2π
,k ∈Z.
∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2
+4
∴当x=k π+4,k ∈Z 时，y 取最小值4.
当x=k π+2π
,k ∈Z 时，y 取最大值5.
从而函数y=cot 2
x-2cotx+5的值域是［4,5］.
【典型热点考题】
例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )
A.(0，4π)
B.［0，4π］
C.［4π，2π］
D.(4π，2π)
分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.
解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π
)的性况.
∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π
)
∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π.
故选C.
例2 函数y=x x
2tan 12tan 12
2+-的最小正周期是( )
A. 4π
B. 2π
C.π
D.2π
解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确. ∴应选B.
解法2：y=x x
2tan 12tan 12
2+-=cos4x
∴T=42π=2π
∴应选B.
例3 函数y=x
2
1log 2++x tan 的定义域是 .
解：x 应满足
2+log 2
1x ≥0 ①
x ＞0 ② tanx ≥0 ③
x ≠k π+2π
,k ∈Z ④
由①②得0＜x ≤4 ⑤
由③④并注意到⑤得 0＜x ≤4
0≤x ＜2π
或π≤x ＜23π
∴0＜x ＜2或π≤x ≤4.
∴应填(0，2π
)∪[π，4]
例4 如果α、β∈(2π
,π),且tan α＜cot β,那么必有( )
A.α＜β
B.β＜α
C.α+β＜23π
D.α+β＞23π
解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.
有tan(α+β)=βαβ
αtan tan 1tan tan -+＞0
有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π
.
∴应选C.
说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=32π
,可排除A 、
B 、D.
【同步达纲练习】 一、选择题
1.下列不等关系中，正确的是( )
A.cot3＞cot4＞cot5
B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot3
2.下列不等式中，正确的是( )
A.tan 74π＞tan 73
π
B.tan(-413π)＞tan(-512
π)
C.cot4＜cot3
D.cot281°＜cot665°
3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ( )
A.(2k π-4π,2k π+4π
)
B.(k π,k π+4π
)
C.(k π-4π,k π+4π
)
D.(k π+4π
,k π+43π)
4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，也是偶函数
D.非奇非偶函数
5.如果4π＜θ＜2π
，则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )
A.sin θ＜cos θ＜tan θ
B.cos θ＜sin θ＜tan θ
C.tan θ＜sin θ＜cos θ
D.cos θ＜tan θ＜sin θ
6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.π
B. 2π
C. 4π
D.以上均不正确
7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π
个单位后得到的图像的解析式为( )
A.y=tan(2x+4π)
B.y=tan(2x-4π
)
C.y=cot2x
D.y=-cot2x
8.若tan(2x-3π
)≤1,则x 的取值范围是( )
A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π
(k ∈Z)
B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π
(k ∈Z)
C.k π-12π≤x ＜k π+247π
(k ∈Z)
D.k π-12π＜x ＜k π+247π
(k ∈Z)
9.函数f(x)=
x
x cot cot 1
+的定义域为( ) A.(k π,k π+2π
),k ∈Z B.(k π-2π
,k π),k ∈Z
C.(k π,k π+π),k ∈Z
D.以上均不正确
10.下列命题中正确的是( ) A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 C.当x ＞0时，tanx ＞0. D.以上均不正确.
11.函数y=tan(21x-3π
)在一个周期内的图像是( )
12.函数f(x)=x x x
x 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )
A.4π
B.2π
C.π
D. 2π
二、填空题
1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是 .
2.满足tan α＜cot α的角α的范围是 .
3.函数y=3tan(21x-4π
)的定义域是 ，值域是 .
4.函数y=sinx+cotx 的图像关于 对称.
三、解答题：
1.求下列函数的定义域：
(1)y=x x sin 21)
1lg(tan -- (2)y=
)
3tan(1
cos 2π
--x x
(3)y=
2cot
3x
-
2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 2
2-+的值域.
3.求函数y=-2tan(3x+3π
)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.
4.已知f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π
，0)，若｜b ｜＜31，求b 的值.
【素质优化训练】
1.解不等式3tan 2
(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.
2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.
3.已知有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π
)(k ＞0)它们的最小正周期
之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π
)+1,求a 、b 、k 之值.
4.已知关于x 的一元二次方程4x 2
+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.
5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).
答案：
【同步达纲练习】
一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D
二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π
,2k π](k ∈Z)
2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π
,k π+43π)(k ∈Z)
3.{x ｜x ≠2k π+23π
,k ∈Z}
4.(k π,0)(k ∈Z)
三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π
)(k ∈Z)
(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π
,k ∈Z }
(3){x ｜2k π+3π
≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }
2. 31
≤y ≤3
3.定义域{x ｜x ≠3πk +18π
,k ∈Z}
值域R ，周期3π
，非奇非偶函数
在区间(3πk -185π,3πk +18π
)(k ∈Z)上是单调减函数.
4.b=-31
【素质优化训练】
1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π
,k ∈Z}
2.相等
3.a=-3-1,b=3+1,k=2
4.(1)k=89 (2)x 2
-932
x+1=0
5.略
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ b x （接下来写作 f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f (x )=ax +b x ≥2√ab (当且尽当ax =b x 时取等号)，此时x =√b a 。 当x<0时，f (x )=ax +b x ≤?2√ab (当且尽当ax =b x 时取等号)，此时x =?√b a 。 ( 三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨 函数x b ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。 X
专题复习--函数图象中的行程问题
专题复习 函数图象中的行程问题 图象信息题是指由图象（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型，这类问题来源广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．而将普通的行程问题以图像的方式呈现无疑更是中考试题的亮点。解此类题的关键是“识图”和“用图”，一般步骤是： （1）观察图象，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系； （3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。下面以08、09两年的中考试题为例加以分类剖析。 一．相遇问题 例1．甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速向B 地行驶．甲车先到达B 地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y （千米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象． （1）请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A 到B 的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）求出甲车返回时行驶速度及A 、B 两地的距离． 解：（1）（ ）内填60，甲车从A 到B 的行驶速度：100千米/时 （2）设y kx b =+，把（4，60）、（4.4，0）代入上式得： 604044k b k b =+??=+? . 解得：150 600 k b =-??=? 150660y x ∴=-+ 自变量x 的取值范围是：4≤x ≤4.4 （3）设甲车返回行驶速度为v 千米/时， 有0.4(60)60v ?+=得90(/)v =千米时 A B 、两地的距离是：3100300?=（千米） 评析：细心、耐心的读题、审题是解题的前提。本题中的行程过程分三个阶段，分别对应了三段函数图像，因此理解图像中每一条线段以及每个折点的实际意义成了解题的关键。如：点（3，120）的含义是乙车出发3小时后两车相距120千米，而此时乙车行驶了180km ，甲车行驶了300km 。 从知识点上讲，此题主要考查了二元一次方程组、一次函数、、图像交点等内容，其中第（2）小题便是函数解析式与图像、方程的综合，第（3）小题对思维能力要求较高，关键仍是对图像要有足够的理解，需要学生有相当的读图能力。这三个问题环环相扣，层层推进，区分度较明显，既有利于考查学生思维的逻辑性和灵活性，也有利于考查学生的运算能力。 二．追及问题 例2．2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，
对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=a b 的时候。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=a b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0
对数函数图像及其性质
《对数函数及其性质》 学校：广西师范大学院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节
针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 （一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作
函数图像过定点问题
函数图像过定点得研究 题1: 求证:拋物线y＝（3－k)x2+(k－2）x+2k－１（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标。 归纳: 第一步:对含有变系数得项集中; 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量ｘ得方程（这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式)，即得到一个y 得值y0(定点得纵坐标）,于就是，函数图象一定过定点(x０，y0）； 第五步：反思回顾,查瞧关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： (２001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数，二次函数得图像总过得点就是( ） A、 (1，3) B、（1,０）Ｃ、(－1，３)?D、 (—1，0）
巩固练习: 1.无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）x＋m得图象总就是过定点（） Ａ。?（1,３）?B．（１，0）?C. (﹣1，3） D. (﹣1，0） 2.对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）ｘ﹣１(a≠0),下列说法正确得有( ） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为；③当a〉0时,函数在ｘ〈1时，ｙ随x得增大而减小；④当a〈0时，函数图象截x轴所得得线段长度必大于2. A. 1个B．2个C。３个D。４个 ３、（２01２?鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mｘ２﹣2mx+3(ｍ≠０）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：＿__＿_＿＿＿＿。 4。某数学小组研究二次函救y=mx2﹣３mx+２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。请您写出这两个定点得坐标：__＿_____＿. 5。（2009?宜宾县一模)二次函数ｙ=x2+bx+c满足b﹣c＝2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是 _＿_______ . ６．无论ｍ为何实数，二次函数ｙ=ｘ2﹣(２﹣m）x+ｍ得图象总就是过定点＿_＿_＿___＿. ７．已知一个二次函数具有性质(１）图象不经过三、四象限；（２)点（2，1)在函数得图象上；（3)当x＞0时，函数值y随自变量x得增大而增大。试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _＿__＿＿___ 。 8、证明无论m为何值，函数y＝mx-（４m—３）图像过定点,求出该定点坐标
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b x （接下来 写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f(x)=ax+b x ≥2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= √b a 。 当x<0时，f(x)=ax+b x ≤?2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= ?√b a 。 即对勾函数的定点坐标：A:(√b a ,2√ab)、B:(?√b a ,?2√ab) a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同 对勾函数的图像（ab异号）
二次函数图像问题及答案难题.
二次函数图像性质 1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ， ①abc ＜0；② 24b ac <；③1-=-b ac ； ④02<+b a ；⑤ a c OB OA -=?； ⑥024< +-c b a 。其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是 3，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ________________．(填序号) 5．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结 论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点（-2，0）（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在（0，2）下方。下列结论：（1）4a-2b+c=0.(2)a ＜b ＜0.（3）2a+c ＞0.（4）2a-b+1＞0.其中正确的序号是 . 第（16）题
(新)高中数学复习专题一---函数图象问题
专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
(完整版)一次函数图像问题附答案
一次函数图像问题附答案 一、基本识图问题 1.（2007?常州）如图，图像（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（） A、第3分时汽车的速度是40千米/时 B、第12分时汽车的速度是0千米/时 C、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 二、行程问题 1.（2009?滨州）小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图像能表示小明离家距离与时间关系的是（） A、B、 C、D、 2.（2007?鄂尔多斯）如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1?A2?A3?A4?A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图像大致是（）
A 、 B 、 C 、 D 、 三、行走路线问题 1. 图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y ）与时间（x ）之间的函数图像。若用黑 点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ） 四、速度问题 1.如图4所示的函数图像反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其 中x 表示时间，y 表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速度为 千米/小时。 2. 图中由线段OA 、AB 组成的折线表示的是小明步行所走的路程和时间之间的关系，其中x 轴表示步行的时间，y 轴表示步行的路程．他在6分至 8分这一时间段步行的速度是（ ） A 、120米/分 B 、108米/分 C 、90米/分 D 、88米/分 五、图像变化快慢问题 图1 图4
对勾函数绝对经典(教学知识)
对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误!未找到引用源。。 当 x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数 3 2 4 2 2 2 + + + + = x x x x y的最小值。 解：令3 2 2+ + =x x t，则2 2 )1 (2≥ + + =x t t t t t y 1 1 2 + = + = 根据对号函数 t t y 1 + =在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当2 = t时y有最小值 y X O y=ax
对数函数图像及其性质
《对数函数及其性质》人教A版第二章第2.2.2节 学校：广西师大学 院系：数学科学学院 作者： 学号：
对数函数及其性质 一、教学设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点 大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通
函数图像问题综合
一、指数函数图像应用 练习一 1.函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0
练习二 1．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) 2．函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 3．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( ) 4．(2016·唐山二模)当x ∈[1,2]时，函数y ＝1 2x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点， 则a 的取值范围是( ) A.??????12，2 B.??????12，2 C.??????14，2 D.???? ??14，2
二、对数函数图像应用 1．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( ) 2、(2017·成都一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a
(完整版)对数函数的图像与性质知识点与习题
对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾： 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __； 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ，则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a
5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ） （A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m 6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 7．若13 2 log >a ，则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个． 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ，值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(| 动点问题与函数图象（刘老师在线） 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直 线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑， ①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A． A. … B. 3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而 成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是 【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是 一次函数图象题（行程问题）提高篇 11．（2012武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到 终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出 发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中 正确的是（） A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③考点：一次函数的应用。 解答：解：甲的速度为：8÷2=4米/秒； 乙的速度为：500÷100=5米/秒； b=5×100﹣4×（100+2）=92米； 5a﹣4×（a+2）=0， 解得a=8， c=100+92÷4=123， ∴正确的有①②③． 1、在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原 路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出 发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图10 中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为km，乙、丙两地之间的距离为km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多 少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范 围． 2· 4· 6· 8· S(km) 2 0 t(h) A B 2、一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设 客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图12所示： （1）根据图象，直接写出 ．．．．y1，y2关于x的函数关系式。 （2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。 （3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。 （4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。 3、在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、 乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、 乙两船行驶x（h）后，与．B．港的距离 ．．．．分别为1y、2y（km），1y、2y与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为km， a； （2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见 时x的取值范围． O y/km 90 30 a P （第3题） x/h 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ， 43，35，110 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A 43，35，110 B ，43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1 的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； ⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例3】求下列函数的定义域． (1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)； (3)y =． 分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，故函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}． 第37课时 对勾函数)0()(≠+=x x a x x f 的图像与性质 【学习目标】 1． 理解并掌握对勾函数)0()(≠+ =x x a x x f 的图像与性质； 2． 通过对勾函数)0()(≠+ =x x a x x f 的图像与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法． 【课前导学】 【问题情境】已知函数x x x f 1)(+=（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）证明函数在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数． 【课堂活动】 一．建构数学： 问题（1）你能用我们学过的函数知识证明该函数x x x f 1)(+=在),0(+∞的最小值为)1(f 吗？ 答略． 问题（2）你能画出该函数在定义域上的大致图象吗，怎样画？ 提示：描点作图：先画出在),0(+∞上的图象，再由奇偶性画出在)0,(-∞上的图象（有条件的情况下可用Excel 软件作图） 问题（3）你能知道该函数在)0,(-∞上的最值情况吗？能说明理由吗？ 答略． 问题（4）你能知道该函数在)0,(-∞上的单调性吗？能说明理由吗？ 说明：设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识，全面检测学生对函数的基础知识和基本方法的掌握情况． 二．应用数学： 1．教师引导，学生合作探求 我们已经知道x x x f 1)(+ =的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况，那么你能解决下列问题吗？ （1）求函数x x x f 4)(+ =的单调区间． （2）求函数x x x f 9)(+=的单调区间． （3）求函数)0()(>+=a x a x x f 的单调区间？并给出证明． （1）和（2）可以让学生分组讨论．探求，交流发言，形成共识后解决（3）． 设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台，训练观察、分析、解决问题的能力，让学生尝试数学发现之路即：观察、分析、归纳、猜想、证明．轻松解决动点问题与函数图象
一次函数图象题(行程问题)提高篇
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
高中数学 37《对勾函数的图像与性质》学案 苏教版必修1