沪科版-数学-七年级上册-7年级上册：名师导航(3.4 用一次方程(组)解决问题)

3.4 用一次方程(组)解决问题

名师导航

知识梳理

1.列方程(组)解决应用题时，首先要弄清题中的___________关系，写出所需的___________，然后列出方程或方程组解决.

2.常见应用题类型的等量关系如下：

路程=速度×___________；销售的利润=销售额-___________；

工程量=工作效率×___________；本息和=本金+___________；

利息=本金×___________×___________；利息税=利息总额×___________.

3.分析问题中的等量关系时可画___________帮助我们理清数量关系，也可用列___________帮助我们理清数量关系.

4.在方程(组)所求的答案中，要考虑实际问题对方程组解的限制，对问题要有准确的决策和判断.

教材中列举了不同类型的实际问题，分别用不同的方法分析和探讨了如何列方程或方程组的过程，学会用方程描述常见问题中的相等数量关系.初步感受方程是刻画现实世界的有效模型,初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值.

疑难突破

1.解决应用题时，用列一元一次方程与列二元一次方程组解答各有什么特点？

剖析：列一元一次方程只需要设一个未知数，一般是把题中的两个数量相等关系用一个未知数的形式表示出来，从方程中不宜直接观察出等量关系，若题中的等量关系较复杂时，列方程时会感到困难，列出来的代数式形式可能也较麻烦，会增加解方程的难度.

二元一次方程组是设两个未知数，直接表示题中所存在的两个数量关系，如果问题中能够直接发现未知数间的两个数量关系，则列方程组求解.二元一次方程组的解法比较灵活，所以解决实际问题常用方程组来解决.

有些问题，既可设一个未知数，建立一元一次方程来解，也可设两个未知数，列方程组来解.通过分析教材中多个实际问题中的等量关系，比较列一元一次方程与列方程组的区别与联系，更好地体会二者在实际应用中的广泛性.

2.了解列二元一次方程组解应用题的一般步骤

剖析：列二元一次方程组解应用题的一般步骤是：

(1)弄清题意和题目中的等量关系，用两个字母表示题中的未知数；

(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系；

(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

(4)解这个方程组，求出未知数的值；

(5)写出答案(包括单位名称).

问题探究

问题列方程(组)解应用题的三种方法各是多少？

探究：列方程(组)解应用题的解题思路主要是方程思想的具体应用，也就是把数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，运用数学符号语言使问题转化为解方程(组)问题.

译式法:这是列方程(组)解应用题的常用方法，在正确分析题意的基础上，将题目中关键性语言或数量及数量之间的关系，用代数式依次表示出来，再根据各代数式之间的内在联系，找到相等关系，列出方程.

图示法：对于一些较直观的问题，可将题目中条件及它们之间的关系用简单明了的示意图表示出来，然后根据图示中有关数量的内在联系，找到相等关系，列出方程.

表格法：将题目中的有关数量及其关系填在事先设计好的一个表格内，然后再根据表格

逐层分析，找到各量之间的内在联系，从而找到相等关系，列出方程.

无论寻找哪种相等关系，都需要认真审题，明确题目的已知量、未知量，以及它们之间的关系.

列方程(组)解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系.所谓“能表示全部题意”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不要漏掉，但也不能把同一条件重复利用.

通过应用数学知识，把实际问题抽象成数学问题，培养学生分析问题和解决问题的能力以及“学数学、用数学”的意识.

典题精讲

例1 老牛和小马各驮几个包裹一同赶路.老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马的背上拿下1个包裹给老牛，则老牛背上的包裹数则是小马的2倍.问老牛和小马各驮了几个包裹？ 思路分析：引导学生探索题中等量关系，即老牛的包裹数=小马的包裹数+2，老牛的包裹数+1=2(小马的包裹数-1).列出二元方程组可求解.

答案：设老牛、小马各驮x 、y 个包裹，由题意列方程组，得???-=+=-)2()1(21)1(2

y x y x

由①得，x=2+y. ③ 将③代入②得，(2+y)+1=2(y-1)，

解得y=5.

把y=5代入③，得x=7.

所以原方程组的解为???==,

5,7y x 即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.

绿色通道：把实际问题抽象为数学问题，再从数学问题到列出方程组,关键在于弄清题意，恰当地巧设未知数，找出问题中的相等关系.所以要先分析题中的等量关系，然后根据等量关系列出所需代数式，最后再列出含有所设未知数的方程组.

变式训练 为保持生态平衡，某地区实施“退耕还林”工程.退耕还林后林场与耕地共有168公顷，其中耕地面积仅占林场面积的20%.退耕还林后林场和耕地的面积分别是多少？ 答案：设退耕还林后林场面积为x 公顷，耕地面积为y 公顷，则有方程组???==+,

%20,168x y y x 解

得?

??==,28,140y x 即退耕还林后林场和耕地的面积分别是140公顷，28公顷. 例2 (2004吉林长春) 小芳在A 、B 两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同.随身听和书包之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.

(1)小芳看中的随身听和书包的单价各是多少元？

(2)某一天小芳上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但她只带了400元钱，如果她只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明她可能选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

思路分析：第(1)问主要是分析题意，找准相等关系；第(2)问要分别计算在A 、B 两超市购买各需多少钱.

答案：(1)解法一：设随身听单价为x 元，则书包的单价为(452-x)元.

根据题意，得x=4(452-x)-8.

解得x=360.

当x=360时，452-x=92.

解法二：设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元.

根据题意得?

??-==+.84,452x y y x 解得???==.

360,92y x 答：书包的单价为92元，随身听的单价为360元.

(2)在A 超市购买随身听和书包需花452×80%=361.6

(元).在B 超市先购买随身听花360元，获得90元购物券再加2元购买书包，共花362元. 所以在A 超市购买更省钱.

绿色通道：经历把实际问题抽象出数学问题的过程，体会方程(组)是人们分析、解决实际问题的有效工具.进一步领会方程与现实生活间的密切联系，感受数学建模思想的应用.

要深刻理解题意，把握题中隐含条件及内在联系(如题中等量关系语句、量与量之间的关系).

变式训练 某商场购进商品后，加价40%作为销售价.商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣.某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元.甲、乙两种商品的进价分别为多少元？

答案：设甲、乙商品的进价分别为x 元、y 元，则有方程组

???=+++=+++,490%)401(%)401(,399%)401(9.0%)401(7.0y x y x 解得???==.

200,150y x 即甲、乙两种商品的进价分别为150元，200元.

例3 (2005山东烟台) 庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90)准备统一购买服装参加演出，

如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5 000元.

(1)如果甲、乙两所学校联合起来购买服装，那么比各自购买服装可以节省多少钱？

(2)甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？

(3)如果甲校有10名同学抽调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案.

解析：(1)从图表中看出，一次购买服装的数量越少，价格就越高，因此学校联合购买能便宜.

(2)因为两所学校有92人参加，甲校比乙校的人数多，所以甲校多于46人，乙校小于46人，根据两校单独购买需要5 000元，可以求出各校的人数.

(3)如果有10人不能参加比赛,那么参加比赛的人数为82人，两校联合购买的价格是50元，需付4 100元，比买91套服装的费用91×40=3 640要高，因此,应选择买91套服装.

答案：(1)据题意得5 000-40×92=1 320(元)，即两校联合购买服装比各自购买服装可以节约资金1 320元.

(2)设甲、乙两所学校各有x 名、y 名学生准备参加演出，由题意，得???=+=+.

50006050,92y x y x 解

得???==,

40,52y x 所以甲、乙两所学校各有52名、40名学生准备参加演出.

(3)因为甲校有10人不能参加演出，此时两校合买应花费50×(52-10+40)=4 100元.此时比各自购买服装可以节约82×60-4 100=820元.但如果两校联合购买91套服装,只需40×91=3 640元.因此,最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装(即比实际多购买9套.可以分给家庭困难的学生穿).

绿色通道：通过设计好的一个表格将题目中的有关数量及其关系表示出来，然后再根据表格中数据条件，找到各量之间的内在联系，从而找到相等关系，列出方程组.

为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施.一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房.若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费 1 510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？

解答：解法一：设三人普通间和双人普通间各住了x 、y 间，根据题意，得

???=?+?=+.

15105.01405.0150,5023y x y x 解得?

??==.13,8y x 解法二：设三人普通间和双人普通间各住了x 、y 人，根据题意，得

??

???=??+??=+.1510125.014035.0150,50y x y x 解得?

??==.26,24y x 所以c=8(间)，226=13(间). 解法三：设三人普通间住了x 人，则双人普通间住了(50-x)人，根据题意得，

150×0.5×

3x +140×0.5×2

50x -=1 510. 解得x=24. 50-x=26，324=8，226=13. 所以，三人普通间和双人普通间各住了8、13间.