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第01章04节极限的性质与运算法则

计算lim ()f x 是我们的重点题目。做这个题目需要我们慢慢积累一些知识和技巧。我们先讲函数极限的性质和四则运算法则。

第4节极限的性质与运算法则

下面以0

lim ()x x f x →为例子讲函数极限的性质。这些性质与数列极

限的相应性质完全类似。

性质1（唯一性）如果0

lim ()x x f x →存在则它是唯一的。

证、（与数列极限唯一性的证明类似。）反证法。设当0x x →时A B <都是()f x 的极限。对于02

B A

ε-=>，由于

是()f x 的极限，存在

δ>使得

013()() (0)222

B A A B B A

f x A f x x x δ--+-<

<<<-<即；由于B 是()f x 的极限，存在

20δ>使得

023()() (0)222

B A A B B A f x B f x x x δ-+--<

<<<-<即。取{}12min ,δδδ=，当00x x δ<-<时应有() 22A B A B

f x ++<<。矛盾。

（在证明中，2

B A

ε-=

是要得出矛盾的最大ε。）性质2（局部有界性）如果0

lim ()x x f x →存在则存在0δ>使得()f x 在

0(,)U x δ

内有界。

证、0

lim ()x x f x A →=存在。对于1ε=，存在正整数0δ>使得当

00x x δ<-<时有()1f x A -<，解得1()1A f x A -<<+。因此，在

0(,)U x δ

内()1f x A <+。故()f x 在0(,)U x δ

内有界。

离散

数学

性质2的逆否：如果当0x x →时()f x 无界则0

lim ()x x f x →不存在。

例：01

lim x x

→不存在。

注意：性质2说有极限的函数一定局部有界。但是，局部有界的函．．．．．．

数不一定有极限．．．．．．．。例如：01

lim sin x x

→。（0x 的局部：0x 附近根据需要随便固定的小范围。）

性质3（局部保号性）如果0

lim ()()0x x f x A →=><，则存在0δ>使得，

当00x x δ<-<时就有

()()

f x >< 证、设0A >。对于02

ε=>，存在0δ>使得，当00x x δ<-<时就有()2

f x A ε-<=

，解得 3()22

A A f x << 0A <时的证明完全类似。

（以后我们就会知道，()f x 离0有没有一段距离是重要的。）

推论如果存在0δ>使得，当00x x δ<-<时有()()0f x ≥≤且

lim ()x x f x →存在，则0

lim ()()0n x f x →≥≤。

证、反证法。假设0

lim ()0x x f x A →=<。根据性质3，存在10δ>使得，当010x x δ<-<时就有()02

f x <<。当{}010min ,x x δδ<-<时0()02

f x ≤<

<，矛盾。注意：尽管．．0()0((,))f x x U x δ>∈

也不能保证．．．．．0

lim ()0x x f x →>。例

第1章

集合

子：0()f x x x =-。

离散

数学

4.2 函数极限的四则运算法则

定理2.5 设lim (),lim ()f x A g x B ==，则

（1）lim(()())lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±；（

2）lim(()())lim ()lim ()f x g x f x g x AB

==，特别

i m (())C f x

C f x C A ==；()()lim ()lim ()k

f x f x =。

（3）()lim ()lim

()lim ()f x f x A

g x g x B

==。证、以0x x →为例子证。

（1）0ε?>。由于0

lim ()x x f x A →=，对于02

ε'=

>，存在10δ>使得，

当010x x δ<-<时有()()222

f x A A f

x A εεε

-<-<<+即；由于0l i m ()x x g x B →=，对于02

ε'=>，存在20δ>使得，当020x x δ<-<时有()()222

g x B B g x B εεε

-<-<<+即。取{}12min ,δδδ=，当

00x x δ<-<时有()()2222A f x A B g x B εεεε

-<<+-<<+且，此

时

，

(

)

A B ε

ε±

即。故0

lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±。

（2）因为0

lim ()x x f x A →=存在，根据局部有界性，存在0,0M δ'>>使

得对于任意的00x x δ'<-<都有()f x M ≤。

0ε?>，

由于0

l i m ()x x f x

A →=，对于01

B ε

ε'=>+，存在10δ>使得，当

第1章

集合

010x x δ<-<时有()1

f x A B ε

+；

由于0

l i m

()x x g x B →=，对于0M

ε'=>，存在20δ>使得，当

020x x δ<-<时有()g x B M

。

取{}12min ,δδδ=当00x x δ<-<时有

()1

f x A B ε

+且

()g x B M

。此时

()()()()()()()()()1

f x

g x AB f x g x f x B f x B AB f x g x B B f x A M

B ε

-=-+-≤-+-<+<+

故0

lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==。

（3）0B ≠（放在分母）。因为0

lim ()x x g x B →=存在，根据局部保号性，

存在10δ>使得，当010x x δ<-<时有()2

g x >

。 0ε?>，

由于0

l i m ()x x g x

B →=，对于2

02B

ε'=>，存在20δ>使得，当

020x x δ<-<时有2

()2g x B B

-<。

取

{}12min ,δδδ=当

00x x δ

<-<时有

()2

g x >

且

()2g x B B

-<。此时

离散

数学

()211()()2

g x B B g x B B g x B

ε--=<= 故0

11lim

()x x g x B

→=。 0

000()11lim

lim ()lim ()lim ()()()x x x x x x x x f x A

f x f x

g x g x g x B

→→→→??=== ??? 性质5（单调性）如果存在0δ>使得当00x x δ<-<时总有

()()f x g x ≥并且

l i m ()x x f x →和

lim ()x x g x →都存在，则0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥。

证、记()()()h x f x g x =-

。0

lim ()lim ()lim ()x x x x x x h x f x g x →→→=-。根据局部保号性的推论，0

lim ()0x x h x →≥。故0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥。

思考题： 4．若己知0()lim

()x x u x A

v x B

存在，关于极限0lim ()x x u x ?，0lim ()x x v x ?可以有什么结论？两者是否一定存在？若其中一个存在，另一个是否一定存在？若0

lim ()0x x v x B ?= ，那么结论如何？对定理4.4之(1)，(2)

提出并讨论类似性质．

第1章

集合

函数极限的计算

P42 例4.2 ()

0lim lim k

k x x x x x x

x →→==。

设1011()k k k k f x a x a x a x a --=++++ ，则

()()()0

101110111

0010100lim ()lim lim lim lim =lim lim lim =()

k k k k

x x x x x x x x x x k k k k

x x x x x x k k k k f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a f x --→→→→→--→→→--=++++++++++++=

（注意：以后我们会明白，不是任何函数都0

0lim ()()x x f x f x →=那么简

单！！）设

11011011(),()k k l l k k l l f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++++=++++ 。如果0()0g x ≠，

000

0lim ()()()lim ()lim ()()

x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→==

设

0000()()(),()()(),()0,()0

s t f x x x p x g x x x q x p x q x =-=-≠≠，

(),()p x q x 都是多项式。则

0000

0000000

()

()()()lim

lim()lim()lim lim()()()()()()

,() 0,,s t s t s t

x x x x x x x x x x p x f x p x p x x x x x x x g x q x q x q x p x s t

q x s t

s t ---→→→→→=-=-=-?=???

=>??∞

P42例4.3 求2212

lim 23

x x x x x →+-+-。

离散

数学

解、

111

2(1)(2)23 lim lim lim

23(1)(23)235

x x x

x x x x x

→→→

+--++

=== +--++

。

第1章

集合

P43例4.4 求311

3lim 11x x x →-??- ?++?

?。

解、

2332211111

313(1)(2)23lim lim lim lim 1111(1)(1)13x x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-→--+-+---??-=====- ?++++-+-+?

?。

（方法总结：当0

01212()()

lim

lim ()()

x x x x p x p x q x q x →→==∞时，不能直接用四则运算法则计算01212()()lim ()()x x p x p x q x q x →??- ???

，此时要先把1212()()

()()p x p x q x q x -算成一个分式1221

12()()()()()()p x q x p x q x q x q x -再计算

00121

2211212()()()()()()

lim lim ()()()()x x x x p x p x p x q x p x q x q x q x q x q x →→??--= ???。）设

11011011(),()k k l l k k l l f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++++=++++ ，000,0a b ≠≠。则

101111011011110

000111111

()lim lim lim lim 111111

(), lim 0,,k k k k k k k k

k l k l x x x x l l l l l l l l

k l x a a a a a a a a f x x x x x x x x x g x b b b b b b b b x x x x x x a k l b a x k l

b k l ------→∞→∞→∞→∞-----→∞

++++++++==++++++++?=???

==>??∞

（注意：这里是x →∞。）例如，

离散

数学

3234233423lim lim 53

7537

7x x x x x x x x x x →∞→∞++++==+-+- 75

276426

318831lim lim lim 224224x x x x x x x x x x x x

→∞→∞→∞

+-+-==∞---- 复合函数的极限

定理4.5（变量替换法则）设0lim ()t x ?=且在t 趋向的后来0()t x ?≠，

又设0

lim ()x x f x →存在，则0

lim (())lim ()x x

f t f x ?→=。

证、以0

0lim ()t t t x ?→=为例证明。

设在01(,)U t δ

内0()t x ?≠，0

lim ()x x f x A →=。

0ε?>，

存在0η>使得当00x x η<-<时就有

()f x A ε-<

因为0

0lim ()t t t x ?→=，对于0εη'=>，存在20δ>使得当020t t δ<-<时就

有

0()t x ?η-<

取{}12min ,0δδδ=>，当00t t δ<-<时00()t x ?η<-<，因此此时

(())f t A ?ε-<

故0

lim (())lim ()t t x x f t A f x ?→→==。

变量替换法则对于复合函数极限的．．．．．．．．．．．．．．．36．．

种组合都是对的。．．．．．．．．

P44例4.6 求极限0

x x m

→（m 是正整数）

第1章

集

合

解、作变换y 0

1x y →?→。根据变量替换法则，

120

11111

lim lim 111m m m x y y y m m m y y y m x m

--→→→-====-+++ 注这里的条件0t t 1时，0()t x j 1的作用，请看下面例子：

若1,0()0,0

x f x x ì1?

?=í

?=??

，而()0t j o．显然有0l i m ()1

x f x ?=和0

lim ()0t t j ?=．考察0

l i m (())t f t j ?．显然有0

lim (())lim (0)0t t f t f j ==，但

l i m ()1x f x ?=，即0

lim (())lim ()t x

f t f x j 1．

习题 1－4

A 类

1. 用极限的运算法则求下列极限：

(1)11

lim 1

n m

x x x ?--

（,n m 为正整数） (2)330

()lim h x h x h

?+-

(3)21lim

1n x x x x n

x ?+++--L

(4)23112lim 11x x x x x ?骣-÷?÷-?÷?÷

++桫

(5)2121lim 11

x x x ?骣÷

?-÷÷

桫--

(6)lim x ? (7)()()()2030

2332lim

51x x x x -++

(8)221

lim (

1x x x x x

-+-

(9)lim x

(10)lim x

(11)lim )x x

x ?￥

(12)lim ]x

x ?

已知3

(),3f x x a x ì? ?=í

，且3lim ()x f x ?存在，求a . 3. 已知

lim (

)01

x x ax b x

+--=+,求a 与b .

B 类

1. 用极限的运算法则求下列极限：

(1)2

(1)(1)

lim

x mx nx x ?+-+

(2)lim

x ?

离散

数学

(3) lim x ?

(4)

lim x ?

2. 设

lim ()(0)x f x A A ?

= ，证明当x 充分大时，有

1()2

f x A >

3. 讨论极限10

1lim

x ?+.

极限四则运算法则

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。证明：只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

极限四则运算法则

极限的运算法则

7.7 (2)极限的运算法则一、教学内容分析本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式. 教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在. 教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别. 二、教学目标设计掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限. 知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限；会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观

察，分析以及等加转换的能力. 三、教学重点及难点重点：数列极限的运算性质. 难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾 1、数列极限的定义. 2、已知1 23-=n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写出它的极限. 二、讲授新课

1、实例引入计算由抛物线x y =2，x 轴以及直线x=1所围成的区域面积S ：2 6)12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞→ 2、数列极限的运算性质（1）数列极限的运算性质如果B b A a n n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么（1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞→∞→lim lim )(lim ；（2）B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞ →∞→∞→lim lim )(lim ；（3）B A b a b a n n n n n n n ==∞ →∞→∞→lim lim lim ；（2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ?=?=?∞ →∞→∞→lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件 2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零. （2）常用的数列极限的几个结论（1）对于数列{}n q ，当1

极限的性质与四则运算法则

第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧ ∈x U x 时，0)(>x f )0)((A 的情形。取2 A =ε，由定义，对此0,>?δε，当),(0δ∧∈x U x 时， 2)(A A x f =<-ε，即0)(2 32)(220>?=+<<-=”，“<”不能改为“≥”，“≤”。在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A 。二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。证明：只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

极限的性质和运算法则

第周第学时教案授课教师：贾其鑫 1.4 极限的性质与运算法则教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。 2.会应用极限的性质及运算法则求解极限教学重点：极限的性质及四则运算法则；教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳教学课时：2学时教学方法：讲授法、归纳法、练习法教学过程： 1.4.1 极限的性质性质1.5（唯一性）若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一．性质1.6（有界性）若极限)(lim 0 x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界．性质1.7（保号性）若A x f x x =→)(lim 0 ，且0>A （或0x f （或0)(

第周第学时教案授课教师：贾其鑫 (3)当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 证我们只证(1)．因为A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，由定理1.2有α+=A x u )(，β+=B x v )(，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是)()()()(βα+±+=±B A x v x u )()(βα±+±=B A ．根据无穷小量的性质，βα±仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可得．[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ．上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况．推论设)(lim x u 存在，c 为常数，n 为正整数，则有 (1) [])(lim )(lim x u c x u c ?=?； (2) []n n x u x u )]([lim )(lim =．在使用这些法则时，必须注意两点： (1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在． (2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．例1 求)522(lim 1 +--→x x x ．（初等函数定义域内某点的极限）解 )522(lim 1 +--→x x x 5lim 1 )2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x 5lim 1 )2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x