专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)
第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性
在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值
(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：
①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；
②求方程f ′(x )＝0的根；
③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值
(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
【套路修炼】
考向一 单调区间
【例1】求下列函数的单调区间：
（1）3
()23f x x x =-； （2）2
()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析
【解析】（1）由题意得2
()63f x x '=-.
令2
()630f x x '=->，解得2x <-
或2
x >.
当(,2x ∈-∞-
时，函数为增函数；当)2
x ∈+∞时，函数也为增函数.
令2
()630f x x '=-<，解得22x -
<<.当(22
x ∈-时，函数为减函数.
故函数3
()23f x x x =-
的单调递增区间为(,2-∞-
和)2+∞
，单调递减区间为(22
-. （2）函数2
()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞
.1()2f x x x '=-
= 令()0f x '>
，解得2x >
；令()0f x '<
，解得02
x <<. 故函数2
()ln f x x x =-
的单调递增区间为(
)2+∞，单调递减区间为(0,)2
. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]． f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－1
2·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x 2
＞0.
即?
????
1－x ＞0，
2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)． 令f ′(x )＜0，则1－x
2x －x 2＜0，即?
????
1－x ＜0，
2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)． 【举一反三】
1．函数y ＝4x 2＋1
x 的单调增区间为________．
【答案】 ????12，＋∞
【套路总结】
用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性
证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'
()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间 ①求函数的定义域D ②求导'
()f x
③解不等式'
()f x ＞()<0得解集P
④求D
P ,得函数的单调递增（减）区间。
一般地，函数()f x 在某个区间可导，'
()f x ＞0?()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导，'
()f x ＜0?()f x 在这个区间是减函数
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【解析】 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >1
2，
∴函数y ＝4x 2＋1
x 的单调增区间为????12，＋∞. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x
＋1
的单调增区间是________．
【答案】 (e －1，＋∞)
【解析】 由f (x )＝x ·e x －e x ＋
1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1， 所以函数f (x )的单调增区间是(e －1，＋∞)．
3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________． 【答案】 ???
?0，1
e 【解析】 因为函数
f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )<0时，解得0 e ，即函数f (x )的单调减区间为????0，1e . 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______． 【答案】 ? ???－π，－π2和????0，π 2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0， 则其在区间(－π，π)上的解集为????－π，－π2∪????0，π2，即f (x )的单调增区间为? ???－π，－π2和????0，π 2. 考向二 极值 【例2】求函数f (x )＝2x x 2＋1－2的极值． 【答案】见解析 【解析】函数的定义域为R.f ′(x )＝2 x 2＋1－4x 2x 2＋1 2＝－2 x －1x ＋1 x 2＋12 . 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－2 2 －2＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝2 2－2＝－1. 【举一反三】 1．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值． 【答案】见解析 【解析】函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的定义域 为R ，且f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： 因此，x ＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝10；x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－22. 考向三 最值 【例3】求下列各函数的最值： (1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈[0,3]．(2)f (x )＝sin 2x －x (x ∈[－π2，π 2])． 【答案】见解析 【解析】(1)因f (x )＝1 3x 3－4x ＋4，则f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 所以当x ＝2时，f (x )＝13x 3－4x ＋4有极小值，并且极小值为f (2)＝－4 3 . 又由于f (0)＝4，f (3)＝1，因此，函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－4 3. (2)f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝2cos 2x －1＝0，解得x 1＝π6，x 2＝－π 6. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： 由上表可知f (x )的最大值是π2，最小值是－π 2 . 【举一反三】 1．求下列函数的最值： (1)f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]． 【答案】见解析 【解析】(1)∵f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23 . ∵f (－2)＝13，f (23)＝95 27 ，f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴函数f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27 . (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)＜0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 考向四 利用导数判断图像 【例4】已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x '=的图象可能是 【答案】B 【解析】由()y f x =的图象及导数的几何意义可知，当0x <时，()0f x '>；当0x =时，()0f x '=；当 0x >时，()0f x '<，故B 符合. 【举一反三】 3.已知f (x )=1 4 x 2+sin (π 2 +x),f'(x )为f (x )的导函数,则f'(x )的图象是( ) 【答案】A 【解析】∵f (x )=1 4x 2+sin (π 2+x)=1 4x 2+cos x , ∴f'(x )=12x-sin x ,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D .又[f'(x )]'=12-cos x ,当-π3 2,∴ [f'(x )]'<0,故函数y=f'(x )在区间(-π3,π 3 )内单调递减,排除C .故选A . 【套路运用】 1．函数f (x )＝1 3x 3－4x ＋4的极大值为________． 【答案】 283 【解析】 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝ 283 . 2.函数y ＝x e x 的最小值是________． 【答案】 －1 e 【解析】 因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .当x >－1时，y ′>0；当x <－1时，y ′<0，所以当x ＝－1时，函数取得最小值，且y min ＝－1 e . 3．函数f (x )＝1 2x 2－ln x 的最小值为________． 【答案】 1 2 【解析】 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1 x 且x >0.令f ′(x )>0，得x >1.令f ′(x )<0，得0 ∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝1 2 . 4.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号) ①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)； ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)； ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)； ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 ④ 【解析】 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值， 在x ＝2处取得极小值． 5.函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。 【答案】(2,+∞) 【解析】函数f (x )=(x-3)e x 的导数为f'(x )=[(x-3)e x ]'=e x +(x-3)e x =(x-2)e x .由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x )>0时,函数f (x )单调递增,此时由不等式f'(x )=(x-2)e x >0,解得x>2. 6.若x=1是函数f (x )=ax+ln x 的极值点,则 。 A.f (x )有极大值-1 B.f (x )有极小值-1 C.f (x )有极大值0 D.f (x )有极小值0 【答案】A 【解析】∵x=1是函数f (x )=ax+ln x 的极值点,∴f'(1)=0,∴a+1 1=0,∴a=-1. ∴f'(x )=-1+1 x =0?x=1.当x>1时,f'(x )<0,当0 7.已知a 为函数3 ()12f x x x -=的极小值点，则a = 。 【答案】2 【解析】2 ()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在(2,2)-上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =. 8．已知函数3 ()3f x x x =-，求函数()f x 在3[3,]2 -上的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】2()33,()0,1,1f x x f x x x ''=-==-=令得或. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 因此，当1x =-时，()f x 有极大值，为(1)2f -=；当1x =时，()f x 有极小值，为(1)2f =-， 又39(3)18,()28 f f -=-=- ， 所以函数()f x 在3[3,]2 -上的最大值为2，最小值为18-. 9．已知函数 3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值； （2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为3 ()f x ax bx c =++，所以2()3f x ax b '=+.由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故 有(2)0(2)16f f c '=?? =-?，即1208216a b a b c c +=??++=-?，化简得12048a b a b +=??+=-?，解得112 a b =??=-?. （2）由（1）知3 ()12f x x x c =-+，2 ()312f x x '=-. 令()0f x '=，得122,2x x =-=. 当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数. 由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22 x =处取得极小值(2)16f c =-.由题 设条件知1628c +=，得12c =，此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=- 10.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，求a ，b 的值． 【答案】a ＝2，b ＝9. 【解析】∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0. ∴????? f ′－1＝0，f －1＝0，即????? 3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得????? a ＝1b ＝3或????? a ＝2， b ＝9. 当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数．故f (x )在x ＝－1处取得极小值．∴a ＝2，b ＝9. 12.设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3 2x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2＋3 2 . 因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，所以该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，① 即a －12＋3 2＝0，解得a ＝－1 (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋3 2x ＋1(x ＞0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －1 2x 2 ＝ 3x ＋1 x －1 2x 2 . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－1 3不在定义域内，舍去) 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．② 所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.