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上海大学随机过程第六章习题及答案

第三章习题

1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率

为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.

（1）写出状态空间；

（2）求一步转移概率矩阵；

（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为

{2,1,0,1,2}S =--

（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为

10000000

0000

1q r

p q r p q r p ????????=????????

P （3）因为两步转移概率矩阵为

(2)

2222

0000

20222020

000

1q rq r pq pr p q rq r pq

pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P

所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为

(2)

12(1)p p pr p r =+=+

2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,

}i Y i =是否为Markov 链？

（2）令1

n i

i X Y ==

∑，问{,1,2,

X i =是否为Markov 链？

解（1）由于

11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)

()()()()

()()

(,,,)

n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========

========

因此，{,1,2,

}n Y n =是马尔可夫链.

（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=++

+为1n U -的函数，记为1112(),n n n n

f U X U U U --=++

+为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,

n U U U 相互独立，则其相应的函数

1122(),(),,(),

n n f U f U f U 也相互独立，从而

12211122111

1112211 (,,

,)(,,

(,,,)()

()

n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑

因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.

3 设,1,2,

i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,

i j P X j a j ===，如果

max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n

产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,

}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；

（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，

则计算其转移概率.

证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足

........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<

故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且

?≤>======++i j i

j a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）

（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随

机变量，因为

{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且

}{1z X R P t

n i i ===++=???≤>i

j i j a j ,0,（由于i X 的独立性）

故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…

{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…

{

}

1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {

}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {

}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+

,0,j j i j i

α>?=?≤? 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。

4考虑一个具有状态0,1,2,

的Markov 链，其转移概率满足,1,11i i i i i p p p +-==-，其中

01p =，请找出为了使该Markov 链正常返，所有的i p 所应该满足的充要条件，并计算其在

这种情况下的转移概率.

解：根据题意知，要满足马尔可夫链为正常返约，当且仅当

πj i y i

P ππ=∑ j =0，1，2...

有一组解j π>0, 1j j

π=∑

根据,1,11i i i i i P P P +-==- ，方程可重写为

011q ππ=

1111,1i i i i i P q i πππ--++=+≥ 则

11,0i i i i q P i ππ++=≥ 因此010

....,0. (i)

i i P P i q q ππ++=≥

从而，随机游动为正常返约的充要条件是00

(i)

i i P P q q ∞

=+<∞∑

5 捕捉苍蝇的一只蜘蛛依循一个Markov 链在位置1，2之间移动，其初始位置是1，转移矩阵为0.70.30.30.7??

???，未觉察到蜘蛛的苍蝇的初始位置是2，并依照转移矩阵为0.40.60.60.4??

???

的

Markov 链移动，只要它们在同一个位置相遇，蜘蛛就会捉住苍蝇而结束捕捉.

（1）证明：在捕捉的过程中，除非知道它结束的位置，否则都必须用三个状态的Markov 链来描述，其中一个是吸收状态，表示结束捕捉，另外两个代表蜘蛛与苍蝇处在不同位置，对此求转移矩阵；

（2）求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处在各自初始位置的概率；（3）求捕捉过程的平均持续时间.

证明：捕捉过程中，除非知道它结束时的位置，可用三个状态的马尔可夫链来描述，其中一个是吸收状态代表捕捉结束，而另外的两个代表植蜘蛛与苍蝇处在不同的位置，对此链求转移概率矩阵。

求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处于各自的出事位置的概率，捕捉过程的平均持续时间是多少？

解：（1）根据题意可知，在捕捉过程中共有三个状态，我们分别令为1，2，3

则1={蜘蛛为1，苍蝇在2} 2={蜘蛛为2，苍蝇在1} 3={蜘蛛，苍蝇在同一位置}

其中状态3也代表着捕捉结束，则转移概率矩阵为0.280.180.540.180.280.54001??

????

（2）分别设n X ，n Y 代表时刻n 蜘蛛和苍蝇的位置。令{1,2}n n n P P X Y === '{2,1}n n n P P X Y === 则有{1,2}n n n P P X Y ====

111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====+'111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====

=0.281n P -+0.18'1n P -

同理'n P =0.28'1n P -+0.181n P - 且1P =0.28,'1P =0.18

(3)苍蝇被吃掉的概率为P =P {蜘蛛不动，苍蝇动}＋P {苍蝇不动，蜘蛛动} 故P ＝0.7*0.6+0.4*0.3=0.54 故捕捉过程的平均时间为1.85

6 在一个分枝过程中，每个个体的后代个数服从参数为（2，p ）的二项分布，从一个个体开始，计算：（1）灭绝概率；

（2）到第三代群体灭绝的概率；

（3）若开始时不是一个个体，初始的群体总数0Z 是一个随机变量，服从均值为λ的泊松分布，证明：此时对于12

p >

，灭绝概率为2exp{(12)/}p p λ-. 解（a ）设0π=P {灭绝的概率}= 2

{}{j}j p j P X ===∑1灭绝的概率|X

2002(1)j j j j p p j π-=??

=- ???

∑

故有222000(1)2(1)p p p p πππ=-+-+

解得2202

|12|122(1)2p p p p p p π?±-+-+?

===-???

因为p X E 2][=，根据定理4.5.1可知，若P ≤0.5 时，0π=1

P >0.5 时，0π= 2

(1)p p

即201,0.51(),0.5p p p p π≤??

=-?>??

（b ）Ⅱ={第三代群体首次灭绝}=∑=2

1j p {第三代群体首次灭绝|j x =2}}{2j x =

=∑=2

j Ⅱj j j j p p C --22)1(

故Ⅱ=Ⅱ22p +2Ⅱ)1(p p -

（c ）Ⅱ*

=p {群体灭绝}=∑∞

k p {群体灭绝|k Z =0}}{0k Z p =

=∑∞

=0k p {群体灭绝|k Z =0}

λλ-e k k

=λλπ

-∞

=∑e k k

k k !

=}ex p{0λπλ-e =})21(ex p{2p p -λ

7 一辆出租车流动在三个位置之间，当它到达位置1时，然后等可能的去位置2或3.当它到达位置2时，将以概率1/3到位置1，以概率2/3到位置3.但由位置3总是开往位置1.在位置i 和位置j 之间的平均时间是12132320,30,30t t t ===，且ij ji t t =.求（1）此出租车最近停的位置是i 的（极限）概率是多少？1,2,3i =；（2）此出租车朝位置2开的（极限）概率是多少？（3）有多少比例的时间此出租车从位置2开到位置3?

注意，以上均假定出租车到达一个位置后立即开出.

解：根据题意有12P =1/2，13P =1/2，21P =1/3，23P =2/3，32P =0 12t =21t =20，3113t t ==30，23t =30

(a)

根据123123

2131211311

21223j i ij i i p ππππππππππππππ++=??

?=+?=??????=??=??

?=+??

∑∑

解得12337314514πππ?=??

=??

?=??

(b)

此出租汽车朝位置2开的极限概率是112332p p ππ+，为3/14

(c)

223233230

1214331312576(3020)(2030)3072143314

j ji ji ij

p t p t ππ??==

?++?+?+?∑

8 转移矩阵称为双随机的，若对于一切j ，

1ij

i p

+∞

==∑，设一个具有双随机转移矩阵的Markov

链，有n 个状态，且是遍历的，求它的极限概率.

解：由于Markov 链是状态有限的遍历链，极限分布是唯一的平稳分布，满足

121...1,1,2,...,n n j i ij i p j n

πππππ=+++=???

==??

∑ 解得121...n n πππ====

。故极限分布为11

1,,...,n n

n ?? ???。

9．设齐次Markov 链的状态空间为{1,2,3}，一步转移概率矩阵为

1010

01p

p P p p p p -??

?=- ? ?-??

其中，01p <<，问该齐次Markov 链是否是遍历的，若是，则求其极限分布.

解：解记1q p =- ，因为

(2)

222

222q pq pq

p q pq

p q pq pq p ??

+??==????+??

P P

并且(2)

的元素都大于零，所以该齐次马尔可夫链是遍历链. 由于齐次马尔可夫链是遍历

链，因而其极限分布就是平稳分布. 设平稳分布为123{,,}ππππ=，求解方程组

123,1πππππ=++=P

即

121132

2331231

q q p q p p ππππππππππππ+=??+=??

+=??++=? 得

11p p q q π=

+ ???

1p q p p q q π=

??++ ???

321p q p p q q π?? ???=??++ ???

所以极限分布为

21,,111p p q q p p p p p p q q q q q q π????

? ?

???=??

????????++++++ ? ? ??????????

10 设一个单细胞生物处于两个状态,A B 之一，处于状态A 的一个个体以指数率α变到状态B ；处于状态B 的一个个体以指数率β分裂成两个新的A 型个体.请为这样的生物群体定义一个合适的连续时间Markov 链，并且确定这个模型的适当的参数.

解：我们以()t X A ，()t X B 分别记t 时刻群体中A 细胞和B 细胞的个数，则链

()(){}0,,≥t t X t X B A 是连续时间马尔可夫链。

且根据题意：处于A 的一个个体以指数率α变到状态B ；处于状态B 的一个个体以指数率β分裂成两个新的A 型个体，则转移率为：

11 设系统的“状态”可建模为两状态的连续时间Markov 链，其转移率为01,v v λμ==.当系统状态是i 时，“事件”按照速率为i α的泊松过程发生，0,1i =.记()N t 为(0,)t 中事件的个数，求（1）()

lim

t N t t

→∞

；（2）如果初始状态是状态0，求(())E N t .

解：()a 假设初始状态处于1并保持1z 时间，然后转到状态0并保持1y 时间；然

后再转到状态1并保持2z 时间，然后再转到状态0并保持2y 时间；这样

循环往复下去，则过程(){}1,∞

i i y z 构成一交替更新过程。如果初始状态处

于0，那么过程(){}1

,∞

i i y z 构成了一延迟交替更新过程。

设处于状态1时在i z 时间内得到累积报酬为()时间内事件发生的个数在i i z N 处于状态0时，在i y 时间内得到累积报酬为()时间内事件发生的个数在i i y N 设()t M =到t 时刻为止更新的总个数，则有 ()()()t M t M N N N N N N t N ++++++≥ 2211

()()()()()112211++++++++++≤t M t M t M t M N N N N N N N N t N 由交替更新报酬定理知： ()()

N N N N t M t M t ++++∞

→ 11lim

[][]

周期长度的报酬在一个周期内系统得到E E

=μ

λμαλα111

0++=μλλαμα++1

()()m

q n m n m λ=-+1,1,,()()βn q n m n m =-+1,2,,

()()0t

N N lim 1

t M 1t M t =+++∞

→

故有()μ

λλαμα++=∞

→1

0t t t N lim

()b 若系统的初始状态为

0，类似()a 的构造知，过程(){}

,=∞

i z y i i 仍然成为一交替更新过程。由()a 知 ()=

∞

→t

t N t lim

[][]周期长度的报酬在一个周期内系统得到E E =

λλαμα++10

则()[][]数单位时间内发生的事件?=t t N E =

t 1

0μ

λλαμα++

12 设有一质点在1，2，3上作随机跳跃，在时刻t 它位于三点之一，且在[,]t t h +内依概率

0()2

h +分别可以跳到其它两个状态，求转移概率所满足的Kolmogorov 方程. 解：若2,i =则

()(),1,1,11

,1(1)22i i i i i i p h h o h q q ++=+?==

()()()(),1,1

,12

i i i i p h h o h p h h o h -=+=-+。

类似可得，{}1,2,3i ?∈，（1）式成立。其中当1i =时，13i -=，当3i =时，11i +=，Kolmogorov 向前方程为

()()()()()()

1,,11,11,111

'22ij jj ij j j i j j i j ij ij i j p q p t q p t q p t p t p t p t ++--+-=-++=-++又3

1ij j p ==∑，故()()()()131

'1222ij ij ij ij p p t p t p t =-+-=-+，

解得()()()3

102t

t s ij ij p t e

ds p e ---=+?。

利用初始条件()100ij i j p i j =?=?≠?，解得()32

21233

1133

t ij t

e i j

p t e i j

--?+=??=??-≠??。

13 设{,0}t X t ≥为状态离散连续参数的齐次Markov 链，其状态空间为{1,2,

,}m ，且

1,,1,2,

,1,ij i j

q i j m m i j

≠?==?

-=? ，求()ij p t .

解：解由题设设知Q 矩阵为

111111111

111m

m m -??

??-?

?=???

?-??

Q 由向前方程得

()d ()1()(), d ij ij ik k j

p t m p t p t i S t

≠=-+∈∑

由

()1m

k p

t ==∑，得

()1()ik

ij k j

t p t ≠=-∑

代入上面的方程，得

()d ()

1()(1())

d =()1,,1,2,

,ij ij ij ij p t m p t p t t

mp t i j m

=-+--+=

解之得

(), ,1,2,,mt ij p t Ce i j m m

-=+

由初始条件(0)1,(0)0, ii ij p p i j ==≠，所以：

当i j =时，11C m =-；当i j ≠时，1

.C m

=-；

于是

11()1, 1,2,

,mt ii p t e i m m m -?

?=-+= ???

()(1), ,1,2,,mt ij p t e i j m m

14 已知齐次马尔可夫链的转移概率矩阵

?=031

31P 3

23132????????

?31310 问此马尔可夫链有几个状态？求二步转移概率矩阵. 解因为转移概率矩阵是三阶的, 故此马尔可夫链的状态有三个;

二步转移概率矩阵

2()2()(P p P ij ==

?=031313

23132?????????31310 ?

?031313

23132

?????????31310

??=929293949594????????

939292 . 15. 在一串贝努利试验中,事件

A 在每次试验中发生的概率为p ,令

???=发生

次试验第不发生

次试验第A n A n X n ,1,0 , ,3,2,1=n

(1)

},2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？

(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3) 求n 步转移概率矩阵.

解 (1) 根据题设条件知道

,,,,21n X X X 是相互独立的,

所以 },2,1,{ =n X n 是马尔可夫链,

又转移概率

??=======++1,0,}{}|{1

1j p j q j X P i X j X P n n n

与n 无关,

故

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;

(2) 状态空间

}1,0{=S ,

一步转移概率矩阵

)(ij p P = ?

?=q q ??

p p , ?

??========++1,0

,}{}|{1

1j p j q j X P i X j X P p n n n ij .

(3)

n 步移概率矩阵

n ij

n P p

P ==)()

()

( ?

?=q q ??

p p . 16. 从次品率

)10(<

前

n 次抽查出的次品数,

(1)

},2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？

(2) 写出状态空间和转移概率矩阵;

(3)如果这批产品共有100个,其中混杂了3个次品,作有放回抽样,求在抽查出2个次品的条件下,再抽查2次,共查出3个次品的概率. 解 (1)根据题意知,

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;

(2) 状态空间

},,,2,1,0{ n S =,

p 是次品率,p q -=1是正品率,

根据题意知

????

???+>+==<====+1

,01,,,0}|{1

i j i j p i j q i j i X j X P p n n ij ,

,,,2,1,0,n j i = ;

(3)次品率

03.0=p ,

所求概率为 )

2(232

}2|3{p X X P n n ===+

∑+∞

==0

2k k k p p

++?+?++=000q p p q

0582.097.003.022=??==pq .

17. 独立重复地掷一颗匀称的骰子, 以n X 表示前

n 次掷出的最小点数,

(1)

},2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？

(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3)求}3|3,3{21===++n n n X X X P ;

(4)求}1{2

=X P .

解 (1) 根据题意知,

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;

(2)状态空间

}6,5,4,3,2,1{,=S ,

}|{1i X j X P p n n ij ===+

??≥=====+2,01,1}1|{1

1j j X j X P p n n j ,

????

?????≥======+3,02,6

1,61

}2|{1

2j j j X j X P p n n j

????

?????≥======+4,03,6

2,1,61

}3|{1

3j j j X j X P p n n j ,

????

?????=======+6,5,04,6

3,2,1,61

}4|{1

4j j j X j X P p n n j ,

????

?????=======+6,05,6

4,3,2,1,61

}5|{1

5j j j X j X P p n n j ,

6,,2,1,6

}6|{16 ==

===+j X j X P p n n j ; (3)

}3|3,3{21===++n n n X X X P

}3|3{1===+n n X X P }3,3|3{12===?++n n n X X X P

}3|3{1===

+n n X X P }3|3{12==?++n n X X P

64643333=?=?=p p ;

(4) }|1{}{}1{126

i X X P i X P X P i ==?===∑=

361161611616

=?+?=∑=i . 18. 设齐次马尔可夫链

},2,1,0,{ =n X n 的转移概率矩阵为

?=03131P 3

23132????????

?31310 , 且初始概率分布为,3

}{)0(0===j X P p j 3,2,1=j ,

(1) 求}3,2,1{321===X X X P ;

(2) 求

}3{2=X P ;

(3) 求平稳分布.

解 (1)

}3,2,1{321===X X X P

}1,2|3{}1|2{}1{123121=======

X X X P X X P X P

}2|3{}1|2{}1{23121======

X X P X X P X P

23121}1{p p X P ??==

1203

110}|1{}{p p j X X P j X P j ??====∑=

23123

10}{p p p j X P j j ??==∑=

4)03131(313132=++??=

;

(2) }3{2

=X P }|3{}{03

20j X X P j X P j ====∑=

)

2(33

}{j j p j X

P ∑===

)939292(31=++= ; (3)平稳分布

),,(321p p p 满足方程组

313211p p p p ++=, 3

231323212p p p p ++=, 3

13103213

p p p p ++=, 1321=++p p p

解之得

,42,41321===p p p .

19. 具有三状态:0,1,2的一维随机游动,以j t X =)(表示时刻t 粒子处在状态

2,1,0(=j j 过程

}

,,,),({210 t t t t t X =的一步转移概率矩阵

??=0q q P q p 0 ????

?p p 0 ,

(1) 求粒子从状态1经二步、经三步转移回到状态1

的转移概率;

(2) 求过程的平稳分布. 解 (1)

}1)(|1)({2)2(11===+n n t X t X P p

pq pq qp p p

k k k

2012

1=++==

∑=,

??==22

2(q q q P P pq

pq pq 2 ??????+22

p pq p

p ,

??+++==23

33223)

3(2pq q pq q p q q P P q p pq pq qp pq 222

2++ ?????

?++323

2222p q p p q p p

于是

pq t X t X P p n n ====+}1)(|1)({3)

3(11,

(2) 平稳分布

),,(210p p p 满足方程组

02100p q p q p p ++=,

q p p p p p 21010++=,

p p p p p p 21020++=,

1210=++p p p ,

解之得

pq q p -=120 , pq

pq p -=11,pq p p -=122 . 20. 设同型产品装在两个盒内,盒1内有8个一等品和2个二等品,盒2内有6个一等品和4

个二等品.作有放回地随机抽查,每次抽查一个,第一次在盒1内取.取到一等品,继续在盒式内取;取到二等品,继续在2盒内取.以

X 表示第

n 次取到产品的等级数,则

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链.

(1) 写出状态空间和转移概率矩阵;

(2) 恰第3、5、8次取到一等品的概率为多少？ (3) 求过程的平稳分布

解(1)根据题意,

状态空间

}2,1{=S

4108}1|1{111==

===+n n X X P p ,

51102}1|2{112=====+n n X X P p , 5

3106}2|1{121==

===+n n X X P p , 5

2104}2|2{122==

===+n n X X P p , 转移概率矩阵

?=535

4P ??????5251 ;

(2) 54}1

{1==X P ,5

}2{1==X P , }1,1,1{853===X X X P

}

1,1|1{}1|1{}1{358353=======X X X P X X P X P

}1|1{}1|1{}1{58353======X X P X X P X P

)

3(11)2(113}1{p p X P ==

)

3(11)2(112

131}|1{}{p p i X X P i X P i ∑=====

)

3(11)2(112

)2(11}{p p p i X P i i ∑===, ??==251825192

)2(P P ??????

257256,

??==12593125943)3(P P ???

1253212531,

}1,1,1{853===X X X P

)

3(11)2(112

1)2(11}{p p p i X P i i ∑=== 752.076.0)72.02.076.08.0(???+?=

429783.0= ;

(3) 平稳分布

),(21p p 满足方程组

5421

1p p p +=, 5

51212p p p +=,

121=+p p ,

解之得 4

31=p , 412

=p .

21. []A A ,

-的双极性二进制传输信号{}(),0U t t ≥的码元符号概率为[],q p 。将)(t U 送

入码元幅度取样累加器，累加器输出为{}(),1,2Y n n =，简记为n Y 。试求：（1）画出()Y n 的状态图；

（2）)(n Y 的状态概率)(n k π和[]0≥n Y P ，假定初始分布为等概的；（3）)(n Y 状态转移概率),(n m p ij 和[]

4,3,13108115====Y Y Y Y P 。

解（1）

将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于

随机过程考试真题

1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：（1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为时，经两步转移后处于状态2的概率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在) ,[h t t +内，它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{?(t )，-?

随机过程

《随机过程》课程教学大纲课程编号：02200021 课程名称：随机过程英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计一、课程简介随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。二、课程性质、目的和任务随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。三、课程基本要求通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。四、教学内容及要求第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。第二章随机过程的基本概念和类型

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量连续型随机变量方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）：相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。独立不相关４．特征函数离散连续重要性质：，，，５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布二项分布泊松分布均匀分布略正态分布指数分布６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。（２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。（３）协方差函数且有（４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t)

随机过程考试真题

1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度与一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数与协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(就是参数为2 σ的维纳过程,)4,1(~N R 就是正态分布随机变量; 且对任意的∞<<∞-t ,)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(,求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数与协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数就是一个泊松过程,平均每小时有180人,即180=λ;且每个顾客的消费额就是服从参数为s 的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P (1)求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{, 1}1{000======X P X P X P 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ,转移概率矩阵为: ??? ??? ? ? ??=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、设{}(),0N t t ≥就是参数为λ的泊松过程,计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立,且i N 就是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯, 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 (1)计算()j E O (2)j O 的分布就是什么 (3)j O 与k O 的联合分布就是什么 8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一,则在),[h t t +内,它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t ),-∞

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

随机过程补充例题

随机过程补充例题例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。解此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程由特征方程 2()p q p q λλ+=+

（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝ 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）

与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函 2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----??

随机过程概念整理

什么是随机现象？在发生之前只能知道该现象各种可能的发生结果但无法准确预知哪一个结果将发生随机现象产生的原因是什么？客观物质间相互作用的多样性和复杂性；认识主体认识能力的有限性数学模型：描述客观事物量的之间关系的数学关系式系统：我们将导致一个现象发生的所有因素及其相互作用机制定义为一个系统系统的输出：某种试验或观察的结果。试验：让上述系统产生一次输出的过程样本空间：试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间样本点：样本空间中一个元素确知系统：当观察者能清晰地认知系统的所有要素和作用机制，并且可以根据所知准确预测某次试验的输出，则这个系统被称为确知系统。随机系统：否则当观察者对组成系统的所有要素和作用机制不能完全认知，在试验之前只知道该系统的样本空间，而无法根据所知预测该次试验将输出样本空间中的哪一个样本，这个系统就被称为随机系统。比较：确知系统可以“从因推果”，随机系统则不可以随机试验（观察）：使得随机系统产生一次输出的活动。随机试验的特点: 1 可在相同条件下重复地进行。 2 试验的可能的结果不止一个, 并且能事先明确所有可能的结果. 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 建立随机现象数学模型的基本思路：不考虑输出某个结果的原因用数或者函数表示输出结果对输出结果的可能性进行先验量化所谓样本的频率就是在若干次试验中，某个样本出现的次数占试验总次数的比例。频率稳定性是指当试验的次数增加时，样本的频率总是在一个常数左右微小波动。事件：样本空间的子集，也即由若干个样本点组成的集合事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。不可能事件必然事件基本事件：可数和不可数实际上概率集函数的含义就是某个事件的概率

北大随机过程课件：第 3 章第 2 讲马尔可夫过程

马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程切普曼-柯尔莫哥洛夫方程齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程）柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性稳态分布存在的条件和性质稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理

5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明：

1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ：参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞；状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="；对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３性质马尔可夫过程具有过程的无后效性；参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

(完整版)随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布 X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x) p k f (t)dt 分布函数 k x X 的概率分布用概率密度 f (x) F(x) 分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,) 其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量 X EX x p k k X EX xf (x)dx 连续型随机变量 2 DX E(X EX) 2 EX (EX) 2 方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）： B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY XY B XY 相关系数（两个随机变量 X,Y ）： 0，则称 X ,Y 不相关。若 XY DX DY 独立不相关 itX g(t) E(e ) itx e p k 连续 g(t) k e itx f (x)dx ４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1， g(t) 1 g( t) g(t) ，， g (0) i EX k k k ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布二项分布 P( X 1) p,P( X 0) q EX p DX pq P(X k) C p q n k k k EX np DX n p q n k 泊松分布 P( X k) e k! EX DX 均匀分布略 ( x a)2 1 2 N(a, ) f (x) 2 2 2 EX a 正态分布 e DX 2

随机过程知识点总结

第一章：考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P

???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2

随机过程简史

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文）课程名称：应用随机过程设计题目：随机过程简史院系：电气工程学院班级： 11S0104 设计者：孙延博学号： 11S001070 指导教师：田波平设计时间： 2011-10-23 随机过程简史摘要本文简要地介绍了随机过程从20世纪初创立至今，100年的发展历程考察了导致随机过程产生的历史契机，以及早期数学家在这方面作出的杰出工作。并简要介绍了随机过程的概念，研究方法

和研究内容，在现代工程技术领域的应用。关键词：随机过程平稳随机过程平稳随机序列 1.随机过程的概念研究方法及研究内容随机过程是现代概率论研究的一个重要分支。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。由于物理学生物学，通讯和控制管理科学等学科的需要随机过程逐步发展起来的。马尔柯夫最早研究了随机过程。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度轮、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。 2.随机过程的历史 1900年，Bachelier在分析股票市场波动时．发现了随机过程的一个重过程——独立增量过程的特恻。1905年，物理学家Einstein在研究Brown运动时，也遇到了相同的过程．1923年，Wiener 给出了Brown运动的数学描述- wiener过程。 Lunbderg在1903年研究一个保险公司所承担索赔累计数的变化规律时．导出了另一类型的随机过程——Lundberg过程。而众所周知、应用甚广的Poisson过程是当所有得付出的索赔总数中每一笔数目都相同时的Lundberg过程。 1909年，Erlang在研究电话业务时引入了Poisson过程，并被物理学家Rutherford和Geiger用于分析放射性蜕变。这些早期对随机过程的研究都是同实际问题紧密联系在一起的。虽然在数学上用了不太严密的方法，却表现出了直观处理这些概念和方法的绝妙能力。

应用随机过程学习汇总

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

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