量子力学主要知识点复习资料全

大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分

1能量量子化

辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性

波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2

λ

h

m p ==v

3.波函数及其物理意义

在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程

0),()](2[),(22=-?+??t r r V m

t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其

中，振幅

表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以，

应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。

自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ

波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义

常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。

相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )

2

(,,)x y z ψ(,,)

c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ

附件出现概率的描述是相同的。

表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。

表示点(x,y,z )处的体积元

中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1

必然有以下归一化条件

5. 力学量的平均值

既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子

坐标的平均值，例如x 的平均值x __

，由概率论，有 又如，势能V 是 r 的函数：)(r V

，其平均值由概率论，

可表示为?

+∞

∞

-=r d r r V r V 3*

)()()( ψψ?+∞∞

-=r d r r V r V 3*)()()(

ψψ

再如，动量 的平均值为：

为什么不能写成

因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值 可以，但需要表示为p __

r d r p r ?

+∞

∞

-=

3*)(?)(

ψψ

其中

为动量 的算符 6.算符

量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算

如动量算符?-≡

i p

? 能量算符E

t

i E ?≡??=

动能算符22

2??-=m

T

动能平均值r d r T r T ?

+∞

∞

-=3*)(?)(

ψψ 角动量算符p

r l ??

?= 角动量平均值r d r l r l ?

+∞

∞

-=3

*

)(?)( ψψ 薛定谔方程

),()],(2[),(2

2t r t r V m

t r t i ψψ+?-=??

2

|(,,)|x y z x y z ψ???x y z τ?=???2|(,,)|1

x y z dxdydz ψ∞

=?2

2

|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =

23

*3|()|()(),

x r xd r r x r d r ψψψ+∞

+∞

-∞

-∞

=

=?

?3d r dxdydz

=*3()(),

p p p p d p ??+∞

-∞

=??

+∞

∞

-=

r

d r r p r p 3*)()()(

ψψ?-≡ i p ?p

算符

，被称为哈密顿算符， 7.定态

数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 方程

称为能量本征方程，

被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。

当E 为确定值，),(t r ψ=)(r E ψ)exp(Et i

-拨函数所描述的状态称为定态，处

于定态下的粒子有以下特征：

粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。 8.量子态叠加原理

但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即

)()(x c x n n

n ψψ∑=

，

具有),(中发现粒子处于态)(表示在态||2x x c n n ψψ的概率能量n E

9. 宇称

若势函数V （x ）=V （-x ），若)(x ψ是能量本征方程对于能量本征值E 的解，则)(x -ψ也是能量本征方程对于能量本征值E 的解

具有确定的宇称。无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(x x x V x V E

x ψψψ-=

10.束缚态

通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态

?

Af af =?A →算符,f →本征函数,a →本征值2

2

?()2H V r m

=-?+22?[()]()()()()2E E E E V r r E r H r E r m

ψψψψ-?+=→=)

(r E ψ:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()P P x x P x x x P x x x x P x x x P x x x ψψψψψψψψψ=-=-==-=-→=-=→=-=-定义空间反演算符为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称

11. 一维谐振子的能量本征值 12. 隧穿效应

量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。

又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。 13. 算符对易式

一般说来，算符之积不满足交换律，即

，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系

对易式 ，通常 坐标对易关系

角动量的对易式

,0]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,0]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,0]?,?[,

0],?[,],?[,],?[,],?[,0],?[,],?[,],?[,],?[,0],?[=-====-=-====-====-=-===z y x y z y x z x z y y y z x y y z x z y x x x y z z y y y x x x p

l p i p l p i p l p i p l p l p i p l p i p l p i p l p l z l x i y l y i x l x i z l y l z i x l y i z l z i y l x l

y

x z x z y z y x z z y y x x l i l l l i l l l i l l l l l l l l ?]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,0]?,?[,0]?,?[,0]?,?[ ======

.,2,1,0,)2/1(???=+==n n E E n ω A B B A ?

???≠A B B A B A B A

????]?,?[,??-≡?设和0]?

,?[≠B A ??

?≠===βαβ

αδααββ,0,]?,[ i i p z

y x ,,,=βα

14.厄密算符平均值的性质

,?~??,?*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则A A A A ?。＝即记为*

~??,?A A A ++先转置，再共

轭。

**

?~

?ψτ??τψA d A d ?

?= 体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 15. 量子力学关于算符的基本假设

1、微观粒子的状态由波函数 描写。

2、波函数的模方

表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z )的概率。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定格方程

16. 算符的本征方程，本征值与本征函数

数学中，形如

的方程，称为本征方程。其中

3

*其中，,)(均可展开如下：

状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如?是算符和dr a a x A A A n n n n

n n n n n ?

∑=

=

?ψψψψψψψ17. 不确定度关系的严格表达

18. 两个算符有共同本征态的条件

?

Af af =)

,(t r

ψψ=2

|),(|t r ψ2

22

2?(,)()(,)(,),2?(,)2i r t V r t H r t t m

H

V r t m

ψψψ?=-?+=?=-?+→哈密顿算符

?A

→算符,f →本征函数,a →本征值?,???n n n

n n

A

A A n A A A A A

A

ψψψψψψ==满足的和不止一组可能有组，因此

此式称为的本征方程，称为的一个本征值，称为的一个本征态。

两个算符对易，即0]?,?[ B A

19. 力学量完全集

若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由 的本征值不能确定体

系状态，必再加上

的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，

我们定义力学量完全集。

定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本

征函数集，记为

，

可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系

的一个可能状态，则称

为体系的一组力学量完全集。

20. 力学量完全集共同本征态的性质

若能级简并

21. 守恒量

对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A 称为量子体系的一个守恒量。

22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用

把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α>表

示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方。|β><α|是外积。

*

的共轭态

量子态

左矢

|

；

代表量子态

右矢

|

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

→

→

<

→

>→

是力学量完全集

若

k

ψ)

?

,

?

(

是

如球谐函数

,

|

|

的本征态，则2

z

lm

k

l

l

Y

k

F>

>→

ψ

>

>→lm

Y

lm

|

|

的共同本征函数，

采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。

∑

∑><

=

=

=

><

k

k

k

k

k

k

P

I

P

I

k

k为投影算符

|

|

,

或

|

|

算符向左作用

23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数

?

θ

π

?

θim

m

l

m

lm

z

e

P

m

l

m

l

l

Y

l

l

)

(cos

)!

(

)!

(

4

1

2

)1

(

)

,

(

的共同本征函数为

?

和

?

这样，2

+

-

+

-

=

???

=

-

+

-???

-

=,2,1,0

,

,1

,

,1

,

其中l

l

l

l

l

m

???

=

-

+

-???

-

=

??

?

?

?

=

+

=

,2,1,0

,

,1

,

,1

,

?

)1

(

?

足

称为球谐函数，它们满

2

2

l

l

l

l

l

m

Y

m

Y

l

Y

l

l

Y

l

Y

lm

lm

z

lm

lm

lm

注意量纲

注意，推导过程计算题有可能要考

24.氢原子的能量本征值与能级简并度

,,3,2,1,12122

2224???=-=-==n n

a e n e E E n

μ

简并的氢原子的能级是2n

25. 正常Zeeman 效应

原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。 26. 电子自旋

电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称

自旋不是机械的自转

27关于电子自旋的Stern-Gerlach 实验

Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩－革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O 内蒸发,通过狭缝形成细束， 经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片P 上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。

实验上高温炉中的Ag 原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。 28碱金属原子光谱双线结构

自旋。

性。其根源正是电子的果，而是原子的故有特外界因素作用的结效应不同，此现象并非与。0.589，6.589两条谱线构成：是由行观测，发现它实际上用高分辨率的光谱仪进,3.589的跃迁产生一条黄线33对钠原子，21Zeeman nm nm nm s p ===→λλλ

29. 量子跃迁与选择定则

。

1|能跃迁到第一激发态只

0|振子从基态在外电场的激发下，谐>>

。

这称为跃迁的选择定则的跃迁发生，1表明允许谐振子不能发生，0，，30，20可以发生，

10以上结果表明，1

,0)(,

02)(02

22

2102

2=?→→→→>=∞>∑=∞-n n n P e q P n τ

ωπτω

μ

即谐振子只能跃迁到相邻能级 30.禁戒跃迁

的跃迁是禁戒的。

到者说，从的跃迁是不可能的，或到表明从，0，0，使得若存在这样的末态)13(||1

)(时，有

的概率。当跃迁到末态代表系统从初态)(则,|)(|)(令)

12(1)(已知

20

220

k k

k k P H k dt H e t P k k k k t P t C t P dt H e i t C k k k k

t

k k

t i k k k k k k k k t

k k

t

i k

k k k k k k k ''=→='''=≠''='+=''''''''''??

''

ωωδ

的跃迁为禁戒跃迁。0，，30，20。或者说，

1其中,|能跃迁到激发态不

0|振子从基态在外电场的激发下，谐n n n →→→>>> 31. 微扰论的思想

解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。 32.突发微扰与绝热微扰

做绝热微扰。

样的微扰叫会改变系统的状态，这地作用到系统上时，不当外界的微扰十分缓慢做突发微扰。

这样的微扰叫不会改变系统的状态，地作用到系统上时，也当外界的微扰十分突然

33. 能量与时间不确定度

不能同时为零。

度，同系统能量的不确定变化快慢的周期此式反映了一个力学量2

此式的一般形式为：确定度关系，可以证明被称为时间－能量的不E t t E h E t ??≥

??∝??

34. 能级宽度与谱线宽度

展宽。

一个宽度，这叫能级的

所以，所有的能级都有

2

由于能量不确定性

≥

?

?t

E

k

称为谱线宽度。

,

这叫谱线的展宽

/

)

(

其中，

,

该是

谱线的频率应

.

频率范围

一个频率，而是有一个

/

)

(

发出的谱线，就不止

时，

跃迁到

，所以，当电子从

,

既然能级有展宽，即

1

)

(

1

)

(

1

1

)

(

1

1

)

(

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

?

?

+

?

=

?

?

+

=

?

-

=

?

+

=

?

+

=

-

-

-

-

-

-

h

E

E

h

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

35.半经典理论

36吸收，受激辐射，自发辐射

后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结PPT，但是那个PPT只给了考点范围，没

有给概念解释，所以我查阅了PPT，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得，制作粗糙，请见谅。

本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。

本人不保留版权，欢迎各位学霸对此资料进修正。