当前位置：文档库 › 复合函数的单调性

复合函数的单调性

函数的值域与函数的单调性

我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容．

通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．

[知识要点]

一．函数的值域

求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．

二．函数的单调性 1．定义

如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数．如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．

注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．

2．函数单调性的运算规律

在共同的定义域上，设“f 型”是增函数，“g 型”是减函数，则：（1）f 1(x)+f 2(x)是增函数；（2）g 1(x)+g 2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数．

[典型例题]

一．函数值域的求法（一）配方法

例1．

的值域求函数2234x x y -+-=

解：

4244)1(4224)1(044)1(04)1(42222≤≤∴≤+---≤∴≤+--≤∴≤+--≤+---=y x x x x y 值域

例2 求函数 y=2x+2-3×4 x (-1≤x ≤0) 的值域解 y=2x+2-3·4x =4·2x -3·22x 令 2x =t 12

1≤≤∴≤≤-t x 3

11,34

)32(3]949434[343m i n m a x 222≤

≤∴==∴+

--=-+--=+-=y y y t t t t t y

例3．

的值域求函数x x y -+-=

解：

530503≤≤?

??≥-≥-x x x 得由

∴函数定义域为[3,5]

2042)4(122)5)(3(2222

2≤≤∴>≤≤∴--+=--+=y y y x x x y 又

]2,2[函数的值域为∴

例4．若实数x 、y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的值域解：∵4y 2=4x-x 2≥0

∴x 2-4x ≤0，即0≤x ≤4

)32(4343442222

-+=+=-+

=+=∴x x x x x x y x S ∴当x=4时，S max =16

当x=0时，S min =0 ∴值域0≤S ≤16

例5．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值．分析：

)(a

x x f y -

==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．

解：

43)2()(2

2a a x x f y -++==

4)1(212

)1(min =∴-=-=-=>-<-

a a f y a a

时，，即当 )

(62343)2(22121)2(2

min 舍得，时，，即当±=-=-=-=≤≤-≤-≤-a a a f y a a

4)1(212

)3(m i n -=∴-=+==-<>-

a a f y a a

时，即，当综合（1）（2）（3）可得：a=±7 （二）判别式法

例6．

的值域求函数3

221

22+-+-=x x x x y

解由已知得 (2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)

(*)21012)1(≠

∴≠-==-y y y 式：，代入，则若

（2）若2y-1≠0，则∵x ∈R

∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0 即 (2y-1)(10y-3)≤0

1032

1103<

≤∴≤≤∴

y y 值域

例7．

的值域求函数6

422-+++=x x x x y

解由已知得 (y-1)x 2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*) ① 若y=1，代入（*）式-3x-9=0

∴x=-3，此时原函数分母x 2+x-6的值为0 ∴y ≠1

② 若y ≠1，则∵x ∈R

∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0 化简可得(5y-2)2≥0，则y ∈R

(*)5

≠≠∴≠

∴-==y y y x y 且值域式得时，代入但当

说明：

分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如f

ex dx c

bx ax y ++++=22

m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，但需注意两点：（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式；（2）在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到．（三）换元法

例8．

的值域求函数2341812322--+-=x x x x y

解：

044)2(44)3(3231834423418)4(3222

22222≤≤≤+--=-+--=-+-=∴=-=---+--=t x x x t t t y t x x t x x x x x x y ，知由，则令

∴y max =1，y min =-23

∴原函数值域 -23≤y ≤1 例9．

的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]9

,83[)(x f x f x g y x f -+==

解：

]

7,97[872197

31]21,31[11)1(21)1(21)

1(2

)()2131()(2121

)(21314

1)(219194)(83max min 222∈∴=

=∴?+--=+-=∴-=≤≤=-≤-≤∴≤-≤∴≤≤y y t y t t t t y t x f t t x f x f x f x f 时，当时，当，而，则令

（四）利用函数的单调性

例10．

的值域求函数12++=x x y

解：

均在定义域内单调递增，1221+==x y x y

)1(111212min -≥∴-=-=∴-≥++=++=∴y x y x x x y x x y 原函数值域时当的定义域是而调递增在公共定义域范围内单

例11．

的值域，求函数已知x x y x --+=∈122]1,0[

解：在定义域范围内单

增，在定义域范围内单调递x y x y -=+=12221 调递减

12)1(202)0(12]1,0[122m a x m i n ≤≤-∴==-==-=∴∈--+=∴y x y x y x x x y 原函数值域时当时当内单调递增

在

说明在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f 型”是增函数，“g 型”是减函数，则（1）f 1(x)+f 2(x)是增函数；（2）g 1(x)+g 2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“x ”、“÷”时，则不具有这种规律．（五）基本不等式法

这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域．

)()3

(,3)2(),()2

(

,2)1(3

时取等号均为正数，当且仅当

、、这里时取等号为正数，当且仅当这里c b a c b a c b a abc abc c b a b a b a b a ab ab b a ==++≤≥++=+≤≥+ ||||||||||||)3(212121z z z z z z +≤±≤-

例12．

的值域求函数1232

2-+=

x x

y 解：

}162|{2

2623231

62123

62232234

242222222

2-≥∴±

=∴===-≥-+=∴=?≥+y y x x x x x

x x y x x

x x 值域是有得得又由由

例13．

的值域求函数21||x x y -=

解：

2212

21)1(max 22222

=±

=-=∴=

-+≤-=y x x x x x x x y 时，，即当且仅当

∵y ≥0

0[函数的值域是∴

例14．

的值域求函数2222)(x a a x a y -+++=

解：

|5|2|||||||)()(,21212

21a ai a z z z z x a a x a y i

x a a z xi a z =+=+≥+=-+++=-+=+=则令

又y 是x 的连续函数

],||5[∞+∈∴a y

（六）利用原函数的反函数

如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域．例15．

的值域求函数x

x x

x y --+-=10

101010 解 y ·10x +y ·10-x =10x -10-x 即y ·102x +y=102x -1 ∴1+y=(1-y)·102x

1110

1010101

1111lg

2111lg

2<<-+-=<<-∴>-+-+=-+=∴--y y y y

y x y y x x

x x

x 的值域是即原函数定义域即

（七）利用已知函数的值域例16．

的值域求函数x

y cos 3sin 1++=

解利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycosx-sinx=1-3y

]

,0[4

301

|131|

1|)s i n (|131)s i n (,t a n 31)s i n 11c o s 1(

2所以函数的值域为解得：，所以因为令即≤

≤≤+-≤-+-=

-=-=+-

++y y

y x y y x y y

x y

y y ???

（八）图象法

例17．

的值域求2)2(|1|-++=x x y

解：

??>-≤≤--<+-=-++=)2(12)21(3)

1(12|2||1|x x x x x x x y 由图象知：值域为y ≥3

（九）利用导数求值域

此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了．二．函数的单调性

（一）函数单调性的判定 1．利用已知函数的单调性

例1 若y=(2k+1)x+b 是R 上的减函数，则有（）

)(2

1)(21)(21)(-

k D k C k B k A 解：选D

说明：函数y=kx+b ，当k>0时是增函数；k=0时是常函数；k<0时是减函数．例2．

的单调递；函数的单调递减区间是函数x

y x y +==

11______________1减区间是__________________．

解：

的单调递；函数和的单调递减区间是函数x

y x y +=∞+-∞=

11),0()0,(1减区间是（-∞,-1）和（-1,+∞）．

说明：函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“∪”连

的单调递减区间求得，利用设为的单调递减区间可将函数接t y t x x y 1

,111.=++=

.11

得到的图象，从图象上观察也可画出x y +=

例3 函数f(x)=4x 2-mx+5，当x ∈(-2,+∞)时是增函数，则m 的取值范围是_________；当x ∈(-2,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,-2)时是减函数，则f(1)=________________.

解：

),2(54)(2-≤∴-≤--+∞-∈+-=m m

x mx x x f 时是增函数，则当若 2

)2,(),2()(-=----∞∈+∞-∈m

x x x f 则时是减函数，

时是增函数，当当若 ∴m=-16

∴f(1)=4+16+5=25

2．利用定义判定或证明函数的单调性

例4 根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x 3+1在R 上是减函数．证明在（-∞,+∞）上任取x 1、x 2，且x 1

当x 1x 2<0时，有x 12+x 1x 2+x 22=(x 1+x 2)2-x 1x 2>0 当x 1x 2≥0时，有x 12+x 1x 2+x 22>0 ∴f(x 2)-f(x 1)=(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)<0 即f(x 2)

所以函数f(x)=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数说明

)(]4

3)21[()()()()1(22

12122112x f x x x x x x f x f 来判断变形为本题也可将++

?---f(x 1)的符号；同学们也不妨应用导数的知识来解决本题．

（2）用定义证明或判断函数的单调性，要注意步骤清晰，讨论严密．

例5．

的最小值

试求上的单调性在区间讨论13

)2(),0(1

)()1(+++=+∞+

=x x y x

x x f

解（1）i ）设x 1，x 2∈（0，1]，且x 1

)11)(()11()()1()1()()(2

1212

121221121x x x x x x x x x x x x x f x f -

-=-+-=+-+

=-则

∵x 1-x 2<0, 00 即f(x 1)>f(x 2) 上是减函数在]1,0(1

)(x

x x f +

=∴ ii ）设x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1

,0)11)(()()(2121212121><---=-x x x x x x x x x f x f 则

上是增函数

在),1[1

)()

()(0)1

1)((01

1212

1+∞+=∴<∴<-

-∴>-

∴x

x x f x f x f x x x x x x

13)2(>+-++

+=x x x y

∴由(1)中讨论可知y 当x ≥0时单调递增，当x=0时，3

42313=-+=y ∴当x=0时，y 有最小值.3

说明

(2)中函数最值不能用基本不等式求，因为不存在使3

13+=

+x x 的x ；同理可证：

.)0,1[;]1,(1

时单调递减在时单调递增在-∈--∞∈+=x x x

x y

3．利用图象讨论函数的单调性

例6 作函数f(x)=|x 2-1|+x 的图象，并根据图象讨论函数的单调性．解

???

?<<-+--=++--≤≥-+=-+=+-=1

145)21(11

1,45)21(1|1|2222

x x x x x x x x x x x y 或

由图象，

上单调递增在上单调递减，、在),1[],2

1,1(,]121[]1,()(+∞---∞x f （二）复合函数的单调性

例7．

.322的单调区间求函数+--=x x y

解 ∵-x 2-2x+3≥0 ∴x 2+2x-3≤0 ∴(x-1)(x+3)≤0 ∴-3≤x ≤1 32,2+--==

x x u u y 设

则当x ∈[-3,-1]时，u=-x 2-2x+3单调递增当x ∈[-1,1]时，u=-x 2-2x+3单调递减

]1,1[,32]1,3[02

是它的单调递减区间的单调递增区间是时单调递增

当又-+--=--∴≥=x x y u u y

例8．

.log log 3

1的单调区间求函数x x y +=

解：

),3[,.

log log ]3,0(,0log ,41

)21(,30,21log ,2141

)21(log 41

)21(log 3

13123123

123

1是函数的单调递增区间同理的单调递减区间是时单调递减当而单调递增时即当则设+∞+=∴>=-+=≤<-≥-≥-

+==-

+=x x y x x

u u y x x u u y x u x y 例9 已知f(x)=8+2x-x 2,g(x)=f(2-x 2),讨论g(x)的增减性．

解：g(x)=8+2(2-x 2)-(2-x 2)2=8+4-2x 2-4+4x 2-x 4=-x 4+2x 2+8=-(x 2-1)2+9 g’(x)=-4x 3+4x=-4x(x+1)(x-1)

令 g’(x)>0，得 x ≤-1 或 0≤x ≤1 令 g’(x)<0，得 -1≤x ≤0或x ≥1

∴g(x)的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1] g(x)的单调递减区间是[-1,0]和[1,+∞) （三）函数单调性的应用

例10．

a R a a a a a a

x f x x 上的增函数，求是且已知函数)10()(2

)(≠>--=

- 的取值范围．解：

上在时，当且仅当

上单调递增在，则若R x f a a

R a a a x x )(02

1>-∴->- 02

102<-∴-<<>-a a

R a a a a x x 当且仅当

上单调递减在，则；若单调递增，此时时，f(x)在R 上单调递增，得0

综上，a 的取值范围是a ∈(0,1)∪(2,+∞) 例11．

在

的取值范围，使函数求，其中已知函数)(,01)(2x f a a ax x x f >-+=区间[0,+∞)是单调函数．

解：

)

1)(11)

()(0212

122

1212

12121x x a x x x x x x a x x x f x f x x --+++-=

--+-+=-<≤，则设 )1

1)((2

221

121a x x x x x x -++++-=

（1）当a ≥1时， 01

111

1<-++++∴

<++++a x x x x x x x x

又x 1-x 2<0 ∴f(x 1)-f(x 2)>0 即f(x 1)>f(x 2)

所以，当a ≥1时，函数f(x)在[0，+∞)上是单调减函数．满足存在两点时，在区间当,12,0),0[10)2(2

21a

x x a -=

=+∞<< f(x 1)=1，f(x 2)=1，即f(x 1)=f(x 2)，所以函数f(x)在区间[0,+ ∞)上不是单调函数．

综上，当且仅当a ≥1时，函数f(x)在区间 (0,+ ∞]上是单调函数．例12 定义在R +上的函数f(x)满足①f(2)=1，②f(xy)=f(x)+f(y) ③当x>y 时，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)≤2，求x 的取值范围．

解 f(x)+f(x-3)=f(x 2-3x)≤2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4) 由③知 x 2-3x ≤4 ∴x 2-3x-4≤0 又∵f(x)定义域为x>0

4130433

)3(0302≤<∴??

?>≤≤-∴??

?>≤--∴>∴?

??>->->∴x x x x x x x x x x x

[练习题] 值域与最值

A 组

一．选择题

1．已知I = R ，函数y = lgx 的值域为P ，y = a x （a ＞0且a ≠1）的值域为M ，则下列等式中不正确．．．

的是（）（A ）（ I M ）∩P = φ

（B ）M ∪P = P （C ）P ∪（ I M ）= R

（D ）P ∩M = M

]

2,1[)(]

3,1[)(]

2,1[)(]2,0[)()

(1.2D C B A x x y 的值域为函数-+=

)

,0()(]1,0[)(]

1,0[)(]21,21[)()(1

.3∞+--=

D C B A x x y 的值域是函数

]

3,()()

,3[]3,()(]

0,()(]

,0[)()

()2(1)(.42--∞∞+--∞-∞∞+-≤--=D C B A x x x f 的反函数的定义域为函数

5．函数y = f(x)的值域是[-2，2]，则函数y = f (x + 1)的值域是（）

（A ）[-1，3] （B ）[-3，1] （C ）[-2，2] （D ）[-1，1] 二．填空题

6．若x + 2y = 4，x ＞0，y ＞0，则lgx + lgy 的最大值是___________

的取值

则实数有两个不同的交点与曲线已知直线m x y m x y ,1.72-=+=范围是_________

8．f (x) = ax 2 – c （a ≠0），如果-4≤f (1)≤-1，-1≤f (2)≤5，那么f (3)的取值范围是___________

_________21.10_________

sin 2sin 2.9的值域是函数的值域是函数x x y x x

y +-=-+=

三．解答题

的值域求函数x x y 41332.11-+-=

的值域

求函数的值域求函数)2

0()23()2()3(3

)1(.122<<-=>-+

=x x x y x x x y

B 组

一．选择题

1．函数y = -x 2 – 2x +3（-5≤x ≤0）的值域是（）（A ）（-∞，4] （B ）[3，12] （C ）[-12，4]

（D ）[4，12]

)(

)10()1

1(log .2的值域是且函数≠>+=a a x

y a

（A ）（-∞，+∞）

（B ）（-∞，0）∪（0，+∞）（C ）（-∞，0）

（D ）（0，+∞）

既无最大值也无最小值

最大值为

最小值为最大值为则上移动在第一象限且在直线若点)(2

)(1

)()

(

log log ,632),(.32

3D C B A y x y x y x A +=+

)(,11

9,,.4的最小值为则且

已知y x y

x R y x +=+∈+

（A ）6 （B ）12 （C ）16 （D ）24

5．函数y = x (x – 2)的定义域为[a ，b]，值域为[-1，3]，则点（a ，b ）的轨迹是右图的（A ）点H （1，3）和F （-1，1）（B ）线段EF ，GH （C ）线段EH ，FG （D ）线段EF ，EH

6．已知函数f (x) = 2x – 1，g (x) = 1 – x 2，构造函数F (x)，定义如下：当|f (x)|≥g (x) 时，F (x) = |f (x)|，当|f (x)|＜g (x)时，F (x) = -g (x)，那么F (x)（）

（A ）有最小值0，无最大值（B ）有最小值-1，无最大值（C ）有最大值1，无最小值（D ）无最小值，也无最大值二．填空题

7．实数x ，y 满足xy ＞0且x 2y = 2，则xy + x 2的最小值是___________ 8．设x ，y ∈R +，x + y + xy = 2，则x + y 的取值范围是____________

__________)40(42.10____

__________1

2.922的值域是函数的值域是函数≤≤--=+++=x x x y x x x y

三．解答题

]3,1[)0(1

2)(.112

2的值域为已知函数<+++=b x c

bx x x f

（1）求实数b 、c 的值

（2）判断函数F (x) = lg f (x)在x ∈[-1，1]上的单调性，并给出证明.

.23.122的值域求函数+-+=x x x y

13．f (x)是定义在R 上的奇函数，且满足如下两个条件： ①对于任意的x 、y ∈R ，有f (x + y) = f (x) + f (y) ②当x ＞0时，f (x)＜0，且f (1) = -2

求函数f (x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

(log )2(log )(,,03log 7)(log 2.14225.025.0的最大值和最小值函数时求当的解集为已知不等式x

x x f M x M x x ?=∈≤++

函数的单调性

A 组

一．选择题（共20分）

1．已知函数f (x)在R 上是增函数，若a + b ＞0，则（） A ．f (a) + f (b)＞f (-a) + f(-b) B ．f (a) + f(b)＞f (-a) – f(-b) C ．f (a) + f (-a)＞f (b) + f (-b) D ．f (a) + f (-a)＞f (b) – f (-b)

)(

|)1(log |)(.22

1的单调递减区间为-=x x f

A ．(0，2]

B ．（1，2]

C ．（-1，0]

D ．（1，+∞）

3．若a ＞1，且a -x + log a y ＜a -y + log a x ，则x 、y 之间关系为（） A ．x ＞y ＞0 B ．x = y ＞0 C ．y ＞x ＞0 D ．不确定，与a 值有关 4．已知F(x) = f (x) – f (-x)，其中lg f (x) + x = 0，则F(x)是（） A ．单调递增的奇函数 B ．单调递增的偶函数 C ．单调递减的奇函数 D ．单调递减的偶函数

)

3()2

()21(.)3()21()23(.)

()23()3(.)23()21()3(.)

()2

1(),23(),3(,]3,0[)(.5->->-->->-->->-->->----f f f D f f f C f f f B f f f A f f f x f 小关系是之间大

那么上单调递增在区间已知偶函数二．填空题（共20分）

6．若f (x) = (m – 1)x 2 + mx + 3（x ∈R ）是偶函数，则f (x)的增区间是___________ 7．已知f (x)是定义在R 上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，那么使f (-2)≤f (a)的实数a 的取值范围是___________

的单调递

的单调递减区间是的递减区间是函数的递减区间是函数是则此函数单调递减区间时当函数)23(log _______,)21(.10_______11________,11.9_______,0,2)32(log .823

222x x y y x

y x x y y x x x y x x a --==+-=+-=

>=-+=-+减区间为___________

三．解答题（共15分）

的单调区间

求出函数的单调性讨论函数x

x y a x

x x f 2

3.12)0()(.11-=>+

B 组

1．已知函数f (x) = log 2x ，且函数g (x)的图象与f (x)的图象关于直线y = x 对称，则函数g (x 2)是（）

（A ）奇函数，且在（0，+∞）上单调递减（B ）奇函数，且在（-∞，0）上单调递减（C ）偶函数，且在（0，+∞）上单调递增（D ）偶函数，且在（-∞，0）上单调递增 2．已知f (x) = x 2 + cosx ，则（）

)

7()45()2()()

2()45()47()()4

5()2()47()()4

7()2()45()(ππππ

πππ

πππππ-<-<<-<--<<-

-<<-

f f f D f f f C f f f B f f f A

???<>)

(sin )(cos )

cos 3()2(sin ,)(.3x f x f x f x f x f 则不等式组在实数集上是减函数已知函数

的解集是（）

)

()23

()()()24

()()

()(]4

[)(Z k k k D Z k k k C B A ∈++-

∈++-

ππ

:),0(|

lg )(.42有下列命题关于函数R x x x x x f ∈≠+=

①函数y = f (x)的图象关于y 轴对称

②在区间（-∞，0）上，f (x)是减函数 ③函数f (x)的最小值是lg2

④在区间（1，+∞）上，f (x)是增函数

其中正确命题是（）（A ）①② （B ）②④

（C ）①③④

（D ）仅③正确

}

212

|{)(}22

0|{)(}

0|{)(}2|{)()

(0)(log ,0)2

(,],0[)(.54><<><

<<<>>=∞+x x x D x x x C x x B x x A x f f x f R 或或的解集为式则不等

且上是增函数在的偶函数已知定义域为

6．已知定义域为R 的偶函数y = f (x)的一个单调递增区间是（2，6），则函数y = f (2 – x)的（）

（A ）对称轴为x = -2且一个单调递减区间是（4，8）（B ）对称轴为x = -2且一个单调递减区间是（0，4）（C ）对称轴为x = 2，且一个单调递增区间是（4，8）（D ）对称轴为x = 2，且一个单调递增区间是（0，4）二．填空题

___________3

.8_

__________)65(log .72

1的单调递增区间是函数的单调递增区间是函数-+-=

-+-=x x x y x x y

____

__________),4(),5

(),53(,2)(),()4()()(.9的大小顺序是、、则记时为增函数在且满足已知函数c b a f c f b f a x x f R x x f x f x f y ===>∈-== 10．教师给出一个函数y = f (x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x ∈R ，都有f (1 + x) = f (1 – x)；乙：在（-∞，0]上函数递减；丙：f (0)不是函数的最小值；丁：在（0，+∞）上函数递增

如果其中恰有3人说得正确，请写出这样一个函数：_________________ 三．解答题

x x f -++=

2log 11)(.113

已知函数（I ）判断函数的单调性，并加以证明

))21(()(>-x x f x II 为何值时有当

上的在试判断函数且已知),0()(),10()

1()

1()(log .1222∞+≠>--=x f a a a x x a x f a

单调性.

13．设函数f (x)是定义在（-∞，+∞）上的增函数，如果不等式f (1 – ax – x 2)＜f (2 – a)对于任意x ∈[0，1]都成立，求实数a 的取值范围.

14．已知f (x) = x 2 + c ，且f (f (x)) = f (x 2 + 1) （1）设g (x) = f (f (x))，求g (x)的解析式

)1,()(,),()()()2(内是减函数在使试问是否存在实数设--∞-=x x f x g x ?λλ?并在（-1，0）内是增函数？

[练习题答案及提示] 值域与最值

A 组

一．选择题 1．A 2．D

3．B

4．D

5．C

二．填空题 6．lg2

]1,(.10]

3,3

[.9]

20,1[.8)

2,1[.7-∞- 三．解答题 11．用换元法

)

0(4)1(2

27210

4132

413)413(214133222≥+--=++-=≥-=+

-+--=-+-=t t t t y x t x x x x y 则令故当t = 1时y 有最大值4

即y 的值域为（-∞，4]

复合函数单调性的判断

复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；（2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是（）（A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y =

7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（）（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。分析如下：令u=x 2-ax+3a ，y= u 。因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。