第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第一节 矩阵的初等变换 初等行变换

()1()i j r r ?对调两行，记作。

()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。

扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价

A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

等价关系的性质

（1）反身性

A~A

2 A ~B , B ~A;（）对称性若则

3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r

m n

E

O F O

O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。

初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么

(1);r

A B m P PA B ?=存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使

(3)P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质

设A 是一个m ×n 矩阵，则

（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；

~;r

A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使

（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；

即~;c

A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使

(3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使

（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵

1212

,,

,,l l P P P A PP P =使。

（5）~r

A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ） 初等变换的应用

（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换

或1A E E A -????????

→ ? ?????初等列变换。 （2）求

A -1

B ：A (,) ~ (,),r

A B E P 即

()1(|)|A B E A B -??→行

，则P =A -1B 。或

1E A B BA -??

??????

→ ? ?????

初等列变换. 第二节 矩阵的秩

矩阵的秩

任何矩阵m n A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，

行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

矩阵的秩 在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0. 说明

1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };

2. R (A ) = R (A T );

3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;

4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵

矩阵()

ij m n

A a ?=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若

()R A n =，称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()n A R A n =若阶方阵满秩，即0A ?

≠；1A -?必存在；A ?为非奇异阵；

,~.n n A E A E ?

必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。

矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。（证明课本P ）

推论 ()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则（课本P ） 矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}

m n R A m n ?≤≤

(2)()()T R A R A = ()()(3)~, A B R A R B =若则

()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)() 1.

R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有

(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤

(8),()().m n n l A B O R A R B n ??=+≤若则

(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本P71）

第三节 线性方程组的解

线性方程组1111221121122222

1122n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?如果有解，则称其为相容的，否则称为

不相容

定理2 n 元齐次线性方程组 Ax =0

（1）R(A) = n ?Ax=0 有唯一解，零解 （2）R(A) < n ?Ax=0 有非零解. 定理3 n 元非齐次线性方程组Ax b =

（1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R <

（2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R ==

（3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =<（证明课本P71）

基础解系

齐次线性方程组0Ax =的通解具有形式1122x c c ξξ=+(c 1, c 2为任意

常数)，称通解式()112212,x c c c c ξξ=+为任意常数中向量12,ξξ构成该齐次线性方程组的基础解系。 线性方程组的解法

齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n －R (A )，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。 非齐次线性方程组：将增广矩阵B =(A ,b )化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。

非齐次线性方程组解的通解具有形式*1122x c c ξξη=++

(c 1, c 2为任意常数)，不带参数部分*η是非齐次方程组的一个解；带参数部分1122c c ξξ+的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。

定理 矩阵方程AX ＝B 有解的充分必要条件是R(A)＝R(A,B) 定理 ,()min{(),()}AB C R C R A R B =≤设则

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组习题.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解；

(C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时，

3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的 通解为 . 9．设，，

，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把 的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.

（A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件 . 16．设方程组有无穷多个解，则 . 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解

(八年级地理教案)八年级地理上册第三章知识点整理

八年级地理上册第三章知识点整理八年级地理教案 第三章中国的自然资源 55、对于可再生资源,如果利用合理,并注意保护和培育,便能实现永续利用,对于非可再生资源,我们应该十分珍惜和节约使用。 56、我国自然资源的特点是总量丰富,人均不足。 57、根据土地的用途及土地利用的状况把土地资源分为耕地、林地、草地、建设用地。 58、我国人均土地资源占有量小,且各类土地资源所占的比例不尽合理,主要是,耕地少、林地多、难利用土地不足,特别是后备土地资源与人与耕地的矛盾尤为突出。 59、我国的耕地和林地主要分布在气候湿润的东部季风区,草地主要分布在年平均降水量不足400毫米的西部内陆地区。 60、土地资源的人为破坏现象有水土流失、土地荒漠化、乱占耕地。 61、土地资源的一项基本国策是十分珍惜和合理利用每一寸土地,切实保护耕地。 62、地球上的水,海洋水占97%,淡水资源占2.5%

63、地球上的淡水资源,绝大多数为两极和高山的冰川,其余大部分为深层地下水。目前人类利用的淡水资源主要是江河湖泊和浅层地下水。 64、我国水资源总量少于巴西、俄罗斯、加拿大、美国和印度尼西亚,,位于世界第6 位,若按人均计算,则仅为世界平均水平的1/4 。 65、从时间分配看,夏季季降水集中,冬春季降水少。有效调控径流和水量的季节变化的措施兴修水库; 66、从空间分布看,我国水资源南丰北缺,特别华北和西北地区缺水最为严重,进一步加剧了北方的缺水状况。解决水资源地区分布不均的有效办法之一是跨流域调水。 67、南水北调工程就是把长江水系水调到缺水严重的华北、西北地区。 68、针对我国水资源严重紧缺的问题,节约用水尤为重要。

中图版-高中地理必修三知识归纳整理

必修3提纲（文） 第一章区域地理环境和人类活动1.1 区域和区域差异 一、区域与区域差异 1、区域：是指一定范围的地理空间，它具有一定的地理位置，是一个可度量的实体。区域是人们在地理环境差异的 基础上按一定的指标划分出来。区域具有一定的面积、形状、范围和界限。 2、区域划分：从地域范围来说，区域的范围有大有小，级别有高有低。 从区域划分的指标来看，有自然区、经济区、文化区、行政区、综合区等等。 从划分指标，有单一指标，有综合指标。 从界限：有明确边界和过渡边界 3、区域的基本特征：具有一定的界线、区域内部各要素相互联系，相互影响，构成一个整体（整体性）；各区域之 间普遍存在差异（差异性）；各区域不是孤立存在，而是与其它区域存在各种联系（开放性）。 4、衡量区域发展水平的标志：常用的有人均国内生产总值、人均国民收入、三次产业产值比重等。其余的指标如人文发展指数（预期寿命、教育程度和国内生产总值） 5、区域各发展阶段的特征 二、中国三大自然区 1、产生原因：纬度位置、海陆分布和海拔高度 地形、气候：自然差异的基本因素 2、自然地理五要素土壤、植被：自然区域的标志 水文 3、三大自然区的差异

4、东部季风区的内部差异 （1）、南北差异①分界线： 秦岭—淮河 1月0℃等温线 800mm 年等降水量线 南方与北方的分界线 暖温带与亚热带分界线 温带季风气候与亚热带季风气候分界线 旱地与水田的分界线 湿润区与半湿润区分界线 结冰期和非结冰期 ②南北差异（东部季风区以秦岭-淮河为界，分为南方和北方） （2）四大亚区的差异（P10图）

（3）南北差异对人类活动的影响 二、中国三大经济地带（P12图） 1、依据：自然条件、自然资源 、社会经济发展水平 2、差异 补充：西部大开发：“西部大开发”的西部范围：西部经济地带所包括省区+内蒙+广西（110°E 以西地区） 范围：10+2+3（西部地带10个省区、内蒙古、广西两个自治区。湖南湘西、湖北恩施和吉林延边3个自治州也比照西部大开发有关政策实施开发开放。 条件：矿产、油气、水能、土地资源等有突出优势，发展潜力大。但西部基础设施落后，人才、技术、资金匮乏。 措施：抓好基础设施和生态建设；加快优势资源开发，发展特色产业；发展科技教育，扩大对外开放。 意义：将西部的资源优势转化为经济优势，缩小东西部之间的发展差距，推动区域经济的协调发展；实现全国各族人民的共同富裕，加强民族团结，保持社会稳定与边疆安全；扩大国内市场需求；实施可持续发展战略。 1.2 区域地理环境对人类活动的影响 一、陆地环境对人类活动的影响（阶段性、变化性） 早期农业主要起源地区

2020高考矩阵与变换知识点基础与提高(含答案)

2020高考矩阵与变换知识点基础与提高（含答案） 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 212022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力

八上地理第三章知识点总结

3.1自然资源概况 ▲概念：存在与自然界、能为人类提供福利； 1、主要类型：气候资源、水资源、土地资源、生物资源、矿产资源、海洋资源 2、自然资源的特征 （1）自然资源概念不是一成不变。数量巨大，但有限。 3、可再生资源：气候资源，生物资源，水资源，土地资源。应有计划，有限制地加以开发利用。 4、非可再生资源：金属矿产，非金属矿产，煤炭，石油，天然气。应综合利用，注意节约，避免浪费和破坏。 5、新能源：太阳能、风能、生物质能、海洋能、核能、氢能等。特点：污染小、储量大、分布广等。低碳经济是低能耗、低污染、低排放。 6、中国的土地资源 ▲人多地少 1、土地是人类生存最基本的自然资源 2、“人多地少”是我国的基本国情：不及世界的1/3。 一、类型齐全 1、各类土地资源齐全：耕地、林地、草地等（各类土地利用类型比例图） 2、草地面积较广，所占比重大。耕地、林地所占比重相对偏小。 3、中国难以利用的土地比重大，分布在新疆、内蒙古的干旱荒漠，以及青藏高原上的高寒 荒漠等。 二、区域差异明显：空间分布不平衡，土地生产力区域差异明显 1、耕地分布在东部季风区的平原和盆地以及低缓的丘陵地区 2、林地分布在东北、西南（天然林）、和东南山区（人工林和次生林）。 3、草地分布在北部、西部内陆地区。 三、珍惜每一寸土地 1、耕地存在的问题：人均少，后备土地资源不足，工矿与建筑用地占用及乱占耕地，使耕 地面积减少——对策：提高耕地的生产力；适当开垦荒地，提高利用率。 2、林地存在的问题：管理不力，滥伐现象严重—对策：营林、护林、造林、采育结合，永 续利用 3、草地存在的问题：超载，管理不力，造成退化——确定合理的载畜量，划区轮牧，防灾。 4、十分珍惜、合理利用土地和切实保护耕地，是我国的基本国策。 ▲中国的水资源 一、“东多西少，南多北少”，中国水资源地区分布不均的特点。 1、南方约占全国总面积的40%，却占全国总流量80%以上。 2、黄、淮、海流域面积占全国耕地的38%，以上但水资源只占6%。 3、水资源空间分布的五个带：P73；图3-20 我国水资源供需情况对应地区

地理必修三知识点总结

第一节认识大洲 一、亚洲地理位置的特点（b） 半球位置：亚洲地跨东西半球和南北半球，大部分位于东半球和北半球。 纬度位置：亚洲大致位于10°S～80°N 之间，地跨热带、北温带和北寒带，是世界上跨纬度 最广的大洲。 海陆位置：亚洲三面临洋，东临太平洋、北临北冰洋、南临印度洋；西与欧洲相连，以乌拉 尔山、乌拉尔河、里海、大高加索山脉、黑海、土耳其海峡为界；西南隔苏伊士运河与非 洲相邻，东北隔白令海峡与北美洲相望；东南隔海与大洋洲相望。海岸线曲折而漫长。 二、亚洲地形、气候、水系的特点及相互关系（ d） 跨热、温、寒三带，三面临海，腹地广阔，地形复杂多样，以高原、山地为主；且地表起伏大，所以亚洲的气候具有强烈的大陆性、典型的季风性和类型的复杂性等特征；亚洲的地势中部高，四周低，受地势影响河流大都发源于中部，呈放射状流向四周；受气候、地形 的影响，亚洲河流的补给一般有雨水补给、高山冰雪融水补给等。 读世界局部图，回答下列问题。（亚洲高频考点） (1)A山脉， B河， C山脉， D海峡， E运河， F海峡。 (2)甲是洲，乙是洲，丙是洲，丁是洲，戊是洋，己是洋，庚是洋。 (3)B 河流的流向大致是，决定 B 河流流向的因素是。 (4)甲洲河流大都发源于中部，呈放射状流向四周，这说明该洲地势特点是。 第二节认识地区 一、欧洲西部地理位置的特点（b） 欧洲西部西临大西洋，北临北冰洋，南隔直布罗陀海峡、地中海与非洲相望，东南隔土耳其 海峡与亚洲相望。 欧洲西部的海岸线破碎、曲折而漫长，多半岛、岛屿、海峡与海湾。 二、欧洲西部地形、气候的特点及对农业生产的影响（c） 地形特征：平均海拔最低的大洲，平原地形为主，山脉分布在南北两端，南有高峻的阿尔卑 斯山系，北有古老低缓的斯堪的纳维亚山脉，中部为广阔的平原；受第四纪冰川活动影响， 境内冰川地貌广布。 气候特征：总体特征是温带气候类型为主，海洋性性特征显著。温带海洋性气候分布在西部，夏 季凉爽、冬季温和，全年降水均匀。形成温带海洋性气候的主要原因是常年受来自海洋的西风 和北大西洋暖流影响。

高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1

高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1 2020.03 1,圆22 1x y +=在矩阵10102?????? ? ?对应的变换作用下的结果为 ． 2,当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设： （1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%； （2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍； （3）第n 年时，兔子数量n R 用表示，狐狸数量用n F 表示； （4）初始时刻（即第0年），兔子数量有1000=R 只，狐狸数量有300=F 只。 请用所学知识解决如下问题： （1）列出兔子与狐狸的生态模型； （2）求出n R 、n F 关于n 的关系式； （3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。 3,在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命 中才能引爆成功，每次射击命中率都是3 2 .，每次命中与否互相独立. (1) 求油罐被引爆的概率. (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望 4,在空间四边形ABCD 中， AC 和BD 为对角线，G 为ABC ?的重心，E 是BD

上一点，3BE ED =，以{ },,AB AC AD u u u r u u u r u u u r 为基底，则GE =u u u r ___ 5,设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的 伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22 149x y +=在1M -的作用下的新曲线的 方程． 6,已知变换A ：平面上的点P （2，－1）、Q （－1，2）分别变换成点P 1（3，－4）、 Q 1（0，5） （1）求变换矩阵A ； （2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由． 7,两个人射击，甲射击一次中靶概率是21，乙射击一次中靶概率是31 ， （Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？ （Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ （Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？ 8,如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值以及BA 1与面C 1EF 所成的角的大小．

初中地理章节知识点总结

初中地理复习人教版教材 七年级上册 与同学们谈地理 １、人类的活动离不开地理 ⑴地理与日常生活：地理与日常生活密切相关，我们可以了解天气,广泛了解世界各地的基本情况和风土人情等。 ⑵地理与生产建设：我们生产活动不能随心所欲,它要受到地理环境的影响和制约。 ⑶学会收集地理信息：①查阅地理书籍②咨询有关人士③上网查阅资料等。 2、学习地理,为了更好地生活 ①尊重自然规律,做大自然的朋友;②因地制宜，扬长避短;③综合地分析问题；④具备可持续发展的观念。 第一章地球和地图 一、地球和地球仪 1、认识地球的形状和大小(P3中的图1.２） ⑴形状:地球是一个两极稍扁赤道略鼓的不规则球体。 ⑵大小:表面积＝5.１亿平方公里；平均半径＝63７１千米;赤道周长=４万千米 ⑶能证明地球是球体的事实:麦哲伦环球航行的成功;地球的卫星照片;月食照片，是地球影子遮挡了照射的阳光。 ⑷麦哲伦环球航行路线：西班牙→大西洋→麦哲伦海峡→太平洋→菲律宾群岛→印度洋→好望角→大西洋→西班牙。 2、地球的模型——地球仪 ⑴含义：仿照地球的形状,按照一定的比例进行缩小的模型。 ⑵意义:可以方便我们知道地球的面貌，了解地球表面各种地理事物的分布。 3、纬线和经线（P５中的图1.7) ⑴纬线:与地轴垂直并且环绕地球一周的圆圈。 ⑵经线:连接南北两极并且与纬线垂直相交的半圆。 ⑶地轴：假想的地球自转轴。 ⑷两极：地轴与地球表面的交点。 ⑸经、纬线的特点： ⑹特殊的经、纬线 ①特殊纬线 赤道——是最长的纬线,既是纬度的起始点,以北为北纬用字母N表示;赤道以南为南纬用字母S表示,也是南北半球的划分界线。 ３0°纬线——是低纬度与中纬度的分界线

地理必修三知识点总结湘教版

地理必修三知识点总结 第一章 1.区域的特征（边界、异同、特色、联系） 1）区域具有一定的界线（有虚有实）； 2）区域内部表现出明显的相似性和连续性，区域之间则具有显着的差异性； 3）区域具有一定的优势、特色和功能； 4）区域之间是相互联系的，一个区域的发展变化会影响到周边和相关的地区。 2.区域空间结构 1）概念：一个地区各种区域要素的相对位置关系和空间分布形式。 2）形成：是区域自然、人文因素长期作用和相互影响的结果。 3）影响因素：自然地理条件、社会经济活动、人口状况、城市化水平、区域开放程度和对外联系等。 4）乡村地域和城市地域 ①区别：地域范围大小，乡村大于城市； 产业活动，乡村以农业生产活动为主，城市非农业生产活动为主； ②联系：乡村地域是城镇地域发展的依托,城镇会对乡村产生广泛的持续的带动作用。5）地域空间分布形式：农业通常表现为面状；交通运输线路表现为线状和网络状；城市和工业表现为点状；城市群和工业区表现为岛状。 3.区域产业结构 1）概念：三次产业及其内部的比例关系。 2）影响因素：自然地理条件、经济发展水平、资源配置状况、劳动力素质等。 3）产业的划分：①第一产业：农业（种植业、林业、牧业、渔业） ②第二产业：工业和建筑业 ③第三产业：除第一、二产业以外的其他各业 4.产业结构的差异 1）表现：产值比重、就业比重、内部构成等。 2）传统的农业区域或发展水平较低的区域，第一产业所占的比重较大； 工业区域或加速推进工业化的区域，第二产业所占的比重较大； 发展水平较高的区域，第二产业和第三产业所占的比重较大。 3）第一产业比重大：城市化水平低，经济发展水平低； 第二产业比重大：工业化程度高； 第三产业比重大：经济发展水平高。

《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案新部编本1

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案1 教学目标 1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、 切变变换的矩阵表示及其几何意义 2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵 3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系 教学重难点 了解并掌握几种特殊的矩阵变换，可以简单的运用。 教学过程 1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义 （１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：?? ? ???y x →??????''y x =??????++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：??? ???y x →??????''y x =??? ? ??d c b a ?? ????y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ） 由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形. 在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换． （２）由矩阵M=?? ? ???1001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩 阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己. （３）由矩阵M=??????100k 或M=?? ? ???k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变 换，这时称矩阵M=???? ??100k 或M=?? ????k 001伸压变换矩阵．

初一地理湘教版第三章知识点总结

湘教版七年级地理上册第三章知识点总结 第三章 世界的居民 第一节 世界的人口 1. 世界人口的增长特点——1800年以前增长十分缓慢，1800年以后快速增长。到20XX 年10月底，世界人口总数已突破70亿。 2.人口的自然增长主要由出生率和死亡率决定的 人口密度（人/千米2），反映人口地理分布的疏密程度 3. 一般来说，经济发展水平高的国家，人口的自然增长较慢；经济发展水平低国家，人口的自然增长较快。 4. 世界人口最稠密地区主要分布在亚洲东部和南部、欧洲西部、北美洲和南美洲的东部。原因是这些地区处在中低纬度地区、气候温和多雨的平原和盆地，或是临海地带。稀疏区——干旱的沙漠、寒冷的极地、空气稀薄的高山高原、湿热的原始热带雨林。 5. 人口增长过快、过慢都会带来严重的问题： 人口增长过快造成资源紧缺，环境破坏，还带来了就业、居住、教育、医疗等难以解决的问题； 人口增长过慢造成了劳动力短缺、人口老龄化等问题。 人口的增长应与资源、环境相协调，与社会经济发展相适应。 6、世界上人口最多的国家——中国 （世界人口前五位——中国、印度、美国、印度尼西亚、巴西） 9、问题：大量人口从农村迁往城市，对城市和农村有哪些影响？ 自然增长率=出生人口数－死亡人口数总人口数 ×100%=出生率－死亡率人口密度＝某区域的人口数（人） 该区域的面积（平方千米）

（1）、对城市 a、好处——为城市建设提供大量的廉价劳动力，推动城市的商业活动及城市的发展建设 b、坏处——城市人口过多，会给城市造成巨大的压力，如住房紧张、交通拥挤、治安问题、教育问题、医疗不足、就业困难、供水不足等。 （2）、对农村 a、好处——使农村的富余劳动力得到充分利用，为农民带来收入 b、坏处——农村劳动力减少，许多农田荒废，农业发展受阻，留守儿童与留守老人问题严重 第二节世界的人种 1、人种是根据人类体质方面的特征所划分的人群 2、世界三大人种——白种人、黄种人、黑种人 3、划分依据——肤色、眼色、毛发、头型、脸型等 4、各人种之间的特征与区别 5、人种的分布：

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第一节地理环境对区域发展的影响 区域：区域是地球表面的空间单位，它是人们在地理差异的基础上，按一定的指标和方法划分出来的。 区域具有一定的区位特征，以及一定的面积、形状和边界。 区域内部的特定性质相对一致。 区域既是上一级区域的组成部分，又可进一步划分为下一级区域。 区域特征：层次性；差异性；整体性；可变性 区域不同发展阶段地理环境的影响——以长江中下游平原为例 区域地理环境对人类活动的影响不是固定不变的，而是随着社会、经济、技术等因素的改变而改变。 开发早期：人们利用和改造自然的能力低下，稠密的水系成为人们交通的阻隔，黏重的土壤使人们开垦困难。受地理环境的限制，耕作农业发展缓慢。 农业社会：①船作为交通工具被广泛使用，长稠密的水系为扩大交通联系提供了天然水道。 ②随着农业生产工具的改进和生产技术的改良，长江三角洲多水而质地黏 重的土壤不再成为耕作业的限制条件，农业生产得到较快的发展。 ③随着我国历史上人口从北方至南方几次大规模的迁移，长江三角洲人口 越来越稠密。(人口迁移) ④优越的气候条件还使得长江三角洲成为我国主要的桑蚕和棉花生产基 地。 现代社会：①工商业的发展使长人口、城市密集，耕地面积减小。 ②耕地被分割得很破碎，不利于机械化的推广，粮食商品率低。 ③今天长江三角洲作为全国“粮仓”的地位已逐渐让位于东北平原和华北 平原，在全国棉花生产中的地位也比不上新疆南部和华北平原。 北方民居正南正北的方位观比南方强； 北方民居的墙体严实厚重，南方民居的墙体轻薄； 从北到南，民居的屋顶坡度逐渐增大，房檐逐渐加宽，房屋进深和高度逐渐加大。 如果不考虑地价、建筑材料等因素，建同等面积的住房，北方的建筑成本比南方高；建同样高度的多幢楼房，北方楼房的南北间距比南方大。比较长江三角洲和松嫩平原的异同

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→． 定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.

几类特殊线性变换及其二阶矩阵优秀教学设计

几类特殊线性变换及其二阶矩阵 【教学目标】 1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。 2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。 3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。 难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是： 在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+??'=+? ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。 ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 (,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。 像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ?? ???称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素 元素全为0的二阶矩阵0000?? ???称为零矩阵，简记为0。

矩阵1001?? ??? 称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。 解析：教师板书。 （3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-??'=+?，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-?? ??? 。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。 解析：教师板书。 （4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是： 一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。 学生板书，教师纠正解答。 （5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。 （1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。 （2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A ' 教师请同学上讲台解答，并纠正总结。

八年级上册地理 第三章 知识点总结复习过程

第三章知识点总结 1.自然资源的定义：在自然界中，对人类有利用价值的阳光、土地、森林、矿产、水和水能，都是自然资源。 2.自然资源的分类 可再生资源：在较短时间内，可以再生，可以更新，或者可以循环使用的土地、水、水能、森林、太阳能、潮汐能、动物 非（不）可再生资源：在较短时间内不可再生、不可更新、不能循环使用的， 用一点就少一点石油、煤、天然气、金属矿产 3.可再生资源并非“取之不尽，用之不竭”的 虽然可再生资源在较短时间内可以再生、更新或循环使用，但是我们还是应该注意合理利用，注意保护和培育，这样才能在一定意义上说“取之不尽，用之不竭”，如果利用不合理，不注意保护和培育，开发速度大于其再生速度，一味的浪费，那么就会使可再生资源失去其可再生性，变成为非可再生资源，用一点就少一点，总有一天会枯竭，逐渐“取之用尽”。 4.我国自然资源特点：总量丰富，人均不足。 5.“地大物博”中的“物博”的含义：总量大，种类多。 6.导致我国自然资源形势1.人口因素（随着人口的增长，我国自然资源的人均占有量势必还会减少）2.人为因素（人为的利用不当，浪费，不注意保护，管理不善）逐渐恶化的因素3.社会经济的发展（社会经济的发展，人们生活水平的提高，对自然资源的需求越来越大） 7.解决这种趋势的措施：1.控制人口数量，提高人口素质；2.加强保护、节约意识；3.节约资源，开发新能源。 对资源的循环使用有效的提高了资源的利用效率；不购买一次性消费品，拒绝贺卡都从源头和去路上保护了环境，既节约了资源，又减少了垃圾。 9.农业用地：耕地---东部季风区---平原、低缓丘陵 林地---东部季风区---山地（东北林区，西南林区东南林区） 草地---西北内陆非季风区---高原、山地 非农业用地：建设用地 东部季风区，气候相同，气候湿润，在平原地区适宜发展种植业（耕地），在山地地区适宜发展林业（林地），这说明地形对土地类型分布的影响；林地和草地的主要地形都有山地，那么为什么会有林地和草地之分，原因是草地在西北内陆，气候不受季风影响，是大陆性气候，而林地是在东部季风区，这说明在地形相同的时候，气候也影响土地类型的分布。

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第一章地理环境与区域发展 第一节地理环境对区域发展的影响 一、区域的定义：地球表面的空间单位，人们在地理差异的基础上按照一定的指标和方法划分出来的。指标和方法不同，区域的类型也不同。 二、区域的特点：有的边界是明确的（行政区），有的边界是过渡性质的（干湿地区）；层次性 注：两个区域，按照不同的指标，地理界线是不同的。 三、地理差异对区域发展的影响 长三角和松嫩平原的对比 长三角（华东地区、沪宁杭地区）：读图和文字得到下列信息： 1、定位：30°N~32°N，120°E~122°E，东部沿海的中部，太平洋的西岸，与日本隔东海相望。 2、地形：以平原为主，地势平坦 3、气候：亚热带季风气候，夏季高温多雨，雨热同期，温暖时间长，作物的生长期长。 4、土壤与耕地：肥沃的水稻土，耕地较为分散，多为水田，人均耕地低于全国平均水平。 5、水系：长江、京杭运河、富春江、钱塘江、黄浦江 6、作物：水稻、冬小麦、油菜、棉花 7、矿产资源贫乏。 8、综合性的工业基地（发达农业的基础上发展轻工业，利用交通优势进口矿产发展重工业） 松嫩平原（和三江平原、辽河平原构成东北平原） 1、定位：43°N~48°N，125°E附近 2、地形：平原为主，地势平坦 3、气候：温带季风气候，雨热同期，降水主要集中在七八月份（大陆性稍强），温暖时间短，作物的生长期短。 4、土壤与耕地：肥沃的黑土，耕地较为集中，多为旱地，人均耕地多，有利于机械化的推广，耕作方式相对粗放，亩产量低于全国平均水平。 5、水系：嫩江、松花江 6、作物：春小麦、大豆、玉米、甜菜（辽南为冬小麦） 7、矿产：有丰富的石油资源。 8、工业：我国的重化工基地。 四、区域不同发展阶段地理环境对区域的影响是不同的。 以长江中下游平原为例为例来分析 1、开发早期：黏重的土壤和稠密的水系成为农业发展的障碍。 2、开发时期：随着科技的发展，化不利的自然条件为有利的条件。 3、农业时期：成为我国重要的粮仓和棉花、桑蚕的产地。（为什么） 4、工商业时期：稠密的水网再次成为农业发展的障碍，粮仓地位、棉花生产地位均让位于其他地区。 第二节地理信息技术在区域发展中的应用 1、地理信息技术：RS（遥感）,GPS（全球定位系统）,GIS（地理信息系统），要熟悉中英文

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

中考地理第三章海洋与陆地知识点复习

海洋与陆地复习知识点 1、海陆分布： （1）运用地图和数据说出全球海陆所占比例，描述海陆分布特点。 海洋占地球表面积的71％，陆地占地球表面积的29％；三分陆地，七分海洋。 世界海陆分布很不均匀，陆地主要分布在北半球；海洋主要分布在南半球。 （2）七大洲和四大洋的地理分布和概况 ①七大洲：（面积从大到小）亚洲、非洲、北美洲、南美洲、南极洲、欧洲、大洋洲。 ②四大洋：（面积从大到小）太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。 ③洲界：亚洲与非洲：苏伊士运河。 亚洲与欧洲：乌拉尔山脉、乌拉尔河、里海、大高加索山脉、黑海、土耳其海峡。 北美洲与南美洲：巴拿马运河。 2、海陆变迁： （1）魏格纳(德国科学家)大陆漂移假说：原始地球有一整块大陆，成为“泛大陆”。 （2）现在科学家研究表明，地壳运动和海平面的升降运动是造成海陆变迁的主要原因。 （3）板块构造学说(目前最流行最科学的学说)认为：地球由六大板块组成即亚欧板块、美洲板块、非洲板块、太平洋板块、印度洋板块和南极洲板块。其中太平洋板块几乎全部是海洋。板块内部地壳比较稳定，板块与板块交界处地壳比较活跃，通常表现为张裂拉伸，俯冲碰撞，断裂错动。火山与地震带：板块与板块交接处。 ①举例说明地球表面海陆处在不断的运动和变化之中 a、喜马拉雅山上发现海洋生物化石 b、我国东部海域的海底发现了古河流及水井等人类活动的遗迹 c、荷兰的填海造陆（人类活动改变地表形态） ②知道板块构造学说，说出世界著名山系及火山、地震分布与板块运动的关系 a、世界两大火山、地震带： 地中海—喜马拉雅山火山地震带 环太平洋火山地震带 ③阿尔卑斯山（欧洲）：位于亚欧板块与非洲板块交界处 喜马拉雅山（亚洲）：位于亚欧板块与印度洋板块交界处

第三章知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使

【K12学习】八年级地理上册第三章《中国的自然资源》知识点归纳

八年级地理上册第三章《中国的自然资 源》知识点归纳 第三章 中国的自然资源 1.我国自然资源的总特征（基本国情）：自然资源总量丰富，人均不足（我国资源概况：陆地面积——世界第三：矿产资源总量——世界第三；耕地面积——世界第四；河流年径流量——世界第六；森林面积——世界第六）4月22日为世界地球日。 2.我国土地资源的主要利用类型为：耕地、林地、草地和建设用地（如交通用地等） 3.土地不利条件：人均土地资源占有量小；各类土地所占比例不尽合理。尤其耕地、林地少，难利用土地多，后备土地资源不足。人与耕地的矛盾尤为突出。 4.土地资源的分布： 耕地——主要分布在东部平原及低缓的丘陵地区 林地——主要分布在山地 耕地和林地主要分布在气候湿润的东部季风区（90％以上） 草地——主要分布在年平均降水量不足400毫米的西部内陆地区 （该区还集中了大量的难利用和未利用土地）

耕地与水资源南北差异： 北方以旱地为主，且耕地资源比例大（60％），但水资源比例仅20％ 南方以水田为主，且耕地资源比例小（40％），但水资源比例达80％ 5.当前的土地问题：水土流失；乱占耕地；土地荒漠化。 6.土地法：《土地管理法》《草原法》《森林法》 全国土地日—6月25日 7.我国土地基本国策——“十分珍惜和合理利用每一寸土地，切实保护耕地” 8.地球上的水，97%是海洋水，而人类所需的淡水资源仅占全球水量的2.5%。地球上的淡水资源，98%是冰川、深层地下水，目前人类利用的淡水资源，主要是江河湖泊水和浅层地下水，仅占全球淡水资源的0.3%。 9.水资源现状：水资源总量排世界第六，但人均排名靠后。总量丰富，人均不足；污染、浪费严重——水资源短缺世界水日：3月22日。中国水周：3月22日至28日。 10.水资源分布特征： A时间分布：夏秋多，冬春少——解决措施：兴建水库，调控径流和水量的季节变化。 B空间分布：东多西少，南丰北缺（华北和西北地区，