高等数学下册期末考试试题及答案
考试日期：2012年
院（系）别
班级 学号
姓名 成绩
一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）
1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32
z
x y
?=?? ．
3、曲面2
2
9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．
4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．
5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
()L
x y ds +=? ．
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
1、求曲线222
222
239
3x y z z x y
?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22
6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数
1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x
z f xy y y
=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分
,dS z ∑
??其中∑是球面2222
x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）
抛物面22
z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
四、 （本题满分10分）
计算曲线积分
(sin )(cos )x x L
e y m dx e y mx dy -+-?
，
其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2
2
(0)x y ax a +=>．
五、（本题满分10分）
求幂级数13n
n n x n
∞
=?∑的收敛域及和函数．
六、（本题满分10分）
计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=
++-??， 其中∑为曲面2
2
1(0)z x y z =--≥的上侧．
七、（本题满分6分）
设()f x 为连续函数，(0)f a =，2
22()[()]t F t z f x
y z dv Ω=
+++???，其中t Ω
是由曲面z =
与z = 3
()
lim t F t t +
→．
-------------------------------------
备注：①考试时间为2小时；
②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
参考解答与评分标准
2009年6月
一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21
y
-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5
二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1、解：方程两边对x 求导，得323dy
dz y z x dx dx dy dz y z x
dx
dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =-
，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在
()1,1,2-处的切向量为57
1(1,,)(8,10,7).488
T == (5)
故所求的切线方程为
1128107
x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为
()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
２、解：22
22
226z x y z x y
?=+??=--?222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22
:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为V
dv Ω
=
???22
2620
20
2(63)6d d dz d πρρ
θρπρρπ-==-=??
(7)
３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n
n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1
n n u ∞
=∑发散 (3)
又111||ln(1)ln(1)||1n
n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n
→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】
４、解：
121211
()0z f y f yf f x y y
?''''=?+?+=+?， …………………………………【3】 2111
122212222211[()][()]z x x
f y f x f f f x f x y y y y y ?''''''''''=+?+?--+?+?-??111222231.x f xyf f f y y
''''''=+--【7】 ５、解：∑
的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．
=…..………【３】
故
22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a π
ρρθρ∑
==---?????
220
12ln()2ln 2a
a a a h
πρπ?=--=????..【7】
三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M
到原点的距离为d =
【1】
令2
2
2
2
2
(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，
则由22
220
220201x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=-+=??=-+=??=++=??=+?
++=??
，解得12x y -==
，23z =．于是得到两个可能极值点
121111(
,(2222
M M -+----…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
故max
2min 1||||d OM d OM ==== (9)
四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得
22(sin )(cos )8
x x D
L OA
I e y m dx e y mx dy m d ma π
σ+=
-+-=-=-
???． (5)
而1
(sin )(cos )a
x x
OA
I e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-?? (8)
∴221(sin )(cos ).8
x x L
e y m dx e y mx dy I I ma ma π
-+-=-=-
? (10)
五、【10分】解：()1131
lim
lim 3133n n n n n n a n R a n ρ++→∞→∞===?=+，收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时，级数成为1
1
n n ∞
=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11n
n n ∞
=-∑，收敛． (4)
故该幂级数的收敛域为
[)3,3- (5)
令()13
n
n n x s x n ∞
==∑（33x -≤<），则
11111111
()()3
3331/33n n n n n x x s x x x -∞
∞-=='====
--∑∑, (||3x <) ……【8】 于是()()00
0()()ln 3ln 3ln 33x x
x dx
s x s x dx x x x '=
==--=---?
?
，（33x -≤<） (10)
六、【10分】解：取1∑为22
0(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，
有()()1
332222
22316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=
++-=++??
??? (5)
()221
12
00
62d d z dz π
ρθρρ
ρπ-=+=???
(7)
而()()221
1
33221
1
2231313
3x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==??????
(9)
2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)
七、【6分】解：()()22
24
0sin cos t
F t d d r f r r dr π
πθ?????=+?
??
??….… 【2】 ()3
224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr ππ
π???????=+????
????
(()4
2
2
028
t
t r f r dr π??
=+-????
?….… 【4】 故(
)(
3222320002()222lim
lim lim ().333
t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→??+-??
--??=== 【6】
·