高三推理与证明专题复习
推理与证明专题复习
中心发言人：王鑫
时间：2013年04月22日
教学目标
推理与证明
重点与难点
合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明
教学过程
知识要点
1．推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征(或性质)，推出该类事物的全部对象都具有这些特征(或性质)的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)演绎推理：根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理．常用模式“三段论”：大前提、小前提、结论．
2．数学证明
(1)直接证明：分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法．
①分析法：从欲证结论出发，对结论进行等价变形，建立未知结论和已知的“条件，结论”因果关系；
②综合法：从已知条件和结论出发，以演绎推理中的“三段论”规则为工具，推出未知结论；
说明：分析法是倒溯，综合法是顺推．分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理的解题思路．没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，它们相辅相成是对立统一的．
(2)间接证明：反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．证明欲证命题的等价命题—逆否命题.
典例解析
例 1
设
()f x =
，先分别求(0)(1),(1)(2),(2)(3),f f f f f f +-+-+，然后归纳猜想
一般性结论，并给出证明。
分析：由f(x)→计算各和式→得出结论→归纳猜想→证明
解
：
(0)(1)f f +=
=
=
=
，同理可得
：
(1)(2)f f -+
=
(2)(3)f f -+=
证明：设121,x x +=
12()f x x +=
+
=
=
=
=
=
例2（1）证明函数2()2f x x x =-+在
(],1-∞上是增函数；
（2）当[5,2]x ∈--时，()f x 是增函数还是减函数？
分析：（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数()f x 满足：在给定区间内任取自变量的两个值
12
,x x 且
12
x x <，
12()()
f x f x <，小前提是函数
2
()2f x x x
=-+，x ∈
(],1-∞，
结论满足增函数定义。（2）关键是看[5,2]--与()f x 的增区间或减区间的关系. 证明：（1）
方法一：
任取
12
,x x ∈
(]
,1-∞，
12
x x <则
12212112211212()()()(2),1,20,()()0,()()
f x f x x x x x x x x x f x f x f x f x -=-+-<≤∴+-<∴-<< 于是，根据“三段论”可知，2
()2f x x x
=-+在
(],1-∞上是增函数.
方法二：
'
'
()222(1),(,1)10,2(1)0,()0(,1)()(,1]f x x x x x x f x x f x =-+=--∈-∞-<∴-->∴>∈-∞-∞ 当时，在上恒成立.故在上是增函数。
解（2）∵()f x (,1]-∞在上是增函数，而[5,2]--是区间
(],1-∞的子区间，∴()f x 在[5,2]
--上是增函数.
例3设P 为A B C ?内一点，A B C ?三边上的高为,,A B C h h h ，P 到三边的距离为,,A B C l l l ，则有
C A B A
B
C
l l l h h h ++=
.类比到空间中，设P 是四面体ABC D 内一点，四顶点到对面的距离
分别为,,,A B C D h h h h ，P 到四个面的距离为,,,A B C D l l l l ，则有： .
解析：面积法：
1C A B A
B
C
l l l h h h ++=；体积法：
1
C A B
D A
B
C
D
l l l l h h h h +++=
例 4 （分析法）已知非零向量,a b ，且a b ⊥
，求证：||a b
a b +≤+ .
分析：a b ⊥ ?0a b = 。同意注意，2
2a a
= ，将要证式子变形平方即可获证。
证明：∵a b ⊥ ∴0a b =
，要证||a b
a b +≤+
，只需证|a b a b +≤+ ，只需证 22222222
222
22(2),222200a a b b a a b b a a b b a b a b a b a b ++≤++++≤++-≥-≥
只需证，
只需证，即（），上式显然成立，故原不等式得证。
例5（综合法）已知x+y+z=1，求证
222
13x y z ++≥
.
分析：利用222a b ab +≥，同时变形利用x+y+z=1，从而2()x y z ++=1可证。 证明：
222222
2,2,2,
x y xy x z xz y z yz +≥+≥+≥
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22222.33322213()()13
x y z xy xz yz x y z x y z xy xz yz x y z x y z x y z ∴++≥++∴++≥+++++∴++≥++=∴++≥
例6（反证法）给定实数,01a a a ≠≠且，设函数1
1 ,1x y x R x ax a -?
?=
∈≠ ?-??.
求证：经过该函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴. 证明：假设1212()y y x x =
≠，即：
1212211211(1)(1)(1)(1)1
1
x x x ax x ax ax ax --=?--=----
12(1)()0
a x x ?--=.因为12x x ≠，所以120
x x -≠，则10a -=，即1a =这与已知条件相矛盾，
故原命题成立.
综合训练
1. 下列表述正确的是（ D ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A ．①②③；
B ．②③④；
C ．②④⑤；
D ．①③⑤.
2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ A ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ?/
平面α，直线a ≠
?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，
这是因为 （ A ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 4．实数a 、b 、c 不全为0的条件是（ A ）
A ．a 、b 、c 均不为0；
B ．a 、b 、c 中至少有一个为0；
C ．a 、b 、c 至多有一个为0；
D ．a 、b 、c 至少有一个不为0. 5．自然数按下表的规律排列
1 2 5 10 17
| | | | 4 — 3 6 11 18 | | | 9 — 8 — 7 12 19 | | 16—15— 14 — 13 20 | 25—24— 23 — 22 — 21
则上起第2 007行，左起第2 008列的数为( D )
A ．2 0072
B ．2 0082
C ．2 006×2 007
D ．2 007×2 008 6．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9；若m 3(m ∈N *
)的分解中最小的数是21，则m 的值为5.
7．在A B C ?中，,,A B C ∠∠∠成等差数列，其对边分别为,,a b c .求证：113a b
b c
a b c
+
=
++++.
（提示：变形为
2
2
2
1c a a c ac b
a b
a c
+
=?+=+++；060B ∠=，用余弦定理即可）.
8. 若c b a ,,是不全相等的正数，求证：c
b a a
c c b b a lg lg lg 2
lg
2
lg
2
lg
++>+++++.
9. 若c b a ,,都是小于1的正数，求证：a c c b b a )1(,)1(,)1(---三个数不可能同时大于4
1.