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初一数学下册因式分解

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多

数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法：

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-

（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ （3）立方和公式：（4）立方差公式：

例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2

a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++

222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==

三、分组分解法：

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+

例4、分解因式：2

222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

（3）1816962

22-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

22244+--

四、十字相乘法：

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2

?+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：101132+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x （3）

317102+-x x （4）101162++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

2128

8b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：22

128

8b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -?+-++ =)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2

223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2

-+-+y x y x

（4）344)(2+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）263442

2++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222

)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(20052

2---x x

（2）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(2

=))(1(a x ax -+

=)2005)(12005

(-+x x （2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=2

22)65)(67(x x x x x +++++

设A x x =++652，则x A x x 2672

+=++

∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x

练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++ （2）90)384)(23(22+++++x x x x

（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a

例14、分解因式（1）262234+---x x x x

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)1

162(22

2x x x x x +-

--=[]6)1()1(2222-+-+x x x

x x

设t x x =+1，则212

22-=+t x

∴原式=[

]6)2222---t t x （=()

10222--t t x

=()()2522

+-t t x =??

? ??++??? ??-+215222x x x x x

=??

? ??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()

122522

2+++-x x x x

=)2)(12()1(2

--+x x x

（2）1442

34+++-x x x x

解：原式=2

241(41)x x x x x -++

+=???

???+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则212

22+=+y x x

∴原式=22(43)x y y -+=2

(1)(3)x y y --

=)31)(11(2----x x x x x =()()

1312

2----x x x x

练习14、（1）6736762

34+--+x x x x

（2）)(2122

234x x x x x +++++

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）432

3+-x x

解法1——拆项。解法2——添项。

原式=33123+-+x x 原式=44432

3++--x x x x

=)1)(1(3)1)(1(2

-+-+-+x x x x x =)44()43(2

++--x x x x =)331)(1(2

+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x

=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x =2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x

（2）3369-++x x x

解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x

=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3363+++++-x x x x =)32)(1)(1(362++++-x x x x x

练习15、分解因式

（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x

（4）22412a ax x x -+++ （5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++

七、待定系数法。

例16、分解因式61362

2-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项2

6y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++ 解：设613622

-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++

∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

∴61362

-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

对比左右两边相同项的系数可得??

??-==-=+6

13231

m n m n n m ，解得???=-=32n m

∴原式=)32)(23(+--+y x y x

例17、（1）当m 为何值时，多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果82

+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++ 解：设6522

-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++

则652

-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2

比较对应的系数可得：?????-==-=+65ab a b m b a ，解得：?????==-=132m b a 或??

??-=-==132m b a

∴当1±=m 时，原多项式可以分解；

当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ；当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x

（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的

一次二项式。

解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++

则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++

∴?????=+=+=82323c c b c a 解得??

??===4147c b a ， ∴b a +=21

练习17、（1）分解因式2910322-++--y x y xy x

（2）分解因式6752322+++++y x y xy x

（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。（4） k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全经典一：一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。 2分解因式： m 3

-4m= . 3.分解因式： x 2

-4y 2

= __ _____. 4、分解因式：2

44x x ---=___________ ______。

5.将x n

-y n 分解因式的结果为(x 2

+y 2

)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .

6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，22

22x y +=__________。

二、选择题

7、多项式32

15520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、2

5m n C 、2

5m n D 、2

5mn

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )

A 、()()2339a a a +-=-

B 、()()22a b a b a b -=+-

C 、()24545a a a a --=--

D 、

3232m m m m m ??--=-- ??? 10.下列多项式能分解因式的是（）

(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2

-4x+4 11．把（x －y ）2

－（y －x ）分解因式为（） A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x ）（x －y －1） C ．（y －x ）（y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（）

A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2

＋3c ）

B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2

（a －b ＋1）

C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）

D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2

＝（a －2b ）（11b －2a ）

13.若k-12xy+9x 2

是一个完全平方式，那么k 应为（）

A.2

B.4

C.2y 2

D.4y 2

三、把下列各式分解因式：

14、nx ny - 15、2

294n m -

16、()()

m m n n n m -+- 17、322

2a a b ab -+

18、

()2

416x x +- 19、2

2)(16)(9n m n m --+；

五、解答题

20、如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45d cm =，外径75D cm =，长3l m =。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(π取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

()()()()()()()()()()()()()()

24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _________________________________________________x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=++++-

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321

=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()

()()

()()()

解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-

=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244

2211111121111()()()

()()()[()]()()()

2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有

原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 32222

242222212()

()()()()()()()

解二：将常数-4拆成--13，则有

原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 3222

1331113314412()

()()()()()()()()

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：()()x x x 2241021100--++

=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100

272310051456100

设y x x =-25，则

原式无论取何值都有的值一定是非负数

=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440

4102110022

222

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B

∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()

()()()

A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333

322333

223333332

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=

=++--=?=()[()]x x x x 11212122 求证：a c b +=2

证明： a b c ab bc 222166100--++=

∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a c b

2222226910250350820

880202即，即于是有即()()()()

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2. 已知：x x x x +

=+=121

33，则__________ 解：x x

x x x x 3321111

+=+-+()()

说明：利用x x x x 22

12+

=+-()等式化繁为易题型展示

1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。解：100)4)(3)(7(2----x x x

=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 723210051456100

58516540734100

2222222

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它

们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。解：a a a a 22221++++()()

=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 2222

222

21211()()()()

∴++=++==6742366143184922222() 说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1. 分解因式：

（）（）131083108233315

54322

x x x x x a a a a ---+++-++-()()

（）（）323352476

223

x xy y x y x x --+-+-+

2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。

3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。

4. 求证：n n 35+是6的倍数。（其中n 为整数）

5. 已知：a 、b 、c 是非零实数，且a b c a b c b c a c a b

2221111111

3++=+++++=-，()()()，求a+b+c 的值。

6. 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。

经典三：因式分解练习题精选一、填空：（30分）

1、若16)3(22

+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、2

)(n x m x x -=++则m =____n =____

3、232y x 与y x 612的公因式是＿

4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式2353515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____)

)(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442

-+x x 的值为0，则51232

-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042

=+x x ，的解是________。二、选择题：（10分）

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a --

2、若2

)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（）

A 、m=—2，k=6，

B 、m=2，k=12，

C 、m=—4，k=—12、

D m=4，k=12、 3、下列名式：4

,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（）

A 、1个，

B 、2个，

C 、3个，

D 、4个 4、计算)10

11)(911()311)(211(2232----

的值是（） A 、

21 B 、

.,101.,201D C 三、分解因式：（30分）

1 、234352x x x --

2 、 2

633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x ---

4、22414y xy x +--

5、x x -5

6、13

-x 7、2

ax a b ax bx bx -++--2

8、81182

+-x x 9 、24369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x

四、代数式求值（15分） 1、已知3

2=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值

3、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值

五、计算：（15）

（1） 0.7566.24366.3?-? （2） 2000

2001

2121??

??+?

??- （3）2

244222568562?+??+?

六、试说明：（8分）

1、对于任意自然数n ，2

2)5()7(--+n n 都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）

经典四：因式分解一、选择题 1、代数式a 3b 2－

21a 2b 3, 2

1a 3b 4＋a 4b 3,a 4b 2－a 2b 4

的公因式是（） A 、a 3b 2 B 、a 2b 2 C 、a 2b 3 D 、a 3b 3

2、用提提公因式法分解因式5a(x －y)－10b ·(x －y)，提出的公因式应当为（） A 、5a －10b B 、5a ＋10b C 、5(x －y ) D 、y －x

3、把－8m 3＋12m 2

＋4m 分解因式，结果是（）

A 、－4m(2m 2－3m )

B 、－4m(2m 2

＋3m －1)

C 、－4m(2m 2－3m －1)

D 、－2m(4m 2

－6m ＋2)

4、把多项式－2x 4－4x 2

分解因式，其结果是（）

A 、2(－x 4－2x 2)

B 、－2(x 4＋2x 2)

C 、－x 2(2x 2＋4)

D 、－2x 2(x 2

＋2)

5、（－2）1998＋（－2）1999

等于（）

A 、－21998

B 、21998

C 、－21999

D 、21999

6、把16－x 4

分解因式，其结果是（）

A 、(2－x)4

B 、(4＋x 2)( 4－x 2)

C 、(4＋x 2)(2＋x)(2－x)

D 、(2＋x)3

(2－x)

7、把a 4－2a 2b 2＋b 4

分解因式，结果是（）

A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4

B 、(a 2－b 2)2

C 、(a －b)4

D 、(a ＋b)2(a －b)2

8、把多项式2x 2

－2x ＋

分解因式，其结果是（） A 、(2x －21)2 B 、2(x －21)2 C 、(x －21)2 D 、2

(x －1)2

9、若9a 2

＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（） A 、±4 B 、±2 C 、3 D 、4或2

10、－（2x －y ）(2x ＋y )是下列哪个多项式分解因式的结果（）

A 、4x 2－y 2

B 、4x 2＋y 2

C 、－4x 2－y 2

D 、－4x 2＋y 2

11、多项式x 2

＋3x －54分解因式为（）

A 、(x ＋6)(x －9)

B 、(x －6)(x ＋9)

C 、(x ＋6)(x ＋9)

D 、 (x －6)(x －9) 二、填空题

1、2x 2－4xy －2x = _______(x －2y －1)

2、4a 3b 2－10a 2b 3 = 2a 2b 2

(________)

3、(1－a)mn ＋a －1=(________)(mn －1)

4、m(m －n)2－(n －m)2

=(__________)(__________)

5、x 2－(_______)＋16y 2=( )2

6、x 2－(_______)2

=(x ＋5y)( x －5y)

7、a 2－4(a －b)2

=(__________)·(__________)

8、a(x ＋y －z)＋b (x ＋y －z)－c (x ＋y －z)= (x ＋y －z)·(________)

9、16(x －y )2－9(x ＋y )2

=(_________)·(___________)

10、(a ＋b )3

－(a ＋b)=(a ＋b)·(___________)·(__________)

11、x 2＋3x ＋2=(___________)(__________) 12、已知x 2

＋px ＋12=(x －2)(x －6)，则p=_______. 三、解答题

1、把下列各式因式分解。

(1)x 2－2x 3 (2)3y 3－6y 2

＋3y

(3)a 2(x －2a)2－a(x －2a)2 (4)(x －2)2－x ＋2

(5)25m 2－10mn ＋n 2 (6)12a 2b(x －y)－4ab(y －x)

(7)(x －1)2(3x －2)＋(2－3x) (8)a 2＋5a ＋6 (9)x 2

－11x ＋24

(10)y 2－12y －28 (11)x 2＋4x －5 (12)y 4－3y 3－28y 2

2、用简便方法计算。

（1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352 (3)1998

199619971997

3、已知：x ＋y=2

,xy=1.求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3的值。

四、探究创新乐园 1、若a －b=2,a －c=21,求(b －c)2＋3(b －c)＋4

的值。 2、求证：1111－1110－119=119×109

经典五：因式分解练习题

一、填空题：

2．(a －3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；

4．若m 2－3m ＋2=(m ＋a)(m ＋b)，则a=______，b=______；

5．当m=______时，x 2＋2(m －3)x ＋25是完全平方式．二、选择题：

1．下列各式的因式分解结果中，正确的是[ ]

A ．a 2b ＋7ab －b ＝b(a 2＋7a)

B ．3x 2y －3xy －6y=3y(x －2)(x ＋1)

C ．8xyz －6x 2y 2＝2xyz(4－3xy)

D ．－2a 2＋4ab －6ac ＝－2a(a ＋2b －3c) 2．多项式m(n －2)－m 2(2－n)分解因式等于[ ]

A ．(n －2)(m ＋m 2)

B ．(n －2)(m －m 2)

C ．m(n －2)(m ＋1)

D ．m(n －2)(m －1)

3．在下列等式中，属于因式分解的是[ ]

A ．a(x －y)＋b(m ＋n)＝ax ＋bm －ay ＋bn

B ．a 2－2ab ＋b 2＋1=(a －b)2＋1

C ．－4a 2＋9b 2＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b)

D ．x 2－7x －8=x(x －7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是[ ]

A ．a 2＋b 2

B ．－a 2＋b 2

C ．－a 2－b 2

D ．－(－a 2)＋b 2

5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是[]

A．－12 B．±24C．12 D．±12

6．把多项式a n+4－a n+1分解得[]

A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为[]

A．8 B．7 C．10 D．12

8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为[]

A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3

9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得[]

A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)

C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2

10．把x2－7x－60分解因式，得[]

A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得[]

A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得[]

A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得[]

A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1) D.(x2＋2)(x＋1)(x－1)

14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为[]

A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b) C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)

15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是[]

A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12

C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以

16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有[]

A．1个 B．2个C．3个 D．4个

17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为[]

A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)

C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)

18．下列因式分解错误的是[]

A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)

C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1) 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为[]

A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数C．相等的数 D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是[]

A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2 C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8) 21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为[]

A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)

C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)2

22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果[]

A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y

C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy

三、因式分解：

1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；

4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；

6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；

8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；

四、证明(求值)：

1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．

3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．

5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．

6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．

初中数学因式分解练习题(含答案)

因式分解练习题一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是[] A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于[] A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是[] A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是[] A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是[] A．－12 B．±24 C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得[] A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为[] A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为[] A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得[] A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)

初二数学因式分解技巧

因式分解技巧方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

人教版初中数学因式分解专项训练及答案

人教版初中数学因式分解专项训练及答案一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】【分析】利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【详解】解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误．

故选：C．【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 4．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为() A．60 B．30 C．15 D．16 【答案】B 【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】 ∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6， ∴2（a+b）=10，ab=6，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a） =6×5 =30．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键． 5．把多项式分解因式，正确的结果是（） A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b） C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2+b2 【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式【详解】解：A. 4a2+4a+1=（2a+1）2，正确； B. a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误； C. a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故此选项错误； D. （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故此选项错误；故选A 6．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )

(完整)初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.

初一数学因式分解练习题

1 因式分解练习 1、分解因式 (1) bc ac ab a -+-2 (2) 1+--y x xy (3) y y x x 3922--- (4) yz z y x 2222--- 2、分解因式 1) 3223y xy y x x --+ 2) b a ax bx bx ax -+-+-22 3) 181696222-+-++a a y xy x 4) a b b ab a 4912622-++- 5) 92234-+-a a a 6) y b x b y a x a 222244+-- 7) 222y yz xz xy x ++-- 8) 122222++-+-ab b b a a 9) )1)(1()2(+---m m y y 10) )2())((a b b c a c a -+-+ 3、分解因式 1) 24142 ++x x 2) 36152+-a a 3) 542-+x x 4) 22-+x x 5) 1522--y y 6) 24 102--x x 4、分解因式： 1) 6752-+x x 2) 2732+-x x 3) 317102 +-x x 4) 10 1162++-y y 5、应用因式分解计算（1）2 998998016++ （2）987987987987 1232644565251368136813681368 ? +?+?+? 6、已知2 (1)()1a a a b ---=-，求 22 2 a b ab +-的值。思考题： 1、设n 为整数，用因式分解说明2 (21)25n +-能被4整除。 2、在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。

初中常用因式分解公式

初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。二．因式分解方法： 1、提公因法如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式最常用的公式：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。

浙教版七年级数学下册 4.1《因式分解》教案

《因式分解》教案教学目标： (一)教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．教学重、难点：教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系．教学难点：通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系．教学过程：一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．二、明确目标，互助探究： 1?想一想由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)

初一数学因式分解提高测试题

《因式分解》提高测试（100分钟，100分）姓名班级学号一选择题（每小题4分，共20分）： 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（）（A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 2．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是………………………（）（A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 3．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………（）（A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 4．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选是………………（）（A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 5.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（）（A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值二把下列各式分解因式（每小题8分，共48分）： 1．x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）；２．（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25；解：解： 3．2xy ＋9－x 2－y 2；４．322)2()2(x a a a x a -+-；解：解：

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

初一数学《因式分解》练习题

因式分解练习课精读定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。理解因式分解的要点：1是对多项式进行因式分解；2每个因式必须是整式；3结果是积的形式；4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。例1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）()()1122+-+=+-y x y x y x ；（2）()()2122--=+-x x x x ；（3）232236xy xy y x ?=；（4）()()()()221a y x a x y y x --=-+-； 1. 提公因式法——形如ma mb mc m a b c ++=++() 2. 运用公式法——平方差公式：a b a b a b 22-=+-()()，完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±() 3. 十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()() 4. 分组分解法（适用于四次或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。例2、因式分解（本题只给出最后答案）(1) ;823x x - (2) .9622224y y x y x +- (3) ;6363223abc c a b a a --+ (4) () .42 22222a c b c b -+- (5) 121164+--n n a b a =14(2)(2)n a b a b a -+- (6) ;361222422y xy y y x +-- (7) . 2939622++-+-y x y xy x 例3、因式分解（本题只给出答案）1、()();742--+x x =(3)(5)x x +- 2、()();563412422++---x x x x 3、()()()()566321+--+-x x x x 4、().566)67(22+--+-x x x x 小结： 1、因式分解的意义左边 = 右边 ↓ ↓ 多项式整式×整式（单项式或多项式）

初二数学人教版因式分解_讲义

初二数学因式分解辅导教案因式分解的常用方法第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且

，则的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解：三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：

初一数学下册因式分解.doc

实用标准文档因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) （ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2 （ 3）立方和公式：（ 4）立方差公式：例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c 三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = (am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！ =(m n)(a b) 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b) =( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y) 练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1

初中数学利用公式法(完全平方公式)因式分解

初二数学利用公式法（完全平方公式）因式分解设计思路：教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。教学过程：师生问好，组织上课。师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？生1：（答略）师：你能用符号语言来表示这个公式吗？生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2 （a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？生齐答：两个。师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)2 4a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略）师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4）问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？生3：（答略）

师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有： a2＋2ab＋b2=（a＋b）2 a2－2ab＋b2=（a－b）2 （板书）问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？生齐答：因式分解。师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。（经过讨论之后）生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。生5：左边有两项能够写成平方和的形式。师：说得很好，其他同学有没有补充的？生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？生6：不是，而是刚才两项的底数。师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负

初一数学因式分解习题精选

初一数学上因式分解练习题精选一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式2353515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232---- 的值是（） A 、21 B 、20 11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5

初二公式法因式分解练习题

14.3.2公式法因式分解练习题思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。例1、分解因式：（1）x2-9 （2）9x2-6x+1 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。例2、分解因式：（1）x5y3-x3y5（2）4x3y+4x2y2+xy3 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、分解因式： (1)4x2-25y2 (2)4x2-12xy2+9y4 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、分解因式: (1)x4-81y4 (2)16x4-72x2y2+81y4 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。例5、分解因式：（1）-x2+(2x-3)2 (2)(x+y)2+4-4(x+y) 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1) 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。例7、分解因式：(x2+4)2-16x2

初一数学因式分解练习题

初一数学因式分解练习题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。左边 = 右边 ↓ ↓ 多项式整式×整式（单项式或多项式）理解因式分解的要点： 1是对多项式进行因式分解； 2每个因式必须是整式； 3结果是积的形式； 4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。（1）()()1122+-+=+-y x y x y x ；（2）()()2122--=+-x x x x ；（3）232236xy xy y x ?=；（4）()()()()221a y x a x y y x --=-+-； 1. 提公因式法——形如ma mb mc m a b c ++=++() 把下列各式分解因式（1） x 2yz －xy 2z ＋xyz 2 （2） 14pq ＋28pq 2 （3） 4a 2b －8ab 2 （4）－8x 4－16x 3y （5）3a 2b －6ab ＋6b （6）－x 2＋xy －xz （7）－16y 4－32y 3＋8y 2 （8）(2a ＋b)(2a －3b)－3a(2a ＋b) （9） x(x ＋y)(x －y)－x(x ＋y)2 （10）(m ＋n)(p ＋q)－(n ＋m)(p －q) （11）x(a －b)－y(b －a)＋z(a －b) 2. 运用公式法——平方差公式：a b a b a b 22-=+-()()，完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±() 思想方法（1）直接用公式。如：x 2－4 a ab b a b 222 442++=+() （2）提公因式后用公式。如：ab 2－a ＝a （b 2－1）＝a （b+1）（b －1）（3）整体用公式。如： ()()[()()][()()]()( 222222322 a b a b a b a b a b a b a b +--=++-?+--=-

初二数学必考知识点大全_公式总结

初二数学必考知识点大全_公式总结初二数学必考知识点大全初二数学知识点 (一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 (二)平方差公式 1.平方差公式 (1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 (三)因式分解 1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 (四)完全平方公式 (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。上面两个公式叫完全平方公式。 (2)完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 (3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 (4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 (5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式. 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式. 原式=(am +an)+(bm+ bn) =a(m+ n)+b(m +n)

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

七年级数学因式分解练习题及答案

七年级数学因式分解练习题及答案一、选择 1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是 A.a=ax+ay B. x-4x+4=x+4 C. 10x-5x=5x D. x-16+3x=+3x 2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是 A. x-y B. x+2x C. x+y D. x-xy+1 3.多项式6xy-3xy-18xy分解因式时，应提取的公因式是 A.xy B.3xy C.xy D.3xy 4.多项式x+x提取公因式后剩下的因式是 A. x+1 B.x C. x D. x+1 5.下列变形错误的是 A.-x-y=- B.= - C. –x-y+z=- D.= 6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是 A. –xy B.x+y C.-x+y D.x-y 7.下列分解因式错误的是 A. 1-16a= B. x-x=x C.a-bc= D.m-0.01= 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是 A.x－xy

二、填空 9.ab+ab-ab=ab. 10.-7ab+14a-49ab=-7a. 11.3+2=___________ 12.x-y=____________. 13.-a+b= 14.1-a=___________ 15.99-101=________ 12422222222222223222222222223222223332222322222222B. x＋xyC. x－y D. x＋y2222 16.x+x+____= 17.若a+b=1,x-y=2,则a+2ab+b-x+y=____。222 三、解答 18.因式分解： ①?4x3?16x2?24x ②8a2?123 ③2am?1?4am?2am?1 ④2a2b2-4ab+2 ⑤2-4x2y2 ⑥2-4 19.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。

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