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等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合

填空题

1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,

则{}n a 的通项公式是______.

【答案】2

2n a n n =-+

2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()*

11226n n a n N a +-=∈+,则11n

i i

a =∑=______. 【答案】232

n n ?--

3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,

若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3

4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.

【答案】14

5 ．已知数列

}{n

a 满足1

22n n a

qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，

则1a = ．

【答案】2-或

126

6 ．观察下列等式:

31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1

4×2

3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *

, 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1

n =______. 【答案】()n

n 211

1?+-

7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如

下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在

n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____.

【答案】1951 8 ．若数列

{}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =??

?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

述性质,若数列{}n c 是等差数列,则当n d =_______时,数列{}n d 也是等差数列.

【答案】

c c c n

+++ 21

9 ．已知等差数列{}n a 满足:21-=a ,02=a .若将1a ,4a ,5a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比

数列,则所加的这个数为___________. 【答案】7-

10．过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的

切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.

【答案】()

e n n ，

11．已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n 项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<

125

的最小整数n 是______. 【答案】7

解答题

12．数列{}n a 是公比大于1的等比数列,62=a ,263=S .

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ,使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立;

(3)对于(2)中的数列1d ,2d ,3d ,???,n d ,???,这个数列中是否存在不同的三项m d ,k d ,p d (其中正整数m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.

【答案】

13．设等差数列}{n a 的公差0≠d

,数列}{n b 为等比数列,若a b a ==11,33b a =,57b a =

(1)求数列}{n b 的公比q ;

(2)若*,,N m n b a m n ∈=,求n 与m 之间的关系;

(3)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数

r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列?说明理由.

【答案】解:(1)设}{n b 的公比为q ,由题意

?????+=+=d a aq d a aq 6242 即?????=-=-d

a aq d

a aq 624

2 1=q 不合题意,故3

11142=--q q ,解得22=q 2±=∴q

(2)由m n b a =得

1)1(-=-+m aq d n a ,又a a aq d =-=22 2

a d =

∴ 1)2(211-±=-+∴m n 即2

112

)1(1+-±=+m m n

1N n ∈+ 0)

>±∴-m 122

1-=∴+m n m 为奇数，且

(3)若}{n a 与}{n b 有公共项,不妨设m n b a = 由(2)知:12

1-=+m n m 为奇数，且

令)(12*

N k k m ∈-=,则11122)2(---?=?=k k m a a b

a c n n 12-=∴

若存在正整数)(r q p r q p <<、、满足题意,则

???+?++?=+?+=---)

2()2()2(221

11r a p a q a r

p q r p q 1

2--+=∴r p q ,又)""(2

===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p

又r p ≠ ,2

r p r p +-->+∴

又x

y 2=在R 上增,2r p q +>

∴.与题设2

p q +=矛盾, ∴若不存在r q p 、、满足题意

数学附加题

14．已知数列

{}n a 的前n 项和为n S , 且1517a a +=.

(1)若

{}n a 为等差数列, 且856S =.

①求该等差数列的公差d ;

②设数列{}n b 满足3n n n b a =?,则当n 为何值时,n b 最大?请说明理由;

(2)若

{}n a 还同时满足: ①{}n a 为等比数列;②2416a a =;③对任意的正整数k ,存在自然数m ,使得

2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,试求数列{}n a 的通项公式.

【答案】解: (1)①由题意,得

11241782856

a d a d +=??

+=? 解得1d =-4分

②由①知

1212a =

,所以232n a n =-,则23

33()

2n n n n b a n =?=?-

因为1121233()3()22n n n n b b n n ++-=?--?-2123

3[3()()]23[10]22n n n n n =?---=??-

所以

1110

b b =,且当10n ≤时,

{}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,

故当10n =或11n =时,

b 最大

(2)因为{}n a 是等比数列,则241516a a a a ==,又1517a a +=,所以15116a a =??

=?或1516

1a a =??=?

从而1

n n a -=或

(2)

n n a -=-或

1116()2n n a -=?或1

16()2n n a -=?-. 又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,得22k k m S S S +=+,而公比1q ≠,

所以2111(1)(1)(1)

2111k k m a q a q a q q q q +---=+---,即22k k m q q q +=+,从而22m k

q q -=+ (*)

当1

2n n a -=时, (*)式不成立; 当

(2)n n a -=-时,解得1m k =+;

当

16()2n n a -=?时, (*)式不成立;

当

16()2n n a -=?-时, (*)式不成立. 综上所述,满足条件的

(2)n n a -=-

15．已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.

(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;

(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.

【答案】解:(1)由题得

225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以

21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=

(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13

b q

,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +?+=+=. 设1133a b m

a b n

+=??

+=?,*,m n N ∈,64mn =,

则3553d m

q d q n ?

-+=???++=?

,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.

解得d =(舍去负根).

35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2

(10)

m n +-取最大

值.*,m n N ∈,64mn =,

∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2

(10)m n +-取最大值.

从而最大的d =

所以,

最大的3a =

16．已知数列*

122{}:1,(0),{}()n n n n n a a a a a b b a a n N +==>=∈满足数列满足

(1)若{}n a 是等差数列,且345,{}n b a a =求的值及的通项公式; (2)若{}n a 的等比数列,求{}n b 的前n 项和.n S

【答案】解 (1)因为{}n a 是等差数列,1d a =-,1(1)n a n a =+-,

[12(1)][14(1)]45a a +-+-=,解得3a =或7

a -=(舍去), 21n a n =-

(2)因为{}n a 是等比数列,q a =,1n n a a -=,2n n b a = 当1a =时,1n b =,n S n =;

当1a ≠时, 222

(1)

1n n a a S a

-=- 17．若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列;数列{}n b 的前n 项和为

n S t =-. (1)求数列

{}n a 和{}n b 的通项公式;

(2)若数列

{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得

n c b a +=, 并求数列

{}n c 的前n 项和n T ;

(3)设数列

{}n d 满足n n n d a b =?, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同

时成立(其中2≥k , *

∈N k ), 试求实数的取值范围.

【答案】解: (1)因为

{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-

而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=?,

又113b S t ==-,所以1

123,2n n t n b n --=?=??≥?

(2)证明:因为

{}n b 是等比数列,所以113232t --=?=,即1t =,所以612n a n =-

对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于111

23636(32)12n n n n b --+=?=?=?+-, 令1

2n n

c N -=+∈,则

6(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立

数列{}n c 的前n 项和

1311

2321322n n n T n n -=+=?+-- (3)易得6(3)(12),1

4(2)3,2n n t t n d n t n --=?=?

-≥?,

由于当2n ≥时, 1

14(12)3

4(2)3n n

n n

d d n t n t ++-=+---3

8[(2)]32n

n t =--?,所以

①若

3222t -

<,即

4t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得 12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,5975977

444t ---+≤≤<

②若

32232t ≤-

<,即79

4t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即2

4(22)34(23)3t t -=-,解得

4t =

③若

321(,3)2m t m m N m ≤-

<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,

则当2n m ≤≤时,

{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,

则由题意,得1m m d d +=,即1

4(2)3

4(21)3

m t m t m +-=--,解得

4m t +=

综上所述,59759744t ---+≤≤23

4m t +=(,2)m N m ∈≥ 18．设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++???+∈N ,其中012,,,,k c c c c ???为非零常数,

数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n ,对于任意的正整数n ,a n +S n =()k f n . (1)若k =0,求证:数列{a n }是等比数列;

(2)试确定所有的自然数k ,使得数列{a n }能成等差数列.

【答案】【证】(1)若0k =,则()k f n 即0()f n 为常数,不妨设0()f n c =(c 为常数).

因为()n n k a S f n +=恒成立,所以11a S c +=,即122c a ==. 而且当2n ≥时,2n n a S +=, ① 112n n a S --+=, ②

①-②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥.

若a n =0,则1=0n a -,,a 1=0,与已知矛盾,所以*0()n a n ≠∈N . 故数列{a n }是首项为1,公比为12

的等比数列.

【解】(2)(i) 若k =0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k =1,设1()f n bn c =+(b ,c 为常数), 当2n ≥时,n n a S bn c +=+, ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+, ④

③-④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥.要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有n a b d =-(常数),

而a 1=1,故{a n }只能是常数数列,通项公式为a n =1()

*n ∈N ,

故当k =1时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n =1()

*n ∈N ,此时1()1f n n =+. (iii) 若k =2,设22()f n an bn c =++(0a ≠,a ,b ,c 是常数), 当2n ≥时,2n n a S an bn c +=++, ⑤

211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+, ⑥ ⑤-⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥, 要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有 2n a an b a d =+--,且d =2a ,

考虑到a 1=1,所以1(1)2221n a n a an a =+-?=-+()

*n ∈N .

故当k =2时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为221n a an a =-+()

*n ∈N ,

此时22()(1)12f n an a n a =+++-(a 为非零常数). (iv) 当3k ≥时,若数列{a n }能成等差数列,则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2,故数列{a n }不能成等差数列.

综上得,当且仅当k =1或2时,数列{a n }能成等差数列.

19．已知数列{}n a ,其前n 项和为n S .

⑴若对任意的n *∈N ,2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列,且1=1a ,220132n

S n

=,求n 的值; ⑵若数列{

+}n

S a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列,a 为常数,求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a

【答案】⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列,

所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （

, 所以1352121,,,

,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列,且 2462135218n n a a a a a a a a n -+++

+=+++

++,

又因为11a =,所以()21352128n n S a a a a n

-=+++++

2(1)

2[4]8462(23)2

n n n n n n n n -=?==+

+++, 所以

22320132n

S n n

==+,所以1005n = ⑵因为

1(1)n n

S a a q a -+=+,所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-, ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-, ②

②-①,得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+, ③ (ⅰ)充分性:因为1

1q a

,所以0,1,1a q a aq ≠≠+=,代入③式,得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-,因为1q ≠-,又1q ≠,

所以

n n a a q

+=,*n ∈N ,所以{}n a 为等比数列, (ⅱ)必要性:设{}n a 的公比为0q ,则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+,

整理得()()001

11()n a q a a q q q

+-=+-,

此式为关于n 的恒等式,若1q =,则左边0=,右边1=-,矛盾;

1q ≠±若,当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q

+=???+=+??

））时成立,所以1

1q a =+.

由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{}n a 为等比数列的充要条件为1

=1+q a

20．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ,数列

{}2n

a 的前n 项的和为n

T ,且

()

*234,n n S T n N -+=∈.

⑴证明数列{}n a 是等比数列,并写出通项公式;

⑵若20n n S T λ-<对*

n N ∈恒成立,求λ的最小值;

⑶若12,2,2x y

n n n a a a ++成等差数列,求正整数,x y 的值.

【答案】(1)因为2(2)34n n S T -+=,其中n S 是数列}{n a 的前n 项和,n T 是数列}{2

n a 的前n 项和,且

0>n a ,

当1=n 时,由2211(2)34a a -+=,解得11a =, 当2n =时,由2222(12)3(1)4a a +-++=,解得21

a =

; 4分由43)2(2=+-n n T S ,知43)2(12

1=+-++n n T S ,两式相减得

03)4)((2

111=+-+-+++n n n n n a S S S S ,即03)4(11=+-+++n n n a S S ,

亦即221=-+n n S S ,从而122,(2)n n S S n --=≥,再次相减得

,(2)2n n a a n +=≥,又122

1a a =,所以11,(1)2n n a n a +=≥

所以数列}{n a 是首项为1,公比为1

的等比数列, 其通项公式为1

21-=

n n a *n ∈N

(2)由(1)可得??????????? ??-=-

??? ??-=n n

n S 21122

11211,11414113414n

n T ??- ???????==-?? ???????-,

若02<-n n T S λ对*

N n ∈恒成立,

只需126321121132

+-=??

??+?

?? ??-=>n n n

T S

λ对*

N n ∈恒成立,

因为31

3<+-

对*N n ∈恒成立,所以3λ≥,即λ的最小值为3; (3)若212,2,++n y

n x

n a a a 成等差数列,其中y x ,为正整数,则112

2,22,21

+-n y

n x n 成等差数列,

整理得2

12-+=y x

当2>y 时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的y x ,值为2,1==y x

21．已知数列{}n a 中,1

2a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .

(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;

(2)设n n n a b -?=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.

(3)设λλ(2)1(41n a

n n n c ?-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有

n n c c >+1成立.

【答案】解:(1)由已知,

()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ),

即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+

(2) ∵1n a n =+,∴n n n b 2

1)1(?

+= 212311111

23(1) (1)

222211111

23(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=?+?++?++?=?+?+???+?++

23111111(1)(2)1(1)22222

n n n T n +-=++++-+?得：

∴ n T n n 23

3+-=

代入不等式得:012

2233<-+>+-n n n n ，即

设02

)()1(,123)(1

<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减, ∵04

)3(,041)2(,01)1(<-=>=

>=f f f , ∴当n =1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，, 所以n 的取值范围.为3,n n *∈N ≥且

(3)

1,n a n =+114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立,

即1211

144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立,

14等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题 1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 ．已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ．【答案】2-或 126 6 ．观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 ．若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为（） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b a （） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（） A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（） A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（） A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1，求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为 31的等比数列。（1）求n a （2）求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中，已知27 21154321= ++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

等差数列与等比数列综合问题(3)

等差数列与等比数列综合问题（3）教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题． 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式． 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0，= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理，仅供供参考

知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是． 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn ＝an－bn（n∈n+），已知试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式． ————来源网络整理，仅供供参考 2

等差和等比数列的应用(二)

等差和等比数列的应用（二）班级—————————— 姓名—————————— 1、由3,11==d a 确定的等差数列{}n a ，当298=n a 时，序号n 等于（） A ．99 B ．100 C ．96 D ．101 2、等比数列的前n 项，前n 2项，前n 3项的和分别为A ，B ，C ，则（） A ．A+B=C B ．B 2=AC C ．（A+B ）－C=B 2 D ．A 2+B 2=A （B+C ） 3、某单位年12月份产量是同年1月份产量的m 倍，那么该单位此年的平均增长率是（） A ．11m B ．12 m C ．111-m D ．112-m 4、自然中所有被4被余数为1的两位数的和等于———————————— 5、等差数列{}n a 的公差0≠d ，前n 项的和为n S ，且,4510S S =则d a :1=—————— 6、在数列{}n a 和{}n b 中，若1a =2，且对任意的自然数n ，n n n b a a ,031=-+是n a 与 1+n a 的等差中项，则n b =—————————————— 7、根据下面4个数列的通项公式，分别作出它们的图象： (1)n d n n c b n a n n n n n n )1()4(;12)3(;32)2(;4-=+==-= 8、已知数列{}n a 满足)2(,111N n n n a a a n n ∈≥=-=-且，求数列{}n a 的通项公式。 9、在数列{}n a 中，*-∈≥+==N n n a a a n n 且2(,12,111），求数列{}n a 的通项公式n a

等差数列与等比数列的综合问题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】等差数列与等比数列的综合问题【知识要点】（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =k m a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列. （6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S = n n a a 1+， S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =n n 1-，S 2n － 1 =（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质（1）a m =a k ·q m －k . （2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2. （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列. （二）对于等差、等比数列注意以下设法：

等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

等差数列与等比数列的综合运用

等差数列与等比数列的综合运用班别：坐号：姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于。 2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，则这三个数分别是。 3．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是。 4．已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6．已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ，则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7．如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8．如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则这个等差数列的公差为。 9．在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题一、选择题: 1.在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 2．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（）Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ４．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) ５．在等比数列{}n a 中，如果69a =6,a =9,那么3a 为（） (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 ６.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（） B.－3 C.－6 ７．数列n {a }中，对任意自然数n ，n 12n a +a ++a =21???-，则22212n a +a ++a ???等于（） A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 ８．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 ９．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n =5n +k ，则常数k= ( ) A ． 1 B ．1 C ．0 D ．以上都不对１０．数列的前n 项和为 ( ) A ． B ． C ． D ．１１．对于数列{a n }，满足，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50 １２．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（） A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项二、填空题： }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：

等差、等比数列的综合问题

专题2 数列知识网络图解一、数列的概念、性质例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点热点探究例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（）（3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为（） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线

等差数列与等比数列归纳

二轮专题复习：等差数列与等比数列澄海实验高级中学曦怀一、教材分析：数列知识是历年高考的重点容，是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。二、复习目的： 1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质． 2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力. 三、复习重点、难点：重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问题、解决问题．复习容：四、复习过程：（一）知识要点回顾： 1、重要公式：（1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：1n 1 n 1 S n 2 n n S a S -=?=?-≥?. （2）等差数列： ①定义：1{}(n n n a a a d +? -=为等差数列常数）. ②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ = . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .

等差等比数列综合应用教案

教育个性化教育教案教师姓名学科数学上课时间 2011/1/29 学生姓名年级时间段课题名称等差数列和等比数列教学目标等差数列和等比数列教学重难点等差数列和等比数列一、知识回顾 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法. (2)通项公式法.(3)中项公式法. 3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+00 1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当 1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。二、基本训练 1．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。 2．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ?=，则3132310log log log a a a ++ += 。 3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项。 4．在等差数列中，S 11＝22，则a 6＝__________________. 5．等比数列{}n a 中，①若a 1 +a 4＝9，a 2 ·a 3=8，则前六项和S 6=___________；②若a 5+ a 6 ＝a ，a 15+ a 16 ＝b ，则a 25+ a 26＝__________________. 6．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2 {}n a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数列；③1{}n a 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。正确的命题是。三、例题分析例1、设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，m n ≠， 1）若,m n a n a m ==，求m n a +和m n S +；2）若,m n S n S m ==，求m n S +；3）若71 427 n n S n T n +=+，求n n a b 。

(完整word版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且

7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________

(完整word版)高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题例已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111 (-)4n n+1 ?，所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?-L =11 (1-)= 4n+1?n 4(n+1) ，即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数．（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,,Θ成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴，即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

等差等比数列综合应用

等差等比数列综合应用一、选择题１、在等比数列{}n a 中，n S 为其前ｎ项和，若103013S S =，1403010=+S S ，则20S 的值是（） A50 B40 C30 D 1310 2、数列{}n a 且公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 且等比数列，{}n b 的相邻三项，若52=b ，则n b 等于（） A 1 355-? ? ? ???n B 1 535-? ? ? ???n C 1 533-? ? ? ???n D 1 353-? ? ? ???n 3、已知数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ，则数列{}n a 的前10项的和为（） A56 B61 C65 D67 4、数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（） A 10493b b a a +≤+ B 10493b b a a +≥+ C 10493b b a a +≠+ D 93a a +与104b b +的大小不确定 5、数列{}n a 中，n a 互不相等且0≠n a ，321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列， 543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （） A 成等差数列 B 倒数成等差数列 C 成等比数列 D 倒数成等比数列 6、{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且121211,++==n n b a b a ，则（） A 11++=n n b a B 11++>n n b a C 11++

4等差等比数列综合(JT)

菁差菁比探合【知识要点】【典型例题】例1.已知数列@｝的前〃项和S”=20〃-灯（心M）,求数列仏|｝的前“项的和7；的表达式. 例2?设首项为正数的等比数列，它的前"项之和为80,前2“项之和为6560,且前九项中数值最大的项为54,求此数列.

例3.已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为851,所有偶数项之和为170?, 求 S = “3 + “6 + 5 + a\2的值? 例4.在等比数列｛5 ｝中,4 =1000.9 =丄，又设乞=-(lg?i +lg?2 +???lg?)?求数列｛" ｝的前n项和的 10 n 最大值.

(1)设b n=a n^-2a n(neN*)求证:数列｛$｝是等比数列: ⑵ 设C“= *(“€”)，求证：数列｛c”｝是等差数列； 2 例6.已知｛?｝是各项为不同的正数的等差数列，lgglgglg^成等差数列，又仇=丄/ = 1,2,3,... (1)证明｛$｝为等比数列； 7 (2)如果数列｛b fI｝前3项的和等于—,求数列｛? ｝的首项⑷和公差d

【课堂训练及作业】 1. 如果a p a 2,...a s 为各项都大于零的等差数列，公差dHO,则() 2. 已知等差数列｛?｝的公差为2,若a p a 3,a 4成等比数列，则a 2 = () A ? 一4 B. 一 6 C. 一 8 D ? 一 10 3. 在各项都为正数的等比数列&｝中，首项a, =3,前三项和为21,则as +a 4+a 5 = () A. 33 B ? 72 C. 84 D ? 189 4. 已知数列的通项公式为a. =2n-49，则S.达到最小值时,n=() A ?26 B ?25 C ?24 D ?23 5. 首项为0的等差数列｛“”｝的前n 项和为Sn ，则Sn 与a“的关系为( ) A ? S n =—a n B. S n = na n C. S n =a n D ? S n = ira n 7. 在数列｛-｝中，3|=1宀=2,且a n +2—a rl =l + (—l)n (nwN ?)，则S I00 = ______________ 8. 已知数列｛$｝为等差数列，它的首项勺=1,前］0项的和为55,令化=log 2 a n (n e N 、?求满足 a } +a 2 +??? + % > 100的最小正整数n. 已知数列仏｝中,a n =< 2n -'(n 为正奇数) 2n-l(n 为正偶数)

等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题例1 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q ；（2）求－＝3，求例2 在正项数列中,令. （Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；例3 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且12,,++m m m a a a 成等差数列. （1）求q 的值；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列说明理由. 例 4 已知数列｛a n ｝的首项a a =1（a 是常数），2 4221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且 {}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件．例5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； (Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n 项和T n . 例 6 已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ?-???=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S 例7 设数列{}{},n n a b 满足111,0a b ==且1123,1,2,3,2,n n n n n n a a b n b a b ++=+?=?=+?L L （Ⅰ）求λ的值，使得数列{}n n a b λ+为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；