福建省泉州市南安市2018届高三数学上学期期末考试试题理
福建省南安第一中学2018届高三数学上学期期末考试试题理
一、选择题：
1.已知全集 U = R ，设集合 A={x| y =lg(x_1)}，集合 B={y y = 2x ,xHl},则
(C U B) =
()A . 1,2] B. 1,2
C 1,2
2.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧， 再将四段弧围成星形放在圆内 现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为 ( )
B.
1—1
D.
2
3.若复数z 满足z(i 7)= ——，则复数z 的虚部为(
)
i 一1 A.
-1 B . 0
C
. i
D . 1
A.丄
B.
啰
c.
10
D.
12
2
2
5.已知函数 f (x) = ln(.. 1 x 2
-x) 1，则
f (I
g 2) +
1
f (ig-)等于(
)
A. -1
B.
c
.1
D
. 2
(
)A. 212
B . 211
c . 210
7?《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图 中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 ( )
A.
2 B. 4 2.2 C . 4 4：2 D . 6 42
1 1
1
8.如图，给出的是计算
... + 的值的一个程序框图，
2 4 100
则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是 ( )
A. i 100, n = n 1 B . i 100, n = n 2
C. i 50, n = n 2 D . i 三 50, n = n 2
A.
兀
4.已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前项和,若则昕=( )
6.已知(1
x )n
的展开式中第 4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
D
A. 4 B . 2 6 C . 2 10
D . —
5
2
10.已知函数f(x)二AsinC .x ?「)( A,?均为正的常数)的最小正周期为 二，当x =--：
3
时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A. f (2) ：：：
f(_2) ：：： f(0) B . f (0) ：：： f(2) ：：： f (-2) C. f (_2) ：：： f(0)
：：： f (2) D . f (2) ：：： f(0) ：：： f (-2)
u
11.已知F 为抛物线y 2二x 的焦点，点A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，且OAOB =6 (O 为坐标原点)，若■ ABO 与 AFO 的面积分别为S ,和S 2，则S , - 4S 2最小值是()
A. - 3
B. 6
C.
13
D.
4、3
2 2
12.已知函数f x = In x 亠〔a-2 x-2 a 4( a - 0)若有且只有两个整数x 1 , x 2使得
f 为 0,且f X 2
0,则a 的取值范围是(
)
A. In 3,2
B.
〔2-1 n3,2
C. 0,2-1 n31
D. 0,2-1 n3
二、填空题：
13. 已知向量a = (1, -1), b = (6,-4),若a _ (ta ? b)，则实数t 的值为
x y 乞2 I 3
2 2
14. 若实数x, y 满足不等式组y-x —2 ,则(x+2) +(y-3)的最大值和最小值之和
［心
为
15. 某运动队对 A,B,C,D 四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛,在选拔结果公布前,甲、 乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说： “是C 或D 参加比赛”；乙说：“是B 参 加比赛”；丙说：“代D 都未参加比赛” ；丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位 说的话是对的，则
9.已知双曲线
b 2
=1 (b . 0)的一条渐近线方程为
斤，卩2分别为双曲线
C 的左右焦点, P 为双曲线C 上的一点, | PF I |:|PF 2 1 = 3:1 ,则 |PF 「PF 2 | 的值是(
获得参赛的运动员是
BE
16?在△ ABC中，若3sinC =2sin B ,点E , F分别是AC , AB的中点，贝U的取值范围为________ ?
三、解答题：(解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)
17.(12分)已知数列｛a n｝的前n项和& =4n-n2.
(1)求数列｛a.｝的通项公式；
「7 —a1
(2)求数列二的前n项和T n.
18.(12分)矩形ABCD中，AB =1, AD =2，点E为AD中点，沿BE 将 : ABE折起至PBE，如下图所示，点P在面BCDE的射影0落在BE上.
(1)求证：BP _ CE ;
(2)求二面角B - PC - D的余弦值.
19. (12分)2018年某市创建文明城市圆满结束，成绩优异.在创建文明城市过程中，为增强
市民的节能环保意识，该市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：
20,25 , 25,30 , 30,35 , 1.35,40 , 40,45】.
(1)求图中X的值,并根据频率分布直方图估计这
500名志愿者中年龄在35,40岁的人数；
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活
动，再从这20名中随机选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
CF
（1）求椭圆C 的方程及离心率;
（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于 点
N ,
求证：四边形ABNM 的面积为定值.
2 1 1 21. （12分）已知函数 f x =a x
2aln ax . x
2
⑴设g x = f x 1，求函数g x 的单调区间；
x
⑵若a 0，设A X 1,f X 1 , B X 2, f X 2为函数f x 图象上不同的两点，且满足
f 为 f =1，设线段AB 中点的横坐标为X 。，证明：ax 。 1.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分。
标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点 0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中,
圆C 的方程为匸=2\5sin^.
（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；
⑵设圆C 与直线I 交于点A 、B .若点P 的坐标为（3,'..5），求PA PB .
22.
（10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为
20.
a b
（t 为参数），在极坐
参考答案
一、选择题：(5X 12=60) (1) C (2) A (3) B (4) B (5) D (6) D
(7) C (8) C (9) C
(10) A
(11) B
(12) C
:■、填空题：
(4X 5=20)
(13) -5 ;
(14) 35 ；
2
(15)
B ；
(16) (和)
4 8
11.【解析】设直线 AB 的方程为x = ty m ，点A %,% ,B x 2, y 2 ，直线AB 与x 轴交点 为M 0,m ???联立x -ty m ，可得y 2 =ty ? m ，根据韦达定理得 y y 2 = -m 。 l y 2 =x
2
=6，即 ％ y 2 ]亠 y^i y 2 _ 6 = 0 ??? A, B 位于 x 轴的两侧? y 1 y^ -3
??? m = 3
设点A 在x 轴的上方，则y 1
?/ F |1,0
12.【解析】由题意可知，f x ] >0 ,即Inx ? a - 2 x -2a ? 4 ? 0, a ? 0 ,
ax -2a 2x -Inx -4 a 0
, 设 g x =2x -lnx -4,h x =ax -2a , 由
,可知g x =2x-Inx-4,在0,- 上为减函数，在 丄上为增
x
2 2
函数，h x =ax-2a 的图象恒过点 2,0 ,在同一坐标系中作出 g x ,h x 的图象：若有
且 a>0
"a 》。
只有两个整数x 1,x 2,使得f (M p O ,且f(x 2 )A 0,则*h (1)〉g (1),即「—a a —2 ,解得
、h(3 戶 g (3)
兰 2T n3
0 ：a 乞2 — In3
OA O B =6 ? X i X 2 y i y 2
3
?S 4“2 3
yr
4
- 4y 1
匕
-2y < — - 6
2y1
当且仅当 2y^—，即y^-时取等号
1
2
2y 1
? S 1 4S 2的最小值是6.
j 1 g' x =2-丄
x
BE 2 _
CF 2 -126 t 2
14 16‘64 ' CF 4’8
三、解答本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）
解：（1）当 n_2 时，&厂5-&4=4 n-n 2-”4 n-1j[ n-1? =5-2 n ， ............................... 3 分
当n =1时，a 1 =3 =3适合上式,
减得:
16. 【解析】：E 为AC 中点，由
cos/BEA - -cos/BEC 得 2BE
同理可得2CF 2 =b
2
- a 2
已知 3sin C = 2sin B , 3c = 2b ,
.2BE 2
2
b 2
一八18，
2CF 2 二a 2
BE 2
CP
~18 + -- 9 18-』）2
_____ a 18 14（b
）
2
a 135
126 98 -
2丿
1 2
14
设-=t,
a
2
结合c = —b ,
「3 a c b ,-
5
b c a
—< —
25 a
:::9.
135
1 1 49 ——U | —— -- 令b n
7 - a n n 1
n
nJ ，
2 2 所以T n =2
1 2Tn
2 3 4 n —+——+——+ ... + _ 2 3
n 1 + --- nd n ' 2
两式相
? —丿*
2n
=1
1
1- 1
_2_ 1丄 2
2n
10分
11分
故 T n =6
2n_
12分