三角函数习题及答案
第四章 三角函数
§4-1 任意角的三角函数
一、选择题：
1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在（ ）
（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限
２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。则 （Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ
（Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ） （Ａ）tan
cot
2
2
θ
θ
f （Ｂ）tan
cot
2
2
θ
θ
p （Ｃ）sin
cos
2
2
θ
θ
f （Ｄ）sin
cos
2
2
θ
θ
p
４．若4
sin cos 3
θθ+=-，则θ只可能是（ ）
（Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ）第四象限角 ５．若tan sin 0θθp 且0sin cos 1θθ+p p ，则θ的终边在（ ）
(A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：
6．已知α是第二象限角且4sin 5α=
则2α是第▁▁▁▁象限角，2
α
是第▁▁▁象限角。 7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3）,则α角弧度数为▁▁▁▁。 8．设1
sin ,(,)sin y x x k k Z x
π=+
≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 9．已知cosx-sinx<-1，则x 是第▁▁▁象限角。 三、解答题：
10．已知角α的终边在直线y =上，求sin α及cot α的值。 11．已知Cos(α+β)+1=0, 求证：sin(2α+β)+sin β=0。 12．已知()()cos ,5n f n n N π
+=∈，求?（1）+?（2）+?（3）+……+?（2000）的值。 §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
一、选择题： 1．()sin 2cos 22ππ??
---
???
化简结果是（ ） （A ）0 （B ）1- （C ）2sin 2 ()2sin 2D -
2．若1
sin cos 5
αα+=
，且0απp p ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34
-
3. 已知1sin cos 8αα=，且42
ππ
αp p ，则cos sin αα-的值为（ ）
(
)
2A ()3
4
B (
)2C - (
)2D ± 4. 已知4
sin 5
α=
，并且α是第一象限角，则tan α的值是（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43
D
5.
）
()0cos100A ()0cos80B ()0sin80C ()0cos10D
6. 若cot ,(0)m m α=≠
且cos α=
，则角α所在的象限是（ ）
（A ）一、二象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）一、四象限 填空题：
7．化简()()()2
1sin 2sin 2cos αππαα+-+--=▁▁▁▁▁▁。
8．已知1tan 3α=-，则2
1
2sin cos cos ααα+的值为▁▁▁▁▁▁。 9．292925sin
cos tan 634
ππ
π
????+-+- ? ?????
=▁▁▁▁▁。
10．若关于x 的方程2
(5)(25)40m x m x +-++=的两根是直角三角形两锐角的正弦值，则m =▁▁▁▁。 解答题：
11．已知：tan 3α=，求(
()2122sin 3sin cos ααα-的值。
12．已知2
2
tan 2tan 1αβ=+，求证：2
2
sin 2sin 1βα=- 13．已知1sin 24θ=
，且42
ππθp p ，求cos sin θθ-的值。 14．若sin cos 0,sin cot 0,ααααp p
§4-3：两角和与差的三角函数
1． “()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）
（A ） 充分必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
2．
已知sin αβ=
=且,αβ为锐角，则αβ+为（ ） ()
4
A π ()
4
B π或
34π ()34
C π
()D 非以上答案 3． 设0
sin15cos15,sin16cos16,a b =+=+则下列各式正确的是（ ）
()()()()2222
2222
,22,22
a b a b A a b B a b a b a b C b a D b a ++++p
p p p p p
p p 4． 已知α3,22ππ??∈ ???，且3cot ,4α=-则3cos 4πα??- ??
?
的值是（ ）
(
)
10A (
)B - (
C (
)D 二、填空题： 5． 已知53cos ,,,
132π
θθπ??=-
∈ ??
?
则cos 3πθ??- ???的值为____________
6． 已知()()4
4cos ,cos 5
5αβαβ-=-+=
且()()3,,,222ππαβπαβπ????-∈+∈ ? ?????
则_____________________cos 2β=
7． 已知11
sin sin ,cos cos ,32
αβαβ-=-=则()___________________cos αβ-=
8． 在ABC ?中，tan ,tan A B 是方程23810x x +-=的两根，则_________________tan C = 三、解答题：
9．
求值()
00sin 501。 10． 求证：
tan tan tan cot cot cot A B B
B A A
-=
- 11．
ABC ?中，BC=5，BC 边上的高AD 把ABC ?面积分为12,S S ，又12
,S S 是方程2
15540x x -+=的两根，求A ∠的度数。
§4-4 二倍角的正弦、余弦、正切
一．选择题：
1． sin15cos165o
o
的值为（ ）
()14
A ()1
4B - ()12C ()12D -
2． 已知()21tan .tan 544παββ?
?-=
-= ???, 则tan 4πα??- ??
?的值为（ ） ()318A ()1318B ()322C ()1322
D
3． 已知57,22ππα??∈????, ）
()2cos 2A α ()2cos 2B α- ()2sin 2C α ()2sin 2D α-
4． 函数()f x =的定义域是（ ）
().3A x k x k k Z πππ??≤≤+∈????
().124B x k x k k Z ππππ??-≤≤+∈????
()11.412C x k x k k Z ππππ??+≤≤+∈????
().62D x k x k k Z ππππ??-≤≤+∈???? 5． ABC ?中，3sin 4cos 6A B +=， 4sin 3cos 1,B A +=则C ∠的大小为（ ） ()
6
A π ()
56B π ()6
C π或56π
()3D π或23π 二．填空题：
6． 已知sin 2m θ=，若0,
4πθ??
∈ ??
?
，则sin cos ______θθ-= 若,42ππθ??
∈
???
, 则sin cos ______θθ-= 7． 若3sin 4cos 0θθ+=, 则cot 2______θ= 8． 若
11
1cos sin θθ
-=,则sin 2θ的值为_______ 9． 已知
2sin cos 5sin 3cos θθ
θθ
+=--,则3cos 24sin 2______θθ+=
三．解答题： 10．
求
值4sin 20tan 20+o
o
11．
化
简
222cos 12tan(
)sin (
)
4
4
απ
π
αα--+
12．设,αβ均为锐角，且
sin cos()sin β
αβα
=+，求tan β的最大值。 §4-5 三角函数的化简和求值
一．选择题：
1． 在ABC ?中，若2
sin sin cos
2
A
B C =，则ABC ?的形状是（ ） ()A 等腰三角形 ()B 直角三角形 ()C 等边三角形 ()D 等腰直角三角形 2． 设3
A B π
+=
，tan tan 3A B +=，则cos cos A B 的值为（ ）
(
A (
B (
C (
)D 3． 22cos 15cos 75cos15cos75++o o o o 的值为（ ） ()
32A ()34B ()5
4
C ()1
D 4． 若()tan sin 2f x x =，则()1f -的值为（ ） ()sin 2A - ()1B - ()
1
2
C ()1
D 5． 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，则()cos αβ-的值为（ ） ()1A ()1B - ()12C ()1
2
D - 二．填空题：
6． 函数2
sin cos 2sin 1y z x x x =-+的最小正周期______T = 7． 一个等腰三角形一个底角的正弦值为5
13
，则这个三角形顶点的正切为______ 8． 若1sin cos 2
x x -=
，则33
sin cos ______x x -= 9．sin10sin 30sin 50sin 70______=o
o
o
o
三．解答题：
10．已知α
是第二，三象限的角，化简：cos sin 11．已知60sin cos 169??=
且42
ππ
?p p ，求sin ?和cos ?的值
12
sin 40sin 501++o o o
13．已知,2
k π
αβπ≠+
k Z ∈，()3sin 20αβ+-=，()5sin 10αβ--=，求
tan tan α
β
的值。 §4-6 三角函数的恒等变形
1． 求值：tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan10++o o o o o o
2． 求证：()()sin cos 1sin cos 1sin 2tan
2
θθθθθθ+--+= 3． 求证：2
2
21tan 1tan 1cot 1cot A A A A +-??= ?
+-??
4． 试探讨()()1tan 1tan 2A B ++=，,2
A B k π
π≠+，k Z ∈成立的充要条件（A ，B 所
满足的关系）。
5． 已知ABC ?三个内角
A.B.C 成等差数列，且
110cos cos A C +=，求cos
2
A C -的值（参考公式：cos cos 2cos cos 22
αβαβαβ+-+=
()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-????） 6． 已知α，β为锐角，且22
3sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，求证
22
π
αβ+=
。
§4-7 三角函数的图象
一．选择题：
１．要得到sin
2x y =的图象，只要将函数1sin()24y x π
=+的图象（ ） ()A 向左平移4π单位 ()B 向右平移4π单位 ()C 向左平移2
π
单位 ()D 向右平移
2
π
单位 ２．以下给出的函数中，以π为周期的偶函数是（ ）
()22
cos sin A y x x =- ()tan B y x = ()
sin cos C y x x = ()cos 2
x D y = ３．函数()sin y A x ω?=+在同一区间内的9x π=处取最大值12，在49
x π
=处取得最小
值1
2
-，则函数解析式为（ ）
()1sin 236x A y π??=
- ???
()1sin 326B y x π?
?=
+ ??
?
()1sin 236x C y π??
=
+ ???
()1sin 326D y x π??=
- ???
4．
cot y =
5. ① 53sin 26y x π??=- ??? ② 3sin 2y x ?
=
?
③ 53sin 212y x π??=-
??
? ④ 3sin 2y x ?
=
?
其中在2,63ππ??????
上的图象如图所示的函数是（ ()A ③ ()B ① ② ()C ① ② ④ ()D ① ② ③ ④
二．填空题：
6．把函数cos sin y x x =-的图象向左平移()0m m f 个单位，所得图象关于y 轴对称，则
m 的最小值是______
7。若函数具有以下性质：
⑴关于y 轴对称 ⑵对于任意x R ∈，都有(4)(4)f x f x +=-则()f x 的解析式
为_________________（只须写出满足条件的的一个解析式即可） 8．若[]0,2απ∈，且n cos si αα≤，求角α的取值范围_______________ 9．已知5()sin(
),(0,)33
k f x x k k Z ππ
=+≠∈且()f x 的周期不大于1，则最小正常数____________k =
三．解答题：
（C ）
10．已知函数22
sin 2sin cos 3cos ()y x x x x x R =++∈ （1）求函数的最小正周期 （2）求函数的增区间
（3）函数的图象可由函数2()y x x R =
∈的图象经过怎样的变换得出？
（１） 若把函数的图象向左平移(0)m m f 单位得一偶函数，求m 的最小值 １１．已知函数12
()log cos()34
x f x π
=+
（１） 求()f x 的定义域 （２） 求函数的单调增区间 （３） 证明直线94
x π
=是()f x 图象的一条对称轴
１２．设()sin cos ,(0)f x a x b x ωωω=+f ，周期为π，且有最大值(
)412
f π
=
（１） 试把()f x 化成()sin()f x A x ω?=+的形式，并说明图象可由sin y x =的图象经
过怎样的平移变换和伸缩变换得到
（２） 若,αβ为()0f x =的两根（,αβ终边不共线），求tan()αβ+的值 １３．已知函数图象y=sin()A x ω?+(0,0,)2
A π
ω?f f p 上相邻的最高点与最低点的
坐标分别为511(
,3),(,3)1212
ππ
-，求该函数的解析式． §４－８三角函数的性质
一．选择题：
1．下列函数中同时满足下列条件的是（ ） ①在0,
2π??
???
上是增函数 ②以2π为周期 ③是奇函数 ()tan A y x = ()cos B y x = 1
()tan 2
C y x = ()tan
D y x =- 2．如果,,2παβπ??
∈
???
且tan cot αβp ，则（ ） ()A αβp ()B βαp 3()2
C παβ+p 3()2
D π
αβ+f
3。已知1sin 3θ=-
且,2πθπ?
?∈-- ??
?，则θ可表示成（ ）
1()arcsin()3
A -- 1
()arcsin()23
B π
-
+- 1()arcsin()3C π-+- 1
()arcsin()3
D π---
4．若sin cos 1x x +=，则sin cos n
n
x x +的值是（ ） ()1A ()1B - ()1C ± （()D 不确定 5。下面函数的图象关于原点对称的是（ ）
()sin A y x =- ()sin B y x x =- ()sin()C y x =- ()sin D y x = 6．函数sin cos y x x =+的取值范围是（ ）
()A ?? []()0,2A []()1,2C ()D ??
二．填空题： 7．函数()sin
cos ,2,222
x x
y x ππ=+∈-的增区间为_____________________ 8．设()f x 是以5为周期的函数，且当55,22x ??
∈-
??
?时，()f x x = 则(6.5)_________________f =
9．设()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++，其中,,,a b αβ均为非零实数，若
(2003)3f =，则(2004)f 的值为_____________
三．解答题： １０．若
{
sin cos sin cos x y θθθθ
=+=，试求()y f x =的解析式
１1．已知函数y =（１） 求函数的定义域和值域 （２） 用定义判定函数的奇偶性 （３） 作函数在[]0,π内的图象 （４） 求函数的最小正周期及单调区间 １2．设函数()y f x =的定义域为R
（１） 求证：函数()y f x =关于点(,0)a 对称的充要条件是(2)()f a x f x -=-
（２） 若函数()y f x =的图象有两个不同对称点(,0)a ，(,0)b ，证明函数()y f x =是周
期函数．
§４－９ 三角函数的最值
一．选择题： １．若1
()cos 22
f x x =
-的最大值为M ，最小值为N ，则（ ）
()30A M N -= ()30B M N += ()30C M N -= ()30D M N += ２．在直角三角形中两锐角为,A B ，则sin sin A B 的值（ ） （A ）有最大值
12和最小值0 （B ）有最大值1
2
，但无最小值 （C ）既无最大值也无最小值 （D ）有最大值1，但无最小值 ３．函数()22log 1sin log (1sin )y x x =++-，当,64x ππ??
∈-
???
?时的值域为（ ） []()1,0A - (]()1,0B - [)()0,1C []()0,1D ４．函数3sin cos ,,
2y x x x ππ?
?
=--∈???
?
，则此函数的最大值，最小值分别为（ ）
()1,1A - ()1,B - (C (D
１．函数()2sin(3)f x x ?=+在区间[],a b 上是增函数，且()2,()2f a f b =-=，则
()2cos(3)g x x ?=+在区间[],a b 上（ ）
（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）可取最大值2 （D ）可取最小值2- ２．函数sin 2sin y x x =-的值域为（ ）
[]()3,1A -- []()1,3B - []()0,3C []()3,0D - 二．填空题：
３．函数y =的定义域为_____________值域为______ ４．函数(1sin )(1cos )y x x =++的最大值为_________最小值为__________ ５．设单位圆上的点(,)P x y ，求过点P 斜率为3
4
-
的直线在ｙ轴上截距的最大值为________________
６．设直角三角形两个锐角为Ａ和Ｂ，则sin sin A B +的范围是___________ 三．解答题：
７．求下列函数的最值
[]sin (1),0,2sin x
y x x π=∈+ cos (2),2sin x y x R x
=∈+ ８．已知关于ｘ的函数2
122cos 2sin y a a x x =---的最小值为()f a ，求
()f a 的解析式。13．设函数253sin cos ,0,8
2
2y x a x a x π??=++-∈??
?
?
的最大值
为１，求实数a 的值。
９．在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市Ｏ（如图）的东偏南
(arccos
10
θθ=方面的300km 海面P 处，并以20km h 的速度向西偏北45o 方向移动。台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？
一．选择题： １．集合.6k A k Z παα??==
∈????与.36k B k Z ππββ??==+∈????
的关系为（ ） ()A B A ? B A B ?)( ()C A B = ()D A B ?
２．下列函数中周期为
2
π
的奇函数是（ ） ()tan cot A y x x =+ ()sin B y x = ()tan 2C y x = ()tan
2
x D y = ３．函数cos 24y x π??
=-
???
在下列区间上为增函数的是（ ） ()4,45A ππ??????
()5,88B ππ?????? ()3,08C π??-???? ()3,44D ππ??-???? ４．将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的
1
2
（纵坐标不变），再把所得图象向左平移
6
π
个单位，得到的函数解析式为（ ） ()sin 26A y x π??
=+
??
?
()sin 23B y x π??
=+
?
?
?
()sin 26x C y π??
=+
??
? 东
()sin 212x D y π??=+
??
?
５．2
2
sin
cos 12
12
π
π
-的值为（ ）
()12A -
()1
2
B ()
C (D
６．已知θ为锐角，且sin 2a θ=，则sin cos θθ+的值为（ ）
(
A ()1)1
B a + ()
C ± (D
７．若cos cos 0,442π
ππθθθ??????
-+=∈
? ? ???????
，则sin 2θ为（ ）
()
A 3 ()
B 3 ()
C 6 ()
D 6
８．函数3sin 63y x x ππ????=-++ ? ?????
的最大值是（ ）
(
A ()
B ()
C ()
D 非以上答案
９．要得到函数sin cos y x x =-的图象，可以把函数sin cos y x x =+的图象（ ）
()A 右移
2π ()B 右移4π ()C 左移2π ()D 左移4
π １０．若对任意实数a ，函数21
5sin 3
6k y x ππ+??=-?
???()k N ∈在区间[],3a a +上的值
54出现不少于４次且不多于８次，则k 的值为（ ）
()2A ()4B ()3C 或4 ()2D 或3
二．填空题：
___________ 1２．若θ为锐角，且5sin 313
πθ??
-
= ?
?
?，则sin ______θ= １３．tan 30x -≥的解集区间为_____________________
１４．下列命题中正确的序号为______________________（你认为正确的都写出来） ①sin cos y x x =的周期为π，最大值为
12
②若x 是第一象限的角，则sin y x =是增函数
③在ABC ?中若sin sin A B =则A B =
④()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数 ⑤.0,
2παβ??
∈ ???
且cos sin αβp 则2παβ+f ⑥cos 24y x π??
=+ ??
?
的一条对称轴为8
x π
=-
三．解答题：
15. 化简3131cos cos 33k k παπα+-????+++ ? ?????
16 已知tan ,tan αβ是方程2420x x --=的两个实根，
求2
2
cos ()2sin()cos()2sin ()αβαβαβαβ++++-+的值
17．已知函数()25sin cos f x x x x =- x R ∈ ⑴求()f x 的最小正周期 ⑵确定函数()f x 的递减区间 ⑶确定()f x 的最大值与最小值，并写出对应的x 的集合 ⑷该函数图象可由函数sin 2y x =图象经过怎样的变换得到？
18. 已知函数sin(),(0,0)2
y A x A π
ω?ω?=+f f p
的图象在y 轴右侧的第一个最高点
为(2,M ，与x 轴在原点右侧的第一个交点(6,0)N ，求这个函数的解析式。
19．求证：3cos34cos 3cos ααα=-
20．如图所示，某市现有自市中心O 通往正西和东北方向的两条重要公路。为解决该市区
交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路。分别在到往正西和东北方向的公路上选取A ．B 两点，使环城公路A ．Ｂ间为直线段．要求ＡＢ路段与市中心Ｏ的距离为１０
三角函数参考答案：
ξ４－１．任意角的三角函数．
１．Ｃ，２．Ｃ，３．Ａ，４．Ｂ，５．Ｂ，６．三，一或三，７．32
π-
８．
(][),22,-∞-?+∞或，１２．０
ξ４－２．同角三角函数的基本关系及诱导公式．
１．Ａ，２．Ａ，３．Ｃ，４．Ａ，５．Ｂ，６．Ａ，７．2
cos
α-，８．
103，９．０，１０．103
，１１．⑴．2-910，１３．2-１４．当是
2
α
第一象限角时为2sec
2
α
，
当
2
α
是第三象限角时为2sec 2α-
ξ４－３．两角和与差的三角函数．
１．Ｂ，２．Ａ，３．Ｂ，４．Ｄ，５．1-，７．5972
，８．２，９．１，１１．4π
ξ４－４．二倍角的正弦、余弦、正切．
东
北
１．Ｂ，２．Ｂ，３．Ｄ，４．Ｂ，５．Ａ，６．247
，
８．2-+75
ξ４－５．三角函数的化简与求值．
１．Ａ，２．Ｃ，３．Ｃ，４．Ｂ，５．Ａ，６．π，７．120119-，８．1116，９．1
16
，１０．sin cos αα-
或sin cos 2αα+-，１１．125
,1313
，１３．13
7
ξ４－７．三角函数的图象．
１．Ｄ，２．Ａ，３．Ｂ，４．Ｃ，５．Ｃ，６．
34
π，７．cos
4y x π
=，８．357,,4444ππππ????????????
U ，９．２，１０．⑴．π，⑵．
3,.88k k k Z ππππ?
?-+∈????
，⑶．左移8π个单位，上移２
个单位，⑷ ．
8
π
，
１１．⑴936,6.44k k k Z πππ
π??-
+∈ ??
?，⑵．336,6.44k k k Z ππππ??-+∈ ???
，
１２．⑴．
()4sin 23f x x π??=+ ???，⑵．sin 23y x π?
?=- ??
?
ξ４－８．三角函数的性质．
１．Ｃ，２．Ｃ，３．Ｄ，４．Ａ，５．Ｂ，６．Ｄ，７2,32ππ??
-????
，８．1.5，９．５，１０．21.22x y x -=≤，
１１．⑴．定义域R ，值域2??，
⑵．偶函数，⑷．周期π，增区间
,2k k ππππ??
++????
，减区间
,.2k k k Z πππ?
?+∈????
ξ４－９．三角函数的最值．
１．Ｃ，２．Ｂ，３．Ａ，４．Ｄ，５．Ｃ，６．Ｂ，７．定义域
5,.44k k k Z ππππ?
?++∈???
?，值域0,??，
８．32，９．54，１０．(
，１１．⑴．10,3??????，⑵．????
１２．
()2122142
12
a
a a f a a
a a ?---≤??
=-?-???
f p ，１３．3
2
a
=
，１４．１４小时，持续１２小时
单元测试题．
选择题：１．Ｂ，２．Ｃ，３．Ｃ，４．Ｂ，５．Ｃ，６．Ａ，７．Ｂ，８．Ｂ，９．Ａ，１０．Ｄ 填空题：１１．6π或56π
arctan3,.2k k k Z πππ?
?++∈???
?，１４．①③④⑤⑥
解答题：１５．
(
)
(
)
1cos .R
k Z
αα-∈，１６．
1
25
，１７．⑴．
T π
=，
⑵．
511,.1212k k k Z ππππ??++∈???
?，⑶．当.12
x k k Z π
π=-
∈时，()f x 的最小值为
－５，当5.12x k k Z ππ=+
∈时，()f x
的最大值为５，１８．8
4y x π
π??=+ ???
２０．设，则BAO θ∠=，则
10cot AC θ= ,10tan 4BC πθ??
=+ ???
10cot tan 4AB πθθ??
??=++ ??????
?11tan 10tan 1tan θθθ+??=+ ?-??
令tan t
θ=0,2πθ??
∈ ???
Q 0t ∴f 而111t y t t +=+
- 整理得：()2110y t yt +-+=
由0≥?
得：2y ≥+
1t =（符合条件）
故
(
201AB ≥ 即AB
最小值为(201+
三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.
高中文科数学三角函数知识点总结
三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．
(2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求．
三角函数知识点及典型例题
三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式： R 4、扇形面积公式： S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=） _______ sin r y =α，________cos r x =α，_____tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k （Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：2 2 sin cos 1αα+=.2、 商数关系：sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??-
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 第一章：三角函数 §、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §、任意角的三角函数 y =α αcos ,sin 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角 . 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一：、 诱导公式二： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+（其中：Z k ∈） 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 第9课时 三角函数的最值 典型例题 例1. 求下列函数的最值． ⑴ y ＝ x x x cos 1sin 2sin -?；⑵ y ＝2 cos( 3 π ＋x)＋2cosx ；⑶ x x y cos 3sin 1++= ． 解：(1) y ＝x x x x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22 +=-??＝2 1)21(cos 22-+ x ∴ 当cosx ＝2 1-时，y min =2 1-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。 (2) y ＝2cos(x +3 π )+2cosx=2cos x x x cos 2sin 3 sin 2cos 3 +-π π =3cosx － 3 sinx=2 3 cos(6 π + x ) ∴当cos(6 π +x )＝－1时，y min ＝－3 2 当cos(6 π + x )＝1时，y max ＝3 2 (3) 由x x y cos 3sin 1++= 得sinx －ycosx ＝3y －1∴ ) sin(12 ?++x y ＝3y －1 (tan ?＝－y) ∵|sin(x ＋?)|≤1 ∴|3y －1|≤ 1 2 +y 解得0≤y≤4 3 故x x y cos 3sin 1++= 的值域为[0，43 ] 注：此题也可用其几何意义在求值域． 变式训练1：求下列函数的值域： （1）y= x x x cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx. 解 （1）y= x x x x cos 1sin cos sin 2-= x x x cos 1) cos 1(cos 22 --=2cos 2x+2cosx=22 ) 21(cos + x -2 1 . 于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y ＜4，且y min =-2 1,当且仅当cosx=-2 1 时取得. 故函数值域为? ? ? ???-4,21.（2）令t=sinx+cosx,则有t 2 =1+2sinxcosx,即sinxcosx= 2 12 -t . 有y=f(t)=t+2 12 -t = 1 )1(2 12 -+t .又t=sinx+cosx= 2 sin ) 4 (π + x ，∴- 2 ≤t≤ 2 . 故y=f(t)= 1 )1(2 12 -+t (- 2 ≤t≤2 ),从而知：f(-1)≤y≤f( 2 ),即-1≤y≤ 2 +2 1 .即函数的值域为?? ??? ?+ -212, 1. （3）y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx=2cos 3 π cosx-2sin 3 π sinx+2cosx=3cosx- 3 sinx=23??? ? ??-x x sin 21cos 23=2 3 cos ) 6 (π + x . ∵ ) 6 cos(π +x ≤1∴该函数值域为［-2 3 ，2 3 ］. 例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若] 2,0[π ∈x 呢？ 解： 令t ＝sinx ＋cosx 则t ∈[－ 2 ， 2 ]又2sinx ＋cosx ＝(sinx ＋cosx)2－1＝t 2－1 ∴y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋2 1 )2＋4 3，显然y max ＝3＋2 若x ∈[0， 2 π ] 则t ∈[1， 2 ] y ＝(t ＋2 1 )＋4 3 在[1， 2 ]单调递增．当t ＝1即x ＝0或x ＝ 2 π 时，y 取最小值3．当t ＝2 即x ＝ 4 π 时，y 取 最大值3＋ 2 ． 变式训练2：求函数3()co s (sin co s ) , 44f x x x x x x ππ?? =-+∈-???? 的最大值和最小值． 高中数学必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ； 第四象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3 α所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零； 任一角α的弧度数的绝对值r l =||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 （6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（22cm ） 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0） 练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。 II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切 线； 练习： （1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<） （2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 １．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则 =θ________. 1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根，且παπ2 7 3<<，则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______ （2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ?? ? ??-θπ23= α终边上P （－4，3）， ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40?+????= α∈(0, 2π)，若sin α=5 3 ，则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ?? ? ??-απ，则?? ? ??+απ6 5cos =______，)6 5απ -- =_____．. 【知二求多】 1、已知cos ??? ??-2βα= -54,sin ??? ? ? -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角， 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα，31 cos cos =+βα，则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角，则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限，2524 sin - =α，则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x （a >1）的两根为αtan ， βtan ，且α,∈β ??-2 π,?? ? 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= . 4、若??????∈27,25ππα，则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++οοοοΛ89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ，写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y ＝2sin ???? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直 线x ＝π 3 对称，其中ω∈????－12，52.函数f (x )的解析式为________． 2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0， 2)，??? ?x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ω?=++(0,0,)2A π ω?>>< 的图象 如图所示，求函数)(x f 的解析式； 三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如 (； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？ 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 第 1 页 共 1 页 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正， 第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α =MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=mπ, m∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++ 2 三角函数知识点 1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角 的变 换、两角与其和差角的变换 . 如 （ ） 2 ( ) ( ) ， （1） 平方关 系： 2 sin cos 2 1,1 tan 2 2 sec ,1 cot 22 csc （2） 倒数关系： sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1, （ 3） 商数关 系： tan sin ,cot cos cos sin 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式及倍角公式 ： sin sin cos cos sin 令 sin2 2sin cos cos cos cos m sin sin 令 cos2 2 cos 2 1 1 2sin 2 tan 1mtan tan 2 sin ＝ 1 cos2 tan2 2tan 1 tan 2 （2） 三角函数次数的降升 （降幂公式： 2 1 cos2 2 cos ， sin 1 cos2 2 与升幂 2 2 等）， 3 、 2 cos ＝ 1+cos2 2 2cos tan tan sin 2 公式：1 cos2 2cos2，1 cos2 2sin 2 2 (3) 常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 sin 2 x cos 2 x tan 4 sin 2 L 等)， 4)周期性 ：① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；② f ( x) A sin( x )和 f ( x) A cos( x )的最小正周期都是 T | 2 | 。如 5 )单 调 性 ： y sin x 在 2k , 2k 2 kZ 2 上单 调递增， 在 2k ,2k 3 k Z 单调递减； y cos x 在 2k ,2 k kZ 上单调递减， 在 2 2 2k ,2k 2 k Z 上单调递 特别提别忘了 k Z ！ (6) 、形如 y A sin( x ) 的函数： 1 几个物理量 ： A ―振幅；f 1 ―频率(周期的倒数)； 相位； ―初相； 2 函数 y A sin( x ) 表达式的确定 ：A 由最值确定； 期 确 定 ； 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 ， 如 f (x) Asin( x )(A 0, 0，| | ) 的图象如图所示， 2 3 函数 y Asin( x ) 图象的画法 ：①“五点法”――设 X x ，令 X ＝0 ， , , ,2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法： 22 这是作函数简图常用方法。 4 函数 y A sin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：①函数 y sin x 的图象 纵 坐标不变，横坐标向左( >0 )或向右( <0 )平移 | | 个单位得 y sin x 的图 象； ②函数 y sin x 图 象的纵坐 标不 变， 横坐标变为原 来的 1 ，得到函 数 y sin x 的图象；③函数 y sin x 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍， 得到函数 y A sin( x ) 的图象；④函数 y Asin( x ) 图象的横坐标不变，纵坐 标向上( k 0 )或向下( k 0 )，得到 y Asin x k 的图象。要 特别注意 ， 若由 y sin x 得到 y sin x 的图象，则向左或向右平移应平移 | | 个单位， 如 1 )函数 y 2sin( 2 x ) 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象？ (； 22 sec x tan x tan x cot x 2sin(15x 2 由周 则 f ( x) f ( x)三角函数知识点归纳
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