数学分析(三)复习题
一、计算题
1.求二重极限y
x x a
y x x +→∞→?
?? ??
+2
11lim ;
2.求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角; 3.求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4.求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6.求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y),(x>0,y>0)的极值。 8.求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ,x 2+y=t 2,x-y=t+2,求
=t dt
du 。
10.求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ,求f 在(1,0,1)点沿方向C
=(2,-2,1)的方向导数。
12.求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14.在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点,使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值(不要求判别)。
15.设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z
y
,试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大?求出这个方向上的单
位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16. 求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21
,2
3)处沿这圆周切线方向的方向导数(设切线的倾角α
的范围为:0≤α<π)。
17. 设数量场u=
2
2
2
z
y x z ++,试求:(1)gradu ;(2)在域1 18. 求曲线x 2+y 2+z 2=4a 2,x 2+y 2=2ax 在点(a ,a ,2a)处的法平面方程。 19.求x 2+z 2=10,y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。 20. 设u=f(x,y,z),?(x 2,e y ,z)=0,y=sinx ,其中f ,?都具有一阶连续偏导数,且0≠??z ?,求 dx du 。 21.求函数u= 2 2y x z +的全微分; 22.求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。(f 具有连续的二阶偏导数) 23.设f ,g 为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求 x v x u ?????。 24.设w=f(u,v)有连续二阶偏导数,u=y x ,v=x y ,求y x w ???2。 25.设u+v=x+y , y x v u =sin sin ,求x u ??,x v ??。 26. 设u=xyf(x-2y,x 2 y),f(u,v)有二阶连续偏导数,求 2 2x u ??。 27.设x 3 -3xyz=10,求x y z ???2。 28.设x=u+v ,y=uv ,z=u 2+v 2,求z x /,z y /。 29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定,其中f 具有连续的二阶偏导数,试求y x z ???2。 30. 设u=u(x,y)。已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。 31.设z=f(sinx,cosy,e x+y ),而f(u,v,w)的二阶偏导数连续,求x z ??,22x z ??。 32. 设z=φ(xy)+ψ(y x ),求:y x z ???2。 33. 设u=yf(y x )+xg(x y ),其中函数f ,g 具有二阶连续导数,求y x u y x u x ???+??222。 34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dx dz 。 二、证明题 1. 用极限定义证明6)4(lim 221 =--→→y x y x 。 2. 用极限定义证明2)2(lim 221 0=+-→→y xy x y x 。 3. 设A ,B 是R 2中互不相交的有界闭集。求证:存在开集W ,V 满足W ?A ,V ?B ,W V=?。 4. 设G 1,G 2是R 2中两个不相交的开集。试证明:G 1 2G =?。(其中2G 表示G 2连同其边界所成集合,称其为G 2的闭包) 5. 设u=f(z),其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数,求证x u z g y u ??=??) (。 6. 证明由方程F( z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y),满足方程y z y x z x ??+??=z 。 7. 设z=f(x,y)=?? ? ??=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,) (y x y x y x y x x ,证明:(1))0,0(x f ',)0,0(y f '存在;(2)f(x,y)在(0,0)处不可微。 8. 设f(x,y)=? ?? ??=≠+) 0,0(),( 0)0,0(),( 223 y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。 9. 设z=f(x,y)=? ?? ??=≠+) 0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x y x 。证明:(1)f(x,y)在原点(0,0)连续;(2)x f ??)0,0(,y f ??)0,0(存在; (3) x y x f ??),(,y y x f ??) ,(在(0,0)不连续;(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。 10. 设10 .φ(0,1)=0;20 .φ(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微;30 .y φ(0,1)≠0。求证:存在δ>0,在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足:0)sin ,(0=?y xdx x φ,并求y / (0)。 11. 设F(u,v)处处可微,试证明曲面F(l x-mz,l y-nz)=0(其中l ,m,n 均不为0)上所有切平面与一条 固定直线平行。 12. 研究含参量积分? ∞ ++021)sin(dx x x p (p ≥0)的一致收敛性。 13. 研究函数F(α)=dx x e x ? ∞ +-0 α ,在(0,1)内的连续性。 14. 证明积分F(α)=?+∞ --0 )(2 dx e x α是参数α的连续函数。 15. 设F(y)=?+1 2 2)(dx y x x yf ,其中f(x)在[0,1]中取正值的连续函数。证明F(y)在0点不连续,在y ≠0的任一 点都连续。 16. 设f(x)在[0,+∞)可积,除+∞外只有x=0为瑕点。求证:?? +∞ +∞ -+→= 00 0)()(lim dx x f dx x f e x αα。 17. 研究函数F(α)=? -π α α π0 ) (sin dx x x x 在(0,2)内的连续性。 18. 设u(x,y)在平面区域D 上有二阶连续的偏导数。证明:u(x,y)满足 02 22 2≡??+ ??y u x u (称u(x,y)为调和函数) 的充要条件是:对D 内任一圆周C ,且C 围成的区域包含于D ,都有0=???C ds n u (其中n 是圆周C 的外法向量)。 数学分析(三)复习题参考答案 一、计算题 1.求二重极限y x x a y x x +→∞→? ?? ?? +2 11lim ; 解:原式=y x x x a y x x +→∞→?? ????? ???? ??+11lim =e 。 2.求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角; 解: 椭球面在点(-1,-2,3)处的切平面的法向量为n =(-3,-2,3),平面z=1的法向量为k =(0,0,1)。 ∴这两个平面的交角θ=arccos 22 22 3。 3.求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 解:当x= 21,y=21时,函数z=xy 在极大值4 1。 4.求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 解:在(1,2)有极小值7-10ln2。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 解:令z x =4-2x=0,z y =-4-2y=0,得x=2,y=-2,则A=z xx =-2,B=z xy =0,C=z yy =-2, AC-B 2 >0,且A<0,∴(2,-2)是原函数的极大值点,其极大值为8。 6.求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。 解:z(-1,-1)=-2与z(1,1)=-2均为极小值,z(0,0)非极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y),(x>0,y>0)的极值。 解:令z x =3x 2y 2(6-x-y)-x 3y 2=x 2y 2(18-4x-3y)=0,z y =2x 3y(6-x-y)-x 3y 2=x 3y(12-2x-3y)=0, x>0,y>0,解得稳定点(3,2)。又A=z xx |(3,2)=-144,B=z xy |(3,2)=0,C=z yy |(3,2)=-162,∴AC-B 2>0,且A<0, ∴原函数在点(3,2)取得极大值108。 8.求函数z=x 2+(y-1)2的极值。 解:当x=0和y=1时,函数z=x 2+(y-1)2有极小值0。 9. 设u(x,y)=e 3x-y ,x 2+y=t 2,x-y=t+2,求 0=t dt du 。 解: ),(),(y x G F ??=1112-x =-2x-1,),(),(y t G F ??=1112---t =2t+1,) ,(),(t x G F ??=1122--t x =-2x+2t , 且t=0时由原方程组x 2+y=t 2,x-y=t+2,可得x 2+x-2=0,解得x=1或x=-2,对应地y=-1或y=-4。 ∴0 =t dt du =2e 4或 =t dt du =22-e 。 10.求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。 解:令f(x,y,z)=z e -z+xy-3=0,则f x =y ,f y =x ,f z =z e -1, ∴在点(2,1,0)处的切平面的法向量为n =(1,2,0),故 切平面方程:x+2y-4=0;法线方程:?? ??? =-= -0 212z y x 或写成?? ?==-032z y x 。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ,求f 在(1,0,1)点沿方向C =(2,-2,1)的方向导数。 解: gradf|(1,0,1)=(1+z,2y,x)|(1,0,1)=(2,0,1),=0C (32,-32,31),∴)1,0,1(C f ??=35 。 12.求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 解:1398)2,1,5(=??l u 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。 解:在点M ,P 处的梯度之夹角为直角。 14.在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点,使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值(不要求判别)。 解:设椭球面上点(a,b,c)为所求,则gradf(a,b,c)=(2a,2b,2c),由题设(a,b,c)=λAB =λ(1,-1,0), 其中λ>0,∴a=λ,b=-λ,c=0,代入椭球面方程得:4λ2=1,?λ= 21,∴点(21,-21,0)为所求,且函数f 在点(21,-2 1 ,0)沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值|gradf( 21,-2 1 ,0)|=2。 15.设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+ 2 z y ,试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大?求出这个方向上的单 位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。 解: gradf(0,2,1)=(-ysin(2xy),-xsin(2xy)+ 2 1z ,- 3 2z y )|(0,2,1)=(0,1,-4), ∴函数f 在点(0,2,1)处沿l =(0,1,-4)方向的变化率最大,这个方向上的单位向量为e =(0, 1717,-17 174),最大变化率为|gradf(0,2,1)|=17。 16. 求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21 ,23)处沿这圆周切线方向的方向导数(设切线的倾角α 的范围为:0≤α<π)。 解:设a= 21,b=2 3 , 23 ),(- =??b a x z ,21),(= ??b a y z ,又tg α=331) ,(= -b a y x ,∴α=6π,由此可得cos α=2 3 ,cos β= 21 ,∴方向导数=-2 1。 17. 设数量场u=2 2 2 z y x z ++,试求:(1)gradu ;(2)在域1 解:(1)gradu= 3 1r [-xz i -yz j +(x 2+y 2)k ]。其中r= 2 2 2 1z y x ++。 (2) |gradu|≥0,当x=y=0时,有|gradu|=0,∴inf|gradu|=0,又令22y x +=p ,(p ≥0) 有|gradu|= 2 2z p p +≤ z z 21 ||21= ,而1 2) 2,,() 2,,(240 222) ,(),(a y z y z y G F a a a a a a -== ??, 022022) ,(),() 2,,() 2,,(=-= ??a a a a a a a x x z x z G F , 2) 2,,() 2,,(422222) ,(),(a y a x y x y x G F a a a a a a =-= ??。 则曲线在点(a,a,2a)处的法平面方程为:-42a 2(x-a)+4a 2(z-2a)=0,即2x-z=0。 19.求x 2+z 2=10,y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。 解: 1 3 3131--= -=-z y x 。 20. 设u=f(x,y,z),?(x 2,e y ,z)=0,y=sinx ,其中f ,?都具有一阶连续偏导数,且0≠??z ?,求 dx du 。 解:dx du =dx dz z f dx dy y f x f ???+???+??,x dx dy cos =, )cos 2(1213???'+''-=x e x dx dz y , 故 )cos 2(1cos 2sin 1 3 ???'?+''???-??+??=x e x z f x y f x f dx du x 。 21.求函数u=2 2 y x z +的全微分; 解:du=2 22)(2y x xz +- dx+2 22)(2y x yz +-dy+ 2 21y x +dz 。 22.求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。(f 具有连续的二阶偏导数) 解:u x =f /1+3f /2,u xy =2f //11-5f //12+3(2f //21-5f //22)=2f //11+f //12-15f //22。 23.设f ,g 为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求x v x u ?????。 解: x v x u ?????=(f 1/+yf 2/)g / (x+xy)(1+y)。 24.设w=f(u,v)有连续二阶偏导数,u=y x ,v=x y ,求y x w ???2。 解:x w ??=f u ?y 1+f v ?(-2x y ),y x w ???2=3y x -f uu +xy 2f uv -3x y f vv -21y f u -21x f v 。 25.设u+v=x+y , y x v u =sin sin ,求x u ??,x v ??。 解:原方程写为???=+=+v x u y y x v u sin sin ,方程两端分别对x 求偏导数,得:??? ??????? +=???=??+??x v v x v x u u y x v x u cos sin cos 1, 解此方程组得: u y v x v x v x u cos cos cos sin ++=??,u y v x u y v x v cos cos cos sin +-=??。 26. 设u=xyf(x-2y,x 2 y),f(u,v)有二阶连续偏导数,求 2 2x u ??。 解:x u ??=yf+xy(f 1/+2xyf 2/ ),22x u ??=2y(f 1/+2xyf 2/)+xy[f 11//+2xyf 12//+2yf 2/+2xy(f 21//+2xyf 22//)], 整理后得: 2 2x u ??=xyf 11//+4x 2y 2f 12//+4x 3y 3f 22//+2yf 1/+6xy 2f 2/。 27.设x 3 -3xyz=10,求x y z ???2。 解:=---=??xy xz y z 33-y z ,xy yz x xy yz x x z -=---=??22333,x z y x y z ??-=???12=2 2 xy x yz -。 28.设x=u+v ,y=uv ,z=u 2+v 2,求z x /,z y /。 解:由z=u 2+v 2得: x v v x u u x v v z x u u z x z ??+??=????+????=??22,又对x=u+v ,y=uv 两端分别对x 求偏导数。 ? ? ?'+'='+'=x x x x v u u v v u 01,解得u x =v u u -,v x =v u v --,故z x /=v u u -2 2-v u v -22=2(u+v)。 同理可得,u y /= v u --1,v y /=v u -1,故z y /=-v u u -2+v u v -2=-2。 29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定,其中f 具有连续的二阶偏导数,试求y x z ???2。 解:令F(x,y,z)=z-f(x+y+z)=0,由隐函数求导公式, z x =- =z x F F -f f '-'-1=-1+f '-11 ,z y =-f F F z y '-+-=111,∴z xy = 3 2) 1()1()1(f f f y z f '-''= '-??+ ?''。 30. 设u=u(x,y)。已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。 解: ??? -++ -= --+-+x y y x dx y xy x dy y dy y xy x dx y xy x 022 2),() 0,0(2222)2()()2()2( =-31y 3+3 1 x 3+x 2y-xy 2, ∴u(x,y)=31x 3+x 2y-xy 2-3 1y 3 +C ,其中C 为任意常数。 31.设z=f(sinx,cosy,e x+y ),而f(u,v,w)的二阶偏导数连续,求x z ??,22x z ??。 解:x z ??=cosx ?f 1/+y x e +f 3/;22x z ??=cos 2x ?f 11//+2y x e +cosx ?f 13//+)(2y x e +f 33//-sinx ?f 1/+y x e +f 3/。 32. 设z=φ(xy)+ψ(y x ),求:y x z ???2。 解:x z ??=y φ/(xy)+y 1ψ/(y x ),y x z ???2=φ/(xy)+xy φ//(xy)-21y ψ/(y x )-3y x ψ// (y x )。 33. 设u=yf(y x )+xg(x y ),其中函数f ,g 具有二阶连续导数,求y x u y x u x ???+??222。 解:22x u ??=-)()(12x y g x y y x f y ''+'',y x u ???2=)()(22x y g x y y x f y x ''-''-,y x u y x u x ???+??222=0。 34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 dx dz 。 解:??? ????=++'++=0)1(dx dz F dx dy F F f dx dy x f dx dz z y x ,由此解得:z y x y F f x F F f x F f x f dx dz '+'-'+=)(。 二、证明题 1. 用极限定义证明6)4(lim 22 1 =--→→y x y x 。 证:?ε>0,设|x-1|<1,则0 ∴要使|4x 2-y-6|=|4x 2 -4-y-2|≤4|x+1||x-1|+|y+2|<12|x-1|+|y+2|<ε, 只要取δ=min{1, 13 ε},当|x-1|<δ,|y+2|<δ,且(x,y)≠(1,-2)时,恒有|4x 2-y-6|≤13δ<ε成立, 由极限的定义,故6)4(lim 22 1=--→→y x y x 。 2. 用极限定义证明2)2(lim 221 0=+-→→y xy x y x 。 证:?ε>0,设|x|<1,|y-1|<1,则0 ∴要使|x 2-xy+2y 2-2|=|x(x-y)+2(y 2 -1)|≤|x||x-y|+2|y+1||y-1||<3|x|+6|y-1|<ε, 只要取δ=min{1, 9 ε },当|x|<δ,|y-1|<δ,且(x,y)≠(0,1)时,恒有|x 2-xy+2y 2-2|≤9δ<ε成立, 由极限的定义,故2)2(lim 221 0=+-→→y xy x y x 。 3. 设A ,B 是R 2中互不相交的有界闭集。求证:存在开集W ,V 满足W ?A ,V ?B ,W V=?。 证:设d=B Q A P ∈∈,inf {ρ(P,Q)},ρ(P,Q)表示P 、Q 两点间的距离。则d ≠0。 否则,若d=0,由下确界的定义,?ε>0,?点P ∈A ,点Q ∈B ,使ρ(P ,Q )<ε。 现依次取ε= n 1(n=1,2,…),可得点列{P n }?A ,点列{Q n }?B ,使得ρ(P n ,Q n ) 1。 由于A 是有界集,所以{P n }是有界点列,于是从中必可选出收敛的子列{k n P },设k n P →P 0(k →∞), ρ(P n ,Q n )→0(n →∞),∴相应地取{Q n }的子列k n Q ,亦满足k n Q →P 0(k →∞)。 ∴P 0既是A 的聚点,又是B 的聚点。 又A 、B 都是闭集,∴P 0∈A B ,与A 、B 互不相交矛盾。故d ≠0。 现令W= A P d P U ∈)3 ,(,V= B Q d Q U ∈)3,(,其中U(P,3d )表示点P 的3d 邻域。 则W ,V 即为满足题设条件的开集W 、V 。 4. 设G 1,G 2是R 2中两个不相交的开集。试证明:G 1 2=?。(其中2表示G 2连同其边界所成集合,称其为G 2的闭包) 证:假设G 1 2≠?,则存在点P ∈G 1 2,∴点P ∈G 1且P ∈2, G 1 G 2=?,∴P ∈?G 2,又G 1是开集,所以存在P 的某个邻域U(P)?G 1,又P ∈?G 2,由边界点的定义知,在P 的任何邻域内都至少存在G 2中的一个点。于是在U(P)中至少存在G 2中的一个点,这与G 1,G 2不相交矛盾。故G 1 2G =?。 5. 设u=f(z),其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数,求证 x u z g y u ??=??) (。 证: )(1)()()(1)()()(z g y z f z g z g y z g z f y z z f y u '-'=??????'---'=??'=??,g(z)?? ????'-'--=??)(1)()(z g y z f z g x u =)(1)()(z g y z f z g '-', 故 x u z g y u ??=??) (。 6. 证明由方程F( z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y),满足方程y z y x z x ??+??=z 。 证: F x =F 1?z 1,F y =F 2?z 1,F z =-21 z (F 1?x+F 2?y),∴211yF xF zF F F x z z x +=-=??,2 12yF xF zF F F y z z y +=-=??。 ∴z yF xF yzF xzF y z y x z x =++=??+??2 12 1。 7. 设z=f(x,y)=?? ? ??=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,) (y x y x y x y x x ,证明:(1))0,0(x f ',)0,0(y f '存在;(2)f(x,y)在(0,0)处不可微。 证:(1) f(x,0)=x ,f(0,y)=0,∴)0,0(x f '=1,)0,0(y f '=0。 (2) 2 2 ) 0,0(),(2 2 ) 0,0(),()(2lim ) (lim y x y x xy y x x y x y x x y x y x ++-= +-+-→→,在该极限中,取y=kx ,x →0+得其极限为 2 1)1(2k k k ++-与 k 有关,∴该二重极限不存在,故f(x,y)在(0,0)处不可微。 8. 设f(x,y)=? ?? ??=≠+) 0,0(),( 0)0,0(),( 223 y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。 解: f x (0,0)=1,f y (0,0)=0, 232222 2 2 23 ] )()[()() ()()()()(y x y x y x x y x x y B x A f ?+ ???-= ?+??-?+??= ?-?-?ρ , 取?y=k ?x ,并令?x →0,可得ρ y B x A f ?-?-?→- 2322) 1(k k + ,∴ ) 0,0(),(lim →??y x ρ y B x A f ?-?-?不存在, 故f(x,y)在(0,0)不可微。 9. 设z=f(x,y)=? ?? ??=≠+) 0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x y x 。证明:(1)f(x,y)在原点(0,0)连续;(2)x f ??)0,0(,y f ??)0,0(存在; (3) x y x f ??),(,y y x f ??) ,(在(0,0)不连续;(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。 证:(1) ||2 2 2x y x y x ≤+,∴ 2 2 2) 0,0(),(lim y x y x y x +→=0=f(0,0),∴f(x,y)在原点(0,0)连续。 (2) f x (0,0)=f y (0,0)=0,∴ x f ??)0,0(,y f ??) 0,0(存在。 (3) x y x f ??),(=2223)(2y x xy +,y y x f ??),(=222222)()(y x y x x +-。又2 23 22230)1(2)(2lim k k y x xy kx y x += +=→, 2 222 22 2220 ) 1(1) ()(lim k k y x y x x kx y x +-= +-=→, ∴ x y x f y x ??→) ,(lim )0,0(),(与y y x f y x ??→),(lim )0,0(),(都不存在,故x y x f ??),(,y y x f ??),(在(0,0)不连续。 (4) f x (0,0)=f y (0,0)=0,又取?y=k(?x),且?x →0时, 23 2222 2 2 22] )()[()() ()(00)()()(y x y x y x y x y x y x ?+ ???= ?+??-?-?+???的极限为 232) 1(k k + , ∴ ρ y B x A f y x ?-?-?→??) 0,0(),(lim 不存在,故f(x,y)在点(0,0)不可微。 10. 设10 .φ(0,1)=0;20 .φ(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微;30 .y φ(0,1)≠0。求证:存在δ>0,在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足:0)sin ,(0=?y xdx x φ,并求y / (0)。 证: 令F(x,y)=)sin ,(0 ? y xdx x φ,由条件30 , 2 sin )sin ,0(20 2)2 ,0(π φπ π ?=???xdx y F =)1,0(y φ≠0,且φ(x,y)在点(0,1) 的邻域内连续可微,由隐函数存在定理,存在δ>0,在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x),满足)sin ,(0 ?y xdx x φ=0, 且y /(0)=- ) 1,0() 1,0(y x φφ。 11. 设F(u,v)处处可微,试证明曲面F(l x-mz,l y-nz)=0(其中l ,m,n 均不为0)上所有切平面与一条 固定直线平行。 证: 曲面F(l x-mz,l y-nz)=0上切平面的法向量n =(l F 1/,l F 2/,-mF 1/-nF 2/),取定向量α =(m,n,l ), 则n ?α =0,即n ⊥α ,故曲面F(l x-mz,l y-nz)=0(其中l ,m,n 均不为0)上所有切平面与一条方向向量为α =(m,n,l )的直线平行。 12. 研究含参量积分?∞ ++0 21)sin(dx x x p (p ≥0)的一致收敛性。 解: ? +∞0 2)sin(dx x =?1 2)sin(dx x +? +∞ 1 2)sin(dx x =I+J ,其中I 是正常积分,J 可令t=x 2 ,得J=? +∞ 1 2sin dt t t , 由狄利克雷判别法,J 收敛,∴?+∞ 2)sin(dx x 关于p ≥0一致收敛。 又当p ≥0时,对固定的p ,函数 p x +11随x 单调且 111≤+p x 一致有界, 由阿贝耳判别法,故原含参量积分?∞ ++0 21)sin(dx x x p 在p ≥0上一致收敛。 13. 研究函数F(α)=dx x e x ?∞ +-0 α ,在(0,1)内的连续性。 解:F(α)=dx x e x ? ∞ +-0 α =dx x e x ? -10 α +dx x e x ? ∞ +-1 α =I(α)+J(α),