湖北省宜昌市2020-2021学年夷陵中学高二年级第一学期12月4日周五检测数学试卷
2020年夷陵中学高二年级周五检测
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共40分）
1.已知θ为直线y=3x?5的倾斜角，若A(cosθ,sinθ)，B(2cosθ+sinθ,5cosθ?
sinθ)，则直线AB的斜率为()
A. 3
B. ?4
C. 1
3D. ?1
4
2.“k=1”是“直线x?y+k=0与圆x2+y2=1相交”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.设椭圆C:x2
4
+y2=1的左焦点为F，直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是()
A. 2
B. 2√3
C. 4
D. 4√3
4．已知直线l1:(3+m)x+4y=5?3m,l2:2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为()
A. ?7
B. ?1
C. ?7或?1
D. 13
3
5．唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从A(2,0)出发，河岸线所在直线方程x+y?4=0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()
A. √10
B. 2√5?1
C. 2√5
D. √10?1
6. 如图，已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)，斜率为?1的直线与椭圆
C相交于A，B两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的
斜率为1
3
，则椭圆的离心率为()
A. √3
3B. √6
3
C. √3
2
D. 2
3
7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与
两定点Q、P的距离之比|MQ|
|MP|
=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上
一点，P(?1
2
,0)且λ=2，若点B(1,1)，则2|MP|+|MB|的最小值为()
A. √6
B. √7
C. √10
D. √11
8．已知F1为椭圆C:x2
a +y2
b
=1(a>b>0)的左焦点，直线l过椭圆的中心且与椭圆交
于A，B两点．若以AB为直径的圆过F1，且π
12≤∠F1AB≤π
4
，则椭圆C的离心率
的取值范围是()
A. [√2
2,√6
3
] B. [√2
2
,1) C. (0,2
3
] D. [1
2
,2
3
]
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9．已知双曲线C：x2
3?y2
m
=1过点（3，√2），则下列结论正确的是（）
A、C的焦距为4
B、C的离心率为√3
C、C的渐近线方程为y=±√3
3
x D、直线2x?√3y?1=0与C有两个交点
10. 已知圆O：x2+y2=4,直线l:x+y=m，若圆O上恰有n个的点到直线l的距离为1，则下列结论正确的有（）
A、n=1时，m=3√2 ；
B、n=2时，√2 C、n=3时，m=√2或m=?√2； D、n=4时,?√2 11．已知椭圆C:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)，四点P1(1,1),P2(0,1),P3(?1,√3 2 ),P4(1,√3 2 )中恰 有三点在椭圆C上，F1 、F2为左右焦点．则（） A、点P1在椭圆C上， B、椭圆C的离心率e=√3 2 ， C、以F1P4为直径的圆与以椭圆C长轴为直径的圆内切， D、M、N为椭圆上关于原点对称的两点，则直线P2M、P2N斜率之积为定值1 4 ； 12、瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。已知ΔABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标可以是（） A、（2，0） B、（0，2） C、（0，-2） D、（-2，0） 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.已知直线l ：ax +y +2?a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________． 14.如果圆(x ?a)2+(y ?1)2=1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是______． 15.已知方程mx 2+(m ?4)y 2=2m +2表示焦点在x 轴上的双曲线，该双曲线与椭圆 x 28 + y 22 =1有共同的焦点，求该双曲线的渐近线方程为________________; 16. F 1，F 2是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点，e 1，e 2分别为曲线C 1，C 2的离心率，P 为曲线C 1，C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2=π 3，且e 2∈[√3,2]，则e 1的取值范围______． 三、 解答题（本大题共6小题，共70分） 17．已知圆E 经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个_______ ① 过点C(2,0)．②圆E 恒被直线mx ?y ?m =0(m?R )平分，③与y 轴相切， （1）求圆E 的方程； （2）过点P(3,0)的直线L 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 18.已知双曲线的渐近线方程为y =±4 3x ，并且焦点都在圆x 2+y 2=100上，求双曲线方程． 19．设中心在坐标原点的椭圆E 与双曲线2x 2?2y 2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数． (1)求椭圆E 的方程； (2)过点A(2,0)的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，若AP ????? =12PQ ????? ，求直线l 的方程． 20．已知椭圆C: x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32 ，且经过点E (√3,1 2)，直线l 过点M (1,0)，交椭圆C 于A ，B 两点，设S △AOB =λS △AOD (λ∈R)． (1)求椭圆C 的方程； (2)求λ的取值范围． 21．已知双曲线C的中心的坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=√5 2 ，虚轴长为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A、B两点(A,B均异于左、右顶点)，且 以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点． 22．已知双曲线C：x2 a2?y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 3，直线y=2与C的两个交点间的距离为√6． (1)求a，b； (2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． 2020年夷陵中学高二年级周五检测 数学试卷 一、 选择题（本大题共8小题，共40分） DACA BBCA 二、 多选题（本大题共4小题，共20分） 9.AC 10.BCD 11.BC 12.AC 三、 填空题（本大题共4小题，共20分） 13．1或2 14. (?2√2,0)∪(0,2√2) 15. y =±x ，或y =±√5 5x 16. [√33 , 2√13 13 ] 四、 解答题（本大题共6小题，共70分） 17．解：(1)选①设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，(D 2+E 2?4F >0)， 由题意可得{F =02+D +E +F =04+2D +F =0，解得{D =2 E =0 F =0， 则圆E 的方程为x 2+y 2?2x =0即(x ?1)2+y 2=1； 选②，选③均得：圆E 的方程为(x ?1)2+y 2=1； （2）由EM ⊥AB 知：点M 的轨迹为以EP 为直径的圆落在圆E 内的一段圆弧，其方程为(x ?2)2+y 2=1(x <3 2) 18.解：当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为 x 2 a 2 ?y 2 b 2=1(a >0,b >0)． 由渐近线方程y =±4 3x 得b a =4 3.①又焦点在圆x 2+y 2=100上，知c =10，即a 2+b 2=100.② 由①②解得a =6，b =8.∴所求双曲线方程为 x 2 36 ?y 2 64=1． 当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2 a 2?x 2 b 2=1(a >0,b >0)，则{a 2+b 2=100 a b =43，即 {a =8b =6 ， ∴所求双曲线方程为y 264?x 2 36=1． 综上，所求双曲线方程为 x 236 ? y 264 =1，或 y 264 ? x 236 =1． 19． 解：(1)由题意得，椭圆E 的焦点为(±1,0)，离心率为√2 2 ， 椭圆E 的标准方程为 x 22 +y 2=1． (2) 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)， 因为AP →=12 PQ → ，则{x 2=3x 1?4y 2=3y 1，(x 1,y 1),(x 2,y 2)满足椭圆方程， 即{x 1 22 +y 12 =1 (3x 1?4)22+(3y 1)2=1，解得{x 1=4 3|y 1|=13、{x 2=0|y 2|=1且y 1y 2>0， 直线l 的方程为x ±2y =0． 20．解：(1)椭圆C ： x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >0,b >0)的离心率为√3 2 ，且经过点E(√3,1 2)， 可得：{ c a =√3 2 a 2= b 2+ c 23a 2 +1 4b 2=1，解得a =2，b =1，c =√3， 可得椭圆方程为 x 24 +y 2=1； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵S △AOB =λS △AOD, ∴1 2|y 1?y 2|=λ|y 1|，∴λ=12 |y 1?y 2| |y 1| =1 2 |1? y 2y 1 |， 设直线AB 的方程为x =my +1与椭圆方程联立可得(m 2+4)x 2+2my ?3=0， 则y 1+y 2=?2m m 2+4，y 1y 2=?3 m 2+4， 令y 2 y 1=t(t <0)，∴t +1t +2=y 2y 1 +y 1y 2 +2=(y 1+y 2)2y 1y 2 =?4m 2 3(m +4)>?4 3 ， ∴t +1t >? 103 (t <0)，∴3t 2+10t +3<0，∴?3 2 |1?t|∈ (2 3,2)． 21．解：(1)由题设双曲线的标准方程为 x 2 a 2 ?y 2 b 2=1(a >0,b >0)， 由已知得：c a =√5 2 ，2b =2，又a 2+b 2=c 2，解得a =2，b =1， ∴双曲线的标准方程为 x 24 ?y 2=1． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 2 4 ?y 2=1 ， 得(1?4k 2)x 2?8mkx ?4(m 2+1)=0， 有{ 1?4k 2>0 △=64m 2k 2+16(1?4k 2)(1+m 2 )>0x 1+x 2=8mk 1?4k 2>0x 1x 2=?4(1+m 2)1?4k 2 <0， y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=m 2?4k 21?4k 2 ， 以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D(?2,0)， ∴k AD k BD =?1，即y 1 x 1 +2?y 2 x 2+2 =?1，∴y 1y 2+x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=0， ∴ m 2?4k 21?4k 2 + ?4(m 2+1)1?4k 2 + 16mk 1?4k 2 +4=0，∴3m 2?16mk +20k 2=0解得m =2k 或m = 10k 3 ． 当m =2k 时，l 的方程为y =k(x +2)，直线过定点(?2,0)，过双曲线的左顶点，与已知矛盾； 当m = 10k 3 时，l 的方程为y =k(x + 10 3 )，直线过定点(?103 ,0)，经检验符合已知条件． 故直线l 过定点，定点坐标为(? 103 ,0)． 22．解：(1)由题设知c a =3，即 a 2+ b 2a 2 =9，故b 2=8a 2， 所以C 的方程为8x 2?y 2=8a 2，将y =2代入上式，并求得x =±√a 2+1 2 ， 由题设知，2 √a 2+1 2 =√6，解得a 2=1，所以a =1，b =2√2； (2)由(1)知，F 1(?3,0)，F 2(3,0)， C 的方程为8x 2?y 2=8，① 由题意可设l 的方程为y =k(x ?3)，|k|<2√2，代入①并化简得 (k 2?8)x 2?6k 2x +9k 2+8=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1≤?1，x 2≥1，x 1+x 2=6k 2 k 2?8 ，x 1·x 2= 9k 2+8k 2?8 ， 于是|AF 1|=√(x 1+3)2+y 12=√(x 1+3)2+8x 12?8=?(3x 1+1)， |BF 1|=√(x 2+3)2+y 22=√(x 2+3)2+8x 22 ?8=3x 2+1， 由|AF 1|=|BF 1|，得?(3x 1+1)=3x 2+1，即x 1+x 2=?2 3， 故 6k 2 k ?8 =?2 3，解得k 2=4 5，从而x 1·x 2=?19 9， 由于|AF 2|=√(x 1?3)2+y 12=√(x 1?3)2+8x 12?8=1?3x 1，|BF 2|=√(x 2?3)2+y 22=√(x 2?3)2+8x 22?8=3x 2?1， 故|AB|=|AF 2|?|BF 2|=2?3(x 1+x 2)=4， |AF 2|·|BF 2|=3(x 1+x 2)?9x 1x 2?1=16，因而|AF 2|·|BF 2|=|AB|2， 所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．