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重庆市巴蜀中学2015届高三下学期第三次诊断性考试数学(理)试题

重庆巴蜀中学高2015级高三（下）第三次诊断性考试

数学试题（理科）

考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数

+ 的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U C A B 等于( )

A ．}02|

{<>x x x 或 B ．}21|{<

D ．}21|{≤≤x x

3．已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3?=a b ，则x =（）

A ．6 B.5 C ．4 D ．3

4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为（）

A ． 32

B ．36

C ．18

D ．86

5．一个几何体的俯视图是半径为l 的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．π7

B ．π5

C ．π4

D ．π3

6. 下列说法中正确的是（）

A ．若命题:p x R ?∈有20x >，则:p x R ??∈有20x ≤；

B ．若p 是q 的充分不必要条件，则p ?是q ?的必要不充分条件；

C ．若命题1:

01p x >-，则1:01

p x ?≤-； D ．方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是1

a =±

7．设等差数列}{n a 和等比数列}{n b 首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a a （）

A.24

B.25

C.26

D.27 8．如图给出的是求

1111

24620

+++???+的值的一个程序框图，如图所示，其中判断框内应填入的条件是( )

A.10>i

B.10≥i

C.9≥i

D.9>i

9．已知双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1

F 作圆222

x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且2||||BC CF =，则双曲线的渐近线方程为（）

A ．3y x =±

．y =±

．1)y x =± D

．1)y x =± 10．已知函数()f x 满足(0)1,f = 且对于任意实数,x y R ∈都有：(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+ ，若[1,3]x ∈，

则

(1)

()1

f x f x -+的最大值为（） A

B ．2

2+ C ．51 D ．173

第II 卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。11.根

据如下样本数据

9.7=a 的值为 12.已知x 是三角形的内角，且3

)cos(sin =

--πx x ，则=x 2cos 13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动,其中活动一和活动二各要2

人,活动三要1人,每人只能参加一项活动，且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有___ _种不同的分配方法.

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14．过圆外一点P 作圆的切线PA(A 为切点)，再作割线PBC 与圆交于B ，C.若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝______．

15．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ?

=+??

=?（?为参

数，0?π≤≤）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与(0)3

θρ=

>所表示的图形的交点的直角坐标是_ ___．

16．已知关于x 的不等式2|2||2|a x x ≤-++解集为空集，则a 的取值范围为

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题共13分）已知函数)(cos sin 2cos 32)(2R x m x x x x f ∈-+=，函数)(x f 的最大值为2.

(1)求实数m 的值；

(2)在ABC ?中，角C B 、、A 所对的边是c b a 、、，.若A 为锐角，且满足0)(=A f ，

C B

sin

3sin =，ABC ?的面积为

3，求边长a .

18. （本小题共13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在为“老年人”.

0.02

（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄

段市

民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

19．（本小题共13分）在四棱锥ABCD -P 中，ABCD PA 平面⊥，

AD//BC ，42==AD BC ，10==CD AB ， 45=∠DBC (1)证明：PAC 平面⊥BD ；

(2)若二面角D PC A --的大小为

60，求四棱锥ABCD P -的体积．

20．(本小题满分12分)已知函数

1)(--=ax e x f x (e 为自然对数的底数)，0>a 。

(1)若1=a ，求函数)(x f 在0=x 处的切线方程；

(2) 若0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值集合．

21．(本小题满分12 分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,)2

A ，其焦距为2．

(1)求椭圆1C 的方程；

(2)已知21,F F 分别是椭圆的左右焦点， P 为直线2=x 上一点．直线21,P PF F 与圆1x 2

=+y 的另外一个交点分别为

M 、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．

22. (本小题满分12 分)已知数列}{n a 中，23

a ，),2(1

2311N n n n a na a n n n ∈≥-+=--。（1）证明数列}1n

{

-n

a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；（2）证明:！n a a a n ?<221 。(注意：n n ????= 321!，+

∈N n )，

重庆巴蜀中学高2015级高三三诊测试答案

一、选择题

DCDCB BBACA

10、提示：交换,x y 的位置，由(1)()()()2

(1)()()()2f xy f x f y f y x f yx f y f x f x y +=--+??

+=--+?

两式相减得到

()()0f x f y y x -+-= 再令0y = ，得：()1f x x =+

所以，

22(1)1()1222f x x x f x x x x x

-==≤=+++++)

二、填空题

57-

917- 24

4 1,22? ?? ）（2,2-

三、解答题

17解：(1)∵f (x )＝23cos 2

x ＋2sin x cos x －m ＝3(cos 2x ＋1)＋sin 2x －m

＝2sin ?

????2x ＋π3＋3－m .

∴函数f (x )在2x ＋π3＝π

2时取得最大值，即2＋3－m ＝2，解得m ＝ 3.

(2)∵f (A )＝0，∴2sin ? ????2A ＋π3＝0，∴sin ? ????2A ＋π3＝0，由A 为锐角，解得A ＝π3. ∵sin B ＝3sin C ，由正弦定理得b ＝3c ，①∵△ABC 的面积为33

，

∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝33

4，即bc ＝3.②由①和②解得b ＝3，c ＝1.

∵a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝32＋12

－2×3×1×cos π3

，∴a ＝7.

18. （1）平均年龄为：岁。

481.07510652.0553.0452.0351.025=?+?+?+?+?+? （2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率为

，所以该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的概率为51。又题意知，)5

,3(~X B ，

所以12564)54()51()0(3003===C X P ，125

48)54()51()1(2

113===C X P ，

125

12)54()51()2(1223===C X P ，1251)51()3(3

33===C X P

∴随机变量X 的分布列如下表：

∴随机变量X 的数学期望64481213

()01231251251251255

E X =?+?+?+?=.

19,解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得，CE ＝BC －AD

＝1，DE ＝DC 2

－CE 2

＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°，所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由PA ⊥平面ABCD 得，PA ⊥BD ，所以

BD ⊥平面PAC .

(2)解法一作OH ⊥PC 于点H ，连结DH .由(1)知DO ⊥平面PAC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH . 故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝60°. 在Rt △DOH 中，由DO ＝2，得OH ＝

. 在Rt △PAC 中PA PC ＝OH OC

.设PA ＝x ，可得

x x 2＋18

＝

36.解得x ＝32211，即AP ＝32211

. 解法二由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0,22，0)，D (－2，0,0)．由PA ⊥平面ABCD ，得PA ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，

由CD →＝(－2，－22，0)，PD →

＝(－2，2，－t )

知??

－2x －22y ＝0－2x ＋2y －tz ＝0

，取y ＝1，得m ＝? ?

??－2，1，32t .

又平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是θcos ＝

|m·n |

|m |·|n |

＝

＋18t

＝12，