常数项级数审敛方法的探讨

常数项级数审敛方法的探讨

摘 要：无穷级数中最基本也最重要的级数就是常数项级数，因而常数项级数的审敛

方法在数学研究中起着重要的作用。本文重点讨论常数项级数的敛散性的判别方法，将其分为正项级数、任意项级数和交错级数分别进行审敛方法的研究：正项级数敛散性的判别方法是研究的主要内容；任意项级数则是在正项级数审敛方法的基础上进行研究的；而交错级数属于特殊的常数项级数，从满足莱布尼茨条件和不满足其条件讨论了它的审敛方法。从而对常数项级数审敛的思想方法作了一些有价值的归纳总结。

关键词：常数项级数；收敛；发散；审敛法

无穷级数是高等数学的重要内容，是研究函数性质和进行数值计算的有利工具，它在解决自然科学、工程技术等各种实际问题中有着十分广泛的应用，大力拓展了利用微积分解决各种实际问题的范围.本文对常数项级数的审敛方法进行了较全面的分析和研究，并对其具体的应用也进行了比较深入的讨论，进而总结出具有一般性的思想方法，归纳了一些较有价值而且新颖的解决实际问题的方法.

1. 常数项级数

1.1 常数项级数的概念

设有一个数列,..,...,,,321n u u u u ，则称......321+++++n u u u u 为常数项级数，以下简称级数，记为......3211+++++=∑∞

=n n n u u u u u ，其中，n u 为级数的一般项

或通项；并且称常数项级数1

n n u ∞=∑的前n 项之和==∑=n

k k n u s 1

n u u u u ++++...321为

该级数的前n 项部分和，简称部分和，从而得到数列11212,,...,s u s u u ==+

12...,...n n s u u u =+++，数列{}n s 称为常数项级数的部分和数列，则有：若级数

1

n

n u

∞

=∑部分和数列{}n s 有极限S ，即lim n n s →∞

=S ，则称级数1

n n u ∞

=∑收敛，并称S 为级数

1n

n u

∞

=∑的和，记作1

n n u ∞=∑=S ，这时，也称1

n n u ∞

=∑收敛于S.若数列{}n s 没有极限，即

lim n n s →∞

不存在，则称级数1

n n u ∞

=∑发散.

由以上可知，级数1

n n u ∞

=∑是否收敛等价于其部分和数列{}n s 是否有极限，即

可把级数1

n n u ∞

=∑作为数列{}n s 的另一种表现形式.

例1.讨论级数1

n n ∞

=∑的敛散性.

解：级数1

n n ∞

=∑部分和为(1)

123 (2)

n n n s n +=++++=

因为lim n n s →∞

=∞，所以级数1

n n ∞

=∑发散.

基于以上所说的级数与数列间的关系，我们可以根据数列极限引出以下定理：

定理1.（级数收敛的柯西准则）级数1n n u ∞

=∑收敛的充要条件是：任给正数ε，

总存在正整数N ，使得当m N >以及对任意的正整数P ，都有

12...m m m p u u u ε++++++<.

根据此定理我们易写出级数1

n n u ∞

=∑发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何

正整数N ，总存在正整数0()m N >和0P ，有

0000120...m m m p u u u ε++++++≥

并由此定理1可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件. 推论 若级数1

n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n x u →∞

=.

例2 .讨论调和级数111

1......23n

+++++的敛散性.

解：调和级数虽满足推论的结论，即1

lim lim

0n x n u n

→∞

→∞== 但令p m =时有

122111

......122m m m u u u m m m +++++=

+++

++ 1111

(2222)

m m m ≥

++= 因此取01

2ε=，对任何正整数N ,只要m N >和P m =就满足级数1

n n u ∞

=∑发散的充

要条件，所以调和级数是发散的.

级数敛散性的判别是无穷级数理论中的一个重要内容.通常，从定义出发来判定一个级数的敛散性是比较困难的，而级数收敛的柯西准则也具有一定的局限性，为此我们必须寻找其它审敛法，那么我们就应该针对各类级数的特点给出判别级数敛散的一般方法.首先我们需要给出级数的一些基本性质，为其后级数审敛法的探讨作铺垫.

1.2 常数项级数的基本性质：

性质1 若级数1

n n u ∞

=∑收敛于S ，则级数1

n n u λ∞

=∑收敛，且1

n n u λ∞

==∑1

n n u S λλ∞

==∑，其

中λ为任意常数.

性质2 若级数1

n n u ∞

=∑收敛于S ，1

n n v ∞

=∑收敛于T ，则级数1

()n n n u v ∞

=±∑收敛，且

1

()n

n n u

v S T ∞

=±=±∑.

性质3 若级数1

n n u ∞

=∑收敛，则级数

1

n

n m u

∞

=+∑也收敛，反之亦然，其中m 是任一正

整数.

性质4 若级数1n n u ∞

=∑收敛，则对此级数的项任意地加括号后所成级数

111212121(...)(...)(...)...k k n n n n n n u u u u u u u u ++++++++++++++仍然收敛且和不变.

性质 5 在级数1

n n u ∞

=∑中去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性（级

数收敛时，一般会改变级数的和）.

推论1 如果级数1

n n u ∞

=∑收敛，级数1

n n v ∞

=∑发散，则级数1

()n n n u v ∞

=±∑发散.

推论2 如果在级数1

n n u ∞

=∑中插入括号后新级数发散，则原级数必发散.

2．正项级数

2.1 正项级数的概念

定义：如果级数的各项全为非负实数，即),2,1(0 =≥n u n ，则称级数1n

n u ∞

=∑为正项级数.显然正项级数的部分和数列{}n s 是单调递增的，即n n s s ≥+1，若数列{}n s 有界，

则根据单调有界数列必有极限可知n n s ∞

→lim 存在，由定义可知1

n n u ∞

=∑收敛. 定理1. 正项级数1

n n u ∞

=∑收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有界.

2.2 正项级数的审敛法

由以上定理,我们可以推出判断正项级数是否收敛的一些重要判别方法: 定理2.(比较审敛法) 设级数1

n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑都是正项级数,且n n v u ≤,那么

(1)若级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1

n n u ∞

=∑也收敛;

(2)若级数1

n n u ∞

=∑发散,则1

n n v ∞

=∑也发散.

例1.判定级数∑

∞

=+1

)

1(1n n n 的敛散性.

解:因为2)1()1(+<+n n n ,从而1)1(+<+n n n ,所以

1

1

)

1(1+>

+n n n ,

而级数11111 (1)

231n n n ∞

==++++++∑

发散, 由比较审敛法知∑

∞

=+1

)

1(1n n n 发散.

比较审敛法在使用时,常常要将所给级数的一般项放大或缩小,对于某些级数使用起来并不方便,因而在实际中为简便通常会用到比较审敛法的极限形式. 定理 3. (比较审敛法的极限形式) 设级数1

n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑都是正项级数,且

l v u n

n

n =∞→lim

,则 （1）当+∞<

n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑具有相同的敛散性;

（2）当0=l 时,级数1

n n v ∞=∑收敛时,级数1

n n u ∞

=∑也收敛;

（3）当+∞=l 时, 级数1

n n v ∞=∑发散时,级数1

n n u ∞

=∑也发散.

例2.判定级数11

2n

n n

∞

=-∑

的敛散性. 解：12lim 1

2

n n n

n →∞-21lim lim 212n n n n n

n n →∞→∞==--=1

又因为12n 收敛，根据定理3有级数11

2n n n

∞

=-∑收敛.

运用比较审敛法一般都要先对级数的敛散性有大概的估计,再选取一个合适的已知其敛散性的级数来做比较，而这一点比较困难.我们自然会想到能不能 用级数本身的结构特征来判断该级数的敛散性,基于此思想我们有如下定理: 定理4.(比值判别法,达朗贝尔判别法)设级数1n n u ∞

=∑为正项级数,且p u u n

n n =+∞→1

lim

,

则

（1）当1

=∑收敛;

（2）当1>p 时(含∞=p 的情况),级数1

n n u ∞

=∑发散;

（3）当1p =时,级数1

n n u ∞

=∑可能收敛也可能发散.

例3.判断级数12!

n

n n ∞

=∑的敛散性.

解：112!2

lim lim lim 01(1)!21n n n n n n n u n p u n n ++→∞→∞→∞==?==<++

所以原级数收敛.

定理5.(根值判别法,柯西判别法) 设级数1n n u ∞

=∑为正项级数,且满足p u n n n =∞

→lim ,

则

（1）当1

=∑收敛;

（2）当1>p 时(含+∞=p 的情况),级数1

n n u ∞

=∑发散;

（3）当1=p 时,级数1

n n u ∞

=∑可能收敛也可能发散.

例4．判定级数n

n n n

∑∞

=+1)12(的敛散性.

解:令n n n n u )12(

+=,由于12

112lim )12(lim lim <=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n n n

根据根值判别法,级数n

n n n

∑∞

=+1

)12(收敛.

与比较审敛法不同的是，比值判别法与根值判别法不需要另外寻找一个能与已知级数作比较的级数.因此，比值判别法与根值判别法使用时比较简单，但是它们有时可能失效（当P=1时）。比值判别法与根值判别法是基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的,只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛的速度快的级数，这两方法才能鉴定出它的收敛性，如果级数的收敛速度较慢，他们就无能为力了.因此，为了获得判别范围更大的一类

级数，就必须需寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准，若以P 级数为比较标准，则可得到拉贝（R ）判别法.

定理6.（拉贝判别法）设1

n n u ∞

=∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r

（1）若对一切0n N >，成立不等式1

(1)1n n u n r u +-≥>，则级数1n n u ∞

=∑收敛;

（2）若对一切0n N >，成立不等式1

(1)1n n u n u +-≤，则级数1

n n u ∞=∑发散.

拉贝方法对于某些级数用起来并不方便,因而在实际中为简便通常会用到拉贝判别方法的极限形式.

定理7.（拉贝判别法的极限形式）设1

n n u ∞

=∑为正项级数，且极限1

lim (1)n n n

u n r u +→∞

-

=存在，则

（1）当1r >时，级数1n n u ∞

=∑收敛；

（2）当1r <时，级数1

n n u ∞=∑发散.

例5．讨论级数13(21)[

]24(2)

s

n n ????-∑????，当s=1,2,3时的敛散性. 解：无论s=1,2,3哪一值，对级数13(21)[

]24(2)

s

n n ????-∑????的比值极限，都有1

lim

1n n n

u u +→∞=，所以用比值判别法无法判断它的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨

论.

当s=1时，由于2

1

22)22121()1(1→+=++-=-

+n n n n n u u n n n （∞→n ）

， 所以级数发散.

当s=2时，由于212

21(43)(1)[1()]122(22)n n u n n n n n u n n +++-

=-=<++ （∞→n ）， 所以级数发散.

当s=3时，由于23121(12187)3

(1)[1()]3

222(22)n n u n n n n n n u n n ++++-=-=→++ （∞→n ）, 所以级数收敛.

此外，若将所给正项级数与-P 级数作比较,还可得到在实用上比较方便的极限审敛法.

定理8.(极限审敛法)设级数1n n u ∞

=∑为正项级数,则

（1）如果)lim (0lim +∞=?>=?∞

→∞

→n n n n u n l u n 或,则级数1n n u ∞

=∑发散;

（2）如果1>P ,而)0(lim +∞≤≤=?∞

→l l u n n p

n ,则级数1

n n u ∞

=∑收敛.

例6.判定级数∑∞

=+

1

2)1

1ln(n n

的敛散性. 解:因为)(1~)11ln(22∞→+

n n

n ,所以有 11

lim )11ln(lim lim 22222=?=+?=?∞→∞→∞→n

n n n u n n n n n ,

根据极限审敛法,级数∑∞

=+

1

2)1

1ln(n n

收敛. 当级数具有单调性质且比值、根值等审敛法不能判断敛散性时，可以利用与反常积分作比较来判断敛散性.

定理9.(积分判别法)设函数)(x f 在),1[+∞上非负连续且单调递减,

),2,1(),( ==n n f u n ,则正项级数1

n n u ∞

=∑收敛的充要条件是广义积分dx x f ?

+∞

1

)(收

敛.

例7.判断级数∑∞

=?2

ln 1

n n n 的敛散性. 解:取x

x x f ln 1

)(?=

,显然)(x f 当2≥x 时是非负连续且单调递减的函数,令n

n n f u n ln 1

)(?==,则由于

+∞===?=∞

++∞+∞+∞???2222ln ln )(ln ln 1ln 1)(x x d x dx x

x dx x f .

所以级数∑

∞

=?2ln 1

n n

n 发散.

虽然正项级数的审敛性的判别方法很多,但面对这么多的判别方法，要真正判别一个正项级数的敛散性时,选择一种合适的判别方法并不容易.由于既不存在收敛的最慢的正项级数也不存在发散的最慢的正项级数,因此可以不断发现新的收敛的(或发散的)更慢的正项级数,以便得到由它们导出的新的判别法则.下面探讨如何从这么多的方法中选出比较合适的一种正项级数敛散性的判别法.

设级数1

n n u ∞

=∑为正项级数，在采用某种判别方法之前我们首先判定lim n n u →∞

是否

等于0：

ⅰ）若lim 0n n u →∞

≠，则此级数1

n n u ∞

=∑发散；

ⅱ）若lim 0n n u →∞

=，则此级数1

n n u ∞

=∑有可能发散，有可能收敛，则用以下判别方法：

（1）利用定理1来判定1

n n u ∞

=∑的部分和数列{}n s 是否有界；

（2）若不易求得{}n s 是否有界，则可另取一个敛散性已知的正项级数与它作比较，利用比较审敛法进行判定；

（3）若不易找出作比较的正项级数时（即比较审敛法运用困难），则采用比值审敛法，当通项中含有n 为幂指的因子时，则适合用根值审敛法；

（4）当（3）中的判别方法失效时，即1p =时可以用拉贝判别法的极限形式； （5）当级数具有单调性质且比值、根值等审敛法不能判断敛散时 ，则可以用积分判别法.

此外,达朗贝尔判别法（比值审敛法）与柯西判别法（根值审敛法）是历史上有名的两种正项级数审敛法,它们都是-Z 判别法的推论, -Z 判别法是针对一般项带有商及幂指运算的乘积形式的正项级数提出的一种新的审敛法, -Z 判别法的使用范围有所扩大,使用程度有所提高.

定理10.(-Z 判别法)对于级数1n n n u v ∞

=?∑,其中0,0n n u v >>.若1

1lim

n n n

u l u +→∞=,

2lim ,n n n v l →∞

= (其中12l l ?可以为∞+),那么:

（1）当1201l l ?≤<时,级数1

n n n u v ∞

=?∑收敛;

（2）当121l l ?>时(含12l l ?=+∞的情形),级数∑∞

=?1

n n n v u 发散;

（3）当121l l ?=或120,l l ==+∞或210,l l ==+∞时,级数1

n n n u v ∞

=?∑的敛散性待

确定.

例8.判别级数∑∞

=+?+?1

!)1ln()11(32n n n

n n n 的敛散性. 解:记2

)11(3,!)1ln(n n n n n

v n n u +?=+=,则有 0)1ln()

2ln(11lim lim

11=++?+==∞→+∞→n n n u u l n n

n n ，e n v l n n n n n 3)11(3lim lim 2=+?==∞→∞→，

可得1021<=?l l ，由-Z 判别法知级数∑∞

=+?+?1

!)1ln()11(32n n n n n n 收敛. 3.任意项级数及判别方法

若我们将任意项级数1n n u ∞

=∑的每一项都取绝对值，就可获得一个新的级数

1n

n u

∞

=∑，而这一级数是一个正项级数，下面研究任意项级数1

n n u ∞

=∑与正项级数

1

n

n u

∞

=∑之间的敛散性有无联系.

定义 如果级数1

n n u ∞

=∑各项的绝对值所构成的正项级数1

n n u ∞

=∑收敛，则称级数

1

n

n u

∞

=∑绝对收敛；如果级数1

n n u ∞=∑收敛，而级数1

n n u ∞=∑发散，则称级数1

n n u ∞

=∑条件收

敛.

级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系： 定理 如果级数1

n n u ∞

=∑绝对收敛，则级数1

n n u ∞

=∑必定收敛.

由此定理可知：1

n n u ∞=∑收敛→1

n n u ∞=∑收敛，而1

n n u ∞=∑发散不能推出1

n n u ∞

=∑发散，

但是，∑∞

=∞

→∞

→→≠→≠1

0lim 0lim n n n n n n u u u 发散.

此外还可以用以下方法来判别 （1）利用级数敛散性的定义. （2）比值判别法或根值判别法.

①比值判别法：1lim 1

>=+∞→r u u n

n n 时, 1n n u ∞

=∑发散；

②根式判别法: 1lim >=∞

→r u n n n 时, 1

n n u ∞

=∑发散.

例1.判定级数∑

∞

=1

2

sin n n n α

的敛散性. 解:因为221sin n n n ≤α,而已知级数∑∞=121n n 收敛,所以级数∑∞

=1

2

sin n n n α

收敛, 从而级数∑

∞

=1

2

sin n n n α

绝对收敛. 例2.判别级数)!1()1(1

1

+-+∞

=∑n n n n

n 的敛散性.

解:因为1)!2()!

1()1(lim lim 121>=?+++=++∞→+∞→e n n n n u u n n n n

n n , 由比值判别法可知原级数发散.

例3.判别级数∑∞

=?-+1

23)1(2n n

n 的敛散性. 解:n n n n n n u 3)1(22

1

lim lim ?-+?=∞→∞→,又有53)1(21≤?-+≤n ,

从而13)1(2lim =?-+∞→n n n ,即得12

1

3)1(221lim <=?-+?∞→n n n ,

由根值判别法可知原级数收敛. 4.交错级数

4.1 交错级数的概念

下面研究常数项中一种特殊的级数——交错级数的审敛法.

定义 设0n u >(1,2,3,...)n =,则称级数111231(1)...(1)...n n n n n u u u u u ∞

--=-=-++-+∑或

1231

(1)...(1)...n

n n

n n u

u u u u ∞

=-=-+-+-+∑为交错级数,也就是说交错级数的项是正

负交错的.

4.2 交错级数的审敛法

对于交错级数的判别最常用也最简便的方法就是莱布尼茨判别法. 定理1.(莱布尼茨定理)如果交错级数n n n u ?--∞

=∑1

1)

1(满足条件:

(1) 1(1,2,3,...)n n u u n +≥=, (2) lim 0n n u →∞

=,

则交错级数n n n u ?--∞

=∑1

1

)

1(收敛,且其和1u S ≤,其余项1+≤n n u r .

例1.讨论级数)!

12()12(1

)

1(1

1

-?-?

-+∞

=∑n n n n 的敛散性.

解:此级数为交错级数,因为111

1...33!55!77!

>

>>>???又0)!

12()12(1

lim

=-?-∞→n n n 故根据莱布尼茨判别法,级数

)!

12()12(1

)

1(1

1

-?-?

-+∞

=∑n n n n 收敛.

判断一个交错级数是否收敛,如果满足莱布尼茨判别法的条件,判断级数收敛很容易,但如果一个交错级数不满足定理的条件,除了可以利用任意项级数的判别方法，还可用一些简便的方法来判断该级数的敛散性.

例2. 判别级数22210210

131313

......210n n -+-++-+的敛散性.

解: 因为12

1

n

n ∞

=∑

与1

10

3

n

n ∞

=∑

皆收敛，根据级数的性质知若级数1

n n u ∞

=∑收敛于S ，

1

n

n v

∞

=∑收敛于T ，则级数

1

()n

n n u

v ∞

=±∑收敛，且

1

()n

n n u

v S T ∞

=±=±∑.

所以原级数收敛.

例3.判别级数∑

∞

=-+-1)

1()1(n n

n n 的敛散性.

解:设n u =

n

n n )1()1(-+-,将通项n u 分母有理化,有

111)1(1])1([)1()

1()1(-+-?-=----=-+-=

n n n n n n u n n n n

n

n , 因为∑∞

=-?-2

1)1(n n n n

收敛,但是∑∞

=-211n n 发散,

所以原级数发散.

结束语

常数项级数在许多领域都有广泛应用，无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，其理论在现代数学方法中占有重要地位，因此它的敛散性的判定有着重要意义。本文将常数项级数的审敛方法的思想方法进行了总结，而常数项级数敛散性的判别方法都有一定的局限性，虽然已有了许多新的、更广泛的判别方法，但是还需要我们进一步探索新的方法，来弥补已有方法的不足。