圆锥曲线的轨迹方程经典题型训练含参考答案

圆锥曲线的轨迹方程

1．已知直线2

:220(1)l x ay a a --=>椭圆2

22:1x C y a

+=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点．

（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程；

2．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内

切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程．

3．椭圆22

22:1(1)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12

PFQF

为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；

4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，1

4

PA PB k k =-g ．

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

5．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心，

点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程．

6．设1F ，2F 分别是椭圆22

22:1(0,0)x y C a b a b

+=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶

点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ?的周长为 （1）求椭圆C 的方程；

7．已知点F 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆

上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与

y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB =

． （1）求椭圆C 的方程；

9．已知椭圆22

22:1(0,0)x y E a b a b

+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，

且12||3||PF PF =．

（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；

10．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F 为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E

交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21

(,)33

P ．

（1）求椭圆E 的方程；

11．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且

||FM =P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．

（1）求抛物线C 的方程；

12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且过点2F 的直线

l 交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

13．有一种曲线画图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1

2

DN ON ==

，1DM =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C 的轨迹方程；

14．已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切． （1）求抛物线E 的标准方程；

15．已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点0(1,)P y ． （1）求抛物线C 的方程；

16．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B

的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为3

4

-．

（Ⅰ）求C 的方程；

17．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点M ，且焦距为4．

（1）求椭圆C 的标准方程；

18．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的长轴长为28y x =的焦点重合．

（1）求椭圆C 的标准方程；

19．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有

且仅有两个交点且都在x 轴上||,||OB O OA =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；

20．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F ，2F 分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；

21．已知(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点Q ，

ABP ?为等腰直角三角形，且||:||3:2PQ QB =．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

22．已知圆221:(3)16F x y ++=，圆心为1F ，定点2(3,0)F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点K 满足222PF KF =u u u r u u u r

，直线1PF 上一点Q 满足20QK KF =u u u r u u u r g ．

（1）求点Q 的轨迹E 的方程；

23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的斜

率为2．

（1）求椭圆C 的方程；

24．、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率1

2

e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，(4,0)P -，过点P 的

直线斜率为k ，交椭圆E 于A ，B 两点，12211221sin sin sin()BF F BF F a BF F BF F ∠+∠=∠+∠． （1）求椭圆E 的方程；

25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，

当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

26．已知椭圆2222:1x y C a b +=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =u u u r u u u r ，椭圆C 过点3

(1,)2

-．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

27．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的焦距为1:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不

与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ?． （1）求E 的方程；

28．已知点M 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F MF ∠=?，△

12MF F 的面积为1

2

．

（1）求椭圆的方程；

29．已知Q ，R 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称

点为H ，且1

2

PQ RH k k =g ．

（1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；

30．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，离心率为1

2

，P 是椭圆上异于左右顶

点的一动点，已知△12F PF 的内切圆半径的最大值为3

． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

31．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:b

l y x c

=与椭圆相交于

A 、

B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

32．已知点3

(1,)2P ，(1,)a x y =-r ，(1,)b x y =+r ，且

||||4a b +=r r ，满足条件的点(,)Q x y 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；

33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，3||2

PF =． （1）求抛物线C 的方程；

34．已知过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线2:2(0)G x py p =>相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是1

2

时，4AC AB =u u u r u u u r ．

（1）求抛物线G 的方程；

35．已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ =u u u r

．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

36．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的

距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C 的方程；

37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，

点3

(1,)2

P 在椭圆C 上，满足1294PF PF =u u u r u u u u r g ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

38．直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点

P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△12PF F 为等边三角形时，123PF F S =V ． （1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x =-于点D ， 过点O 作//OE AP 交直线4x =-于点E ，证明11OEF ODF ∠=∠．

39．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直．

（1）求椭圆C 的方程；

40．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b

Γ+=>>的离心率为2

，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ截得

的弦长为2． （1）求椭圆Γ的方程；