椭圆的简单几何性质(一)(教案)

椭圆的简单几何性质（一）

池州第六中学 王超

教学目标

（一）教学知识点

椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点. （二）能力训练要求

1.使学生了解并掌握椭圆的范围.

2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.

3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距.

4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.

教学重点

椭圆的简单几何性质.

教学难点

椭圆的简单几何性质.

（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）

教学方法

师生共同讨论法.

通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(122

22>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或

)0(122

22>>=+b a b

x a y （焦点在y 轴上）（板书） 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？

同学们知道，2008年的8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的9月25日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？

（出示神七发射画片并解说）：2008年9月25日21时，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请

问： “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。

据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。

我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？

问题1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式

（板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(122

22>>=+b a b

x a y

（焦点在x 轴上） （焦点在y 轴上） 问题2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？

Ⅱ.讲授新课

（板书标题）椭圆的几何性质 首先我们进入本节课的第一个环节

一、几何性质

［师］我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程.

（板书）122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)进行讨论.

在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质， 1.范围：

［师］所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。

那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？

［师］请看，如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。此时，你能说出椭圆的范围吗？ [生]在一个矩形中

［师］这两组平行线所在的直线方程是多少？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？

[生]方程中两个非负数的和等于1，所以，椭圆上点的坐标（x ,y ）适合不等式：

22a x ≤1, 22

b

x ≤1 即：x 2≤a 2,y 2≤b 2 ∴|x |≤a ,|y |≤b

这说明椭圆位于直线x =±a ,y =±b 所围成的矩形里. 结论（板书）椭圆的范围是-a ≤x ≤a; -b ≤y ≤b

[师]很好！请大家思考：对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的，那么我们能否从函数的思想出发，对椭圆的范围进行分析呢？

[生]（师点拨、提示）椭圆的标准方程可化为两个函数y=

22x a a b -、y=-22

x a a

b -，

对它们的定义域、值域分别进行讨论可得-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b,即椭圆位于直线x=±a,y=±b 所围成的矩形里.

[师]将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习，有助于我们理解知识与知识之间的本质联系，对我们的进一步学习是大有益处的. 2.对称性：

［师］你能从椭圆的图形上看出椭圆的对称性吗？ ［生］关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称。 ［师］我们怎样由椭圆的标准方程来研究椭圆的对称性？ 想一想，我们前面在函数中是怎样研究函数图像的对称性的？

［师］在函数里，我们讨论过对称性，如果以如果以-x 代x 方程不变，那么曲线关于y 轴对称，同理，以-y 代y 方程不变，那么曲线关于x 轴对称，如果同时以-x 代x ，以-y 代y 方程不变，那么曲线关于原点对称.

［师］我们来看椭圆的标准方程，以-x 代x ，或以-y 代y 或同时以-x 代x ,-y 代y ，方程怎样改变？

［生］没有改变.

［师］所以椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

结论（板书）坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点：

［师］什么叫做椭圆的顶点？———椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书） ［师］由刚才我们所学的第二条性质，标准方程下的椭圆的对称轴是哪个？ ［生］坐标轴

［师］那么标准方程下的椭圆的顶点就在坐标轴上。你能从椭圆的图形上看出椭圆有几个顶点？他们分别在什么地方？

［师］（出示幻灯提示）椭圆有四个顶点，其中，在x 轴有两个顶点，我们把它命名为21A A 、，在y 轴有两个顶点，我们把它命名为21B B 、

［师］想一想，怎样由椭圆的标准方程求得椭圆的顶点坐标？

（再提示：直线方程1+=x y 与x 轴的交点坐标是怎样求的？与y 轴的坐标又是怎样求的？）

［生］在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点

结论（板书）椭圆的四个顶点分别是A 1(a,0)A 2(-a ，0)、B 1（0，b ）、B 2（0，－b ）。 ［师］线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a 和2b ,其中a 和b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.（板书）

［师］通过以上性质，我们就知道了在椭圆的标准方程节课里我们接触到的三个基本量：a 、b 、c 的几何意义是a 、b 、c 分别是长半轴长、短半轴长、半焦距

［师］请观察图形，如果我们吧短轴的一个端点与一个焦点连接起来，则短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，显然，这个直角Δ的两直角边的长分别是b 和c ，那么，它的斜边隐私多长呢？

由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B 1F 1|=|B 2F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 2|=a 所以斜边长是a ， 在Rt △OB 2F 2中 |B 2F 2|2-|OF 2|2=|OB 2|2 即a 2-c 2= b 2

这就是在上节中令a 2-c 2=b 2的几何意义.

我们把Rt △OB 2F 2叫做椭圆的特征三角形，请大家注意这个特征三角形，我们在后续内容中还将研究它。

［师］现在，我们来举一个例子来说明椭圆的范围、顶点、对称性的作用。 （出示幻灯）根据前面所学有关知识画出下列图形

（1）

1162522=+y x （2）14

252

2=+y x （在学生思考后教师评讲）

第一步，作出坐标轴，第二步找出顶点坐标，第三步，画出范围，第四步作出一象限的图像（必要时还可以取x 等于1、2、3、4，求出y 的值来描点）最后根据对称性画出其他几个象限的图像，

用同样方法可作出（2）的图像。

［师］从以上两个椭圆的形状看，同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？ 是什么因素影响了椭圆的扁圆程度？我一起来研究椭圆是性质4――离心率。 4.离心率

［师］椭圆的离心率是怎样定义的？ ［生］椭圆的焦距与长轴长的比

a

c

a c =22=e ,叫做椭圆的离心率.（板书） ［师］椭圆离心率e 的范围是怎样的？ ［生］因为a ＞c ＞0,所以0＜e ＜1 结论（板书）离心率a

c e =

，（0＜e ＜1） ［师］e 既然在（0，1）变化，e 的变化又对椭圆有什么影响呢？ ［师］我们不妨用两个例子来看一看。

对于（1）116

252

2=+y x ，椭圆的长半轴、短半轴、半焦距a 、b 、c 分别等于多少？离心率呢？

［生］a=5, b=4, ∴c=3；离心率5

3==

a c e ［师］（2）

14

252

2=+y x 呢？ ［生］a=5, b=2, ∴c=21；离心率5

212==a c e ［师］两个的离心率那股大？ ［生］第二个大于第一个

［师］从椭圆的图形上看，哪个椭圆更扁些？哪个椭圆更圆些？

［生］第二个扁些，第一个圆些。 ［师］你能得出什么结论来？

［生］离心率越大椭圆就越扁，离心率越小，椭圆越圆。

［师］我们可以再用一个动画展示一下椭圆的扁圆程度受离心率影响的情况。

［师］（4）e 与a,b 的关系:22

221a

b a b a a

c e -=-==

［师］到此为止，我们已学习了椭圆的范围、对称性、顶点及离心率，我们把这些性质总结一下

师生共同完成下表

标准方程

)0(122

22>>=+b a b y a x )0(122

22>>=+b a b

x a y 图形

范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b

-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

顶点坐标 （±a ,0）(0,±b )

(±b ,0),(0,±a )

离心率

)10(<<=

e a

c

e

［师］（指出）以上我们是对焦点在x 轴上的标准椭圆的性质的总结，那么，焦点在y 轴上的椭圆呢？

请同学们自己完成表的右半部分

［师］下面我们来看看椭圆的这些几何性质的应用。 二、应用（板书）

［师］下面同学们自己来看例1

求椭圆400251622=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点的坐标。

［师］根据椭圆方程求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标时，首先应该做

些什么？

［生］首先应将椭圆的方程化成标准方程. ［师］然后呢？

［师］（归纳）解决这类问题的关键是1、将椭圆方程转化为标准方程，再求出椭圆的基本量a 、b 、c 、e 等；2，判断焦点的位置和长轴的位置。

［师］（总结）解决这类问题的一般步骤是：①化为标准方程，②求出a 、b 、c 、知，③判断焦点位置，④回答所提问题。

［师］想一想，为什么要判断焦点位置？哪些问题与焦点位置有关？哪些问题与焦点位置无关？

解：把已知方程化成标准方程14

522

22=+y x 于是3,4,5===c b a

因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是，离心率53

,82,102===a c b a 两个焦点坐标分别是

()()3,0F ,03F 21和-,四个顶点坐标分别是()()()()0,4B 0,-4B ,5,0A ,5,0-A 2121和

学生练习1

［师］（提出例2）回到我们本节课开头提出的问题

如图，神舟七号宇宙飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面200km ，远地点B （离地面最远的点）距地面346 km ，并且F2、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371 km.求飞船的轨道方程（精确到1 km ）。

（解题过程略） 学生练习2

如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④12

12

.c c a a < 其中正确式子的序号是

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

（解题略）

三.课时小结

本节课我们讨论了椭圆的四个简单几何性质，即范围、对称性、顶点、离心率，熟悉这些性质是我们解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的基础和关键.

基本性质 标准方程

)0(122

22>>=+b a b y a x )0(12

2

22>>=+b a b x a y 图形

范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b

-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

顶点坐标 （±a ,0）(0,±b )

(±b ,0),(0,±a )

离心率 )10(<<=

e a

c

e

四、课后作业 习题A 2 3