空间几何体的表面积与体积 示范教案

1.3 空间几何体的表面积与体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

整体设计

教学分析

本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.

教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.

关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.

柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.

与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.

值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.

三维目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.

2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.

重点难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.

教学难点：表面积和体积计算公式的应用.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？

思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

推进新课

新知探究

提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)

图1

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.

④学生思考圆台的侧面展开图的形状.

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧

面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).

图2 图3

圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).

点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).

图4

⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

S 圆柱表=2πr(r+l)???←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)???→?==r

r r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 提出问题

①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？

②比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；

V 锥体=

Sh 3

1(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.

②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？

讨论结果：

①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；

长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；

底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，

可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.

圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的3

1. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=

31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.

注意：不要求推导公式，也不要求记忆.

②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.

柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：

图5

应用示例

思路1

例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.

图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法.

分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D.

因为BC=a,SD=a a a BD SB 2

3)2(2222=-=-,

所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =?. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.

变式训练

1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.

解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为r

S π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(

r

S r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(2

4222

S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）

A.1∶2∶3

B.1∶7∶19

C.3∶4∶5

D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π

)∶［2)2(3r π

·2h ］∶［2)3(3r π

·

3h ］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B

3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）

A.1∶2

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.

答案：B

例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

图7

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积. 解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2?+?+］-π(2

5.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.

答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.

点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.

变式训练

1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，

∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，

又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，

∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，

因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=m

m ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.

2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.

分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=?

x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值

32. 答案：3

2 例

3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）

图8

活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.

解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(2

10)2×10≈2

956(mm 3)=2.956(cm 3).

所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).

答：这堆螺帽大约有252个.

点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.

变式训练

如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）

图9

解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，

图10

在△ABG 中，∵EH ∥BG ， ∴BG EH AG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为

V 水=π3

1·3［(514)2+514×4+42］=25

876π立方分米, ∴所用的时间为25292325876ππ

=≈36.69秒. 答：所用的时间为36.69秒.

思路2

例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

图11

A.1

B.21

C.31

D.6

1 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.

分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=6

11213131=??=?PA S ABC .

图12

答案：D

点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.

变式训练

1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）

图13

A.318

B.315

C.3824+

D.31624+ 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

3×4×2+2×2

1

×4×32=24+38.

图14

答案：C

2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的

等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ） A.33π B.332π C.π3 D.3

π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3

33131

2ππ=???. 答案：A 3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

图15

（1）求该几何体的体积V ；

（2）求该几何体的侧面积S.

解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.

图16

（1）V=3

1×(8×6)×4=64. (2)设四棱锥侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，

在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)2

8(4)2(2222=+=+AB VO , 在△V AB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(

+=+BC VO =5. 所以此几何体的侧面积S=)582

124621

(2??+??=40+224. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.

例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）

图17

活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.

解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），

一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），

则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.

答：几何体的表面积为133.68 cm2.

点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.

变式训练

图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.

图18

分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.

解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2），

前面的表面积为12×8=8（cm2），左面的表面积为12×7=7（cm2），

则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).

答：此几何体的表面积为48 cm2.

知能训练

1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）

48 B.64 C.16 D.96

A.6

分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.

答案：B

2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案：C

3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ）

A.427

B.4

9 C.4327 D.439 分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=439334331

2=???

. 答案：D

4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍. 分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍. 答案：4 16

5.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?

图20

分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥. 解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.

三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以

AF=AG=

a 21.所以△AGF 的面积为28

1212121a a a =??.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为3248

1812131a a a =??. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481. 6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.

分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得??

???=

=,2,22r l S l πππ解得

r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=2

2S S =?ππ.

图21

答案：2

S 7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.

图22 图23

分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一

个直四棱柱，其底面积为ABC S ?43，高度为2a ，则V=ABC S ?4

3·2a ，∴h=a S a S ABC ABC 2324

3=???. 答案：a 2

3 8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.

分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得

6642h -=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3

π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π

9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）

图24 A.34000 cm 3 B.3

8000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3 分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=3

8000cm 3. 答案：B

拓展提升 问题：有两个相同的直三棱柱，高为a

2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.

探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：

四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48,

最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48?12a 2＜20?0＜a ＜3

15. 答案：0＜a ＜3

15 课堂小结

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.

2.应用体积公式解决有关问题.

作业

习题1.3 A 组 第1、2、3题.

设计感想

新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.

《长方体的表面积》教学设计

《长方体的表面积》教学设计 丘北县双龙营镇中心小学校——肖正国教学内容：长方体的表面积（人教版小学五年级数学下册第33、34的内容） 教材分析： 长方体的表面积这部分内容是在学生认识并掌握了长方体特征的基础上进行教学的。本课的教学内容包括三个方面：1、理解表面积的意义；2、探究长方体表面积的计算方法；3、联系生活，解决有关表面积的简单实际问题。本节课的教学难点在于，学生往往因不能根据给出的长方体的长、宽、高，想象出每个面的长和宽各是多少，以致于在计算中出错。教学中鼓励学生独立思考，合作交流，并运用多媒体帮助学生培养空间想象能力。通过多媒体演示长方体表面展开的过程，使学生把展开后每个面与展开前这个面的位置联系起来，更清楚地看出长方体相对的面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高之间的关系。这样，既帮助学生理解了表面积的意义，又为学习表面积的计算做好准备。 学情分析： 学生已经掌握了平面图形长方形面积的计算，初步认识了一些简单的立体图形，认识了长方体的特征。本节课在这些知识的基础上学习长方体的表面积，它是研究其它立体图形的基础。学生由认识平面图形到认识立体图形，是空间观念的一次飞跃，探究表面积的知识需要学生有一定的空间想象能力和发散思维能力。为此本节课充分运用多媒体技术，帮助学生克服认识上的难点，同时鼓励学生观察思考、合作交流，培养学生的自主探究能力。 教学目标： 1、通过观察操作，使学生建立长方体表面积的概念。 2、使学生初步学会长方体表面积的计算方法，并能根据实际情况计算物体的表面积。 3、建立空间观念，培养解决实际问题的能力。

教学准备：多媒体课件、长方体若干个。 教学重点、难点：重点是建立表面积的概念以及理解并掌握长方体表面积的计算方法。难点是根据给出的长方体的长、宽、高，想象出每个面的长和宽各是多少，迅速确定每个面的面积是多少。 教学方法：自主探索式尝试教学法引导分析法 学法：教会学生通过观察、思考，自主探究，引导学生掌握获取知识的方法，教学运用新知识来解决实际问题的方法。 教学过程： 一、复习导入 1、课件呈现“长方形的面积怎么计算？”，“左图的面积怎么求？”(请一位同学起来口述，并给予激励） 2、长方体有什么特征？（学生通过观察长方体，说出长方体有哪些特征，教师用动作显影呈现出它的特征。学生说完特征后，老师以“同学们对前面学过的知识掌握得非常牢固，那么下面让我们一起来继续学习长方体新的内容吧！导入课题“长方体的表面积”，请学生齐读课题）。 二、新课探究 1、建立长方体表面积的概念。 通过电子白板上课件中“长方体表面展开的视频演示”，引导学生观察并说说“你发现了什么？”让学生思考并回答之后，教师追问：“展开后六个面的面积和原来长方体表面的面积有什么关系呢？”（生：展开后六个面的面积和原来长方体表面的面积是相等的。）师：呈现问题“想一想，什么叫长方体的表面积呢？”（生：归纳并总结出长方体表面积的概念。） 2、探求表面积的计算方法。 师：长方体6个面面积的和就是长方体的表面积，那么我们就要会计算长方体每个面的面积，下面我们一起来看，计算长方体某个面的面积应该具备哪些条件呢？（引导学生根据长方体的长、宽、高，确定出每个面的长和宽，并计算出相对面的面积来）。 师：上面和下面的长和宽是长方体的什么？

人教A版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积教案新

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。 （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。 2、探究新知 （1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 （2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π r 1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和 体积公式汇总表 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：3a ； (3)对棱中点连线段的长：a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则 1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。

长方体的表面积教案

长方体的表面积教学设计 通泉第二小学缪骏超 一、教学目标 1、知识目标：让学生在操作、观察活动中，自主探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。能结合具体情境，解决生活中一些简单的问题体会数学与生活的联系。 2、能力目标:培养学生自主探索、合作交流的能力；丰富学生对现实空间的认识发展初步的空间观念。培养学生的动手操作能力和共同研究问题的习惯。 3、情感目标:调动学生学习的积极性，培养学生积极自主探索、互助学习的精神在评价中获取更多情感，同时学会欣赏他人；通过亲身参与探索实践活动，去获得积极的成功的情感体验；体验数学问题的探索性、感受数学思考过程的合理性并从中体验数学活动充满着探索与创造。 二、教学重、难点 重点:理解长方体表面积的含义；理解并掌握长方体表面积的计算方法。 难点:根据给出的长方体的长、宽、高,迅速确定每个面的长和宽，这也是正确计算长方体的表面积的关键。 三、教学用具： 长方体纸盒、长方体展开图等。 四、教学过程：教学过程： （一）、实物引入、提示课题、明确目标（创设问题情境） 师:同学们,昨天我们结识的朋友一一长方体,它要去做客,请大家帮它设计一件

漂亮的外衣，你们能帮助长方体实现它的愿望吗？ 生:能 师:请同学们拿出准备好的长方体和彩笔，想怎么给长方体穿才能显得它更加的漂亮？想好了吗？看谁在最短的时间设计的最合理。 生:动手操作。 师:停。说一说你是怎么涂的？ 生:有的穿的是条形的有的穿的是格格的还有的涂成一个色。 生:我是相对的两个面涂成了一种颜色。 师生:共同评价 师:谁能说说你涂了几个面他们的面积各是多少？ 生:我涂了一个上面。它是长方形。面积是长乘宽 12平方厘米。 生:的是前后两个面。它们分别是长方形，。面积是…… 二、自主探索、形成表象、建立概念(提出数学问题) (1) 感受长方体表面积的意义。 师:同学们说的非常好。刚才我们想对长方体的那些部分进行包装？ 生:长方体的6个面。 师:那么,什么是长方体的表面积呢？ 师:老师手中有一个展开的长方体，你发现了什么？ 生1:我发现原来的立体图形变成了平面图形。 生2:我发现长方体的外表展开后是由 6个长方形组成的。 师:说得对!请你把你刚才涂色的长方体，展开,看看展开后的形状，然后在展开后

立体图形表面积和体积教案

教学内容： 教科书第98页例4及做一做。 教学目标： 1．学生在整理、复习的过程中，进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，能灵活地计算它们的表面积和体积，加强知识之间的内在联系，将所学知识进一步条理化和系统化。 2．在学生对立体图形的认识和理解的基础上，进一步培养空间观念。 3．让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神 重点、难点： 1.灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。 2.沟通立体图形体积计算方法之间的联系。 教学准备： 课件 教学过程 一、回忆旧知，揭示课题一 1、谈话揭示课题。 师：昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习，今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。（板书：立体图形表面积和体积的整理与复习） 2、看到课题，你准备从哪些方面去进行整理和复习。（板书：意义、计算方法） 二、回顾整理、建构网络 1、立体图形的表面积和体积的意义。 （1）提问：什么是立体图形的表面积？你能举例说明吗？ （2）提问：什么是立体图形的体积？你能举例说明吗？ （3）教师小结：立体图形的表面积就是指一个立体图形所有的面的面积总和，立体图形的体积就是指一个立体图形所占空间的大小。 2、小组合作，系统整理――立体图形的表面积和体积的计算方法。 （1）独立整理。 刚才我们已经对立体图形的表面积和体积的意义进行了整理。下面，请同学们用

自己喜欢的方式，将对立体图形的计算方法进行整理。 （2）整理好的同学请在小组中说一说你是怎样进行整理的？ 3、汇报展示，交流评价 哪一个同学自愿上讲台展示、汇报你的整理情况。其余的同学要注意认真地看，仔细地听，待会对他整理情况说说你的看法或者有什么好的建议。（注意计算公式与学生的评价） 4、归纳总结，升华提高 （1）公式推导。 刚才，我们已经对立体图形表面积和体积的计算公式进行了整理。那么，这些计算公式是怎样推导出来的？请同学们选择1-2种自己喜欢的图形，自己说一说。（2）反馈：谁自愿来说一说自己喜欢图形表面积或者体积公式的推导过程。 根据学生的回答，教师随机用课件演示每种立体图形的体积计算公式的推导过程。还有没有不同的？ （3）教师小结：从立体图形的表面积和体积计算公式的推导过程中，我们不难发现有一个共同的特点：就是把新问题转化成已学过的知识，从而解决新问题，这种转化的方法、转化的思想，是我们数学学习中一种很常见、很重要的方法。（4）整理知识间的内在联系 ①同学们。我们已经对立体图形的表面积和体积计算公式进行了整理，并且也知道了这些公式的推导过程。那么，这些立体图形的表面积计算公式之间有什么内在联系？体积计算公式之间又有什么内在联系？对照自己整理的公式，想一想，然后把你想的法说给同桌听听。 ②反馈学生交流情况，明确其内在联系： a、立体图形的表面积计算公式的内在联系：长方体和圆柱体的表面积都可以用侧面积加两个底面积； b、立体图形的体积计算公式的内在联系：长方体体积计算公式推导出了正方体和圆柱的体积计算公式，也就是说正方体、圆柱的体积计算公式都是在长方体体积计算公式的基础上推导出来的；长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算；等底等高的圆柱体的体积是圆锥的3倍，等体积等高的圆柱体的底面积是圆锥的，等体积等底的圆柱体的高是圆锥的。

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

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空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：V=312a ； (3)对棱中点连线段的长：d= 2 a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ）

空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积 [基础要点] 1.圆柱的表面积公式： 2.圆锥的表面积公式： 3.圆台的表面积公式： 4.圆锥的体积公式： 5.棱锥的体积公式： 6.圆台的体积公式： 7.球的表面积公式： 8.球的体积公式： 题型一、柱体的体积、表面积公式 例1、直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积为12,Q Q ，求它的侧面积 变式：如图是一个平面截长方体得剩余部分，已知4,3,AB BC ==5,8AE BF ==, 12C G =,求几何体的体积 题型二、锥体、球体的体积和表面积公式 例2、正四面体棱长为a ,求其外接球和内切球的表面积 变式：一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： （1）圆锥的侧面积 （2）圆锥的内切球的体积 题型三、台体的表面积与体积公式 例3、如图，已知正三棱台111A B C ABC -的两底面边长分别为2和8，侧棱长等于6，求三棱台的体积V D1 O1C1 D C B1 B A1 A O H

变式：用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24㎝，下底半径为16㎝，母线长为48㎝，则矩形铁皮的长边长是多少？ 题型四、实际问题与几何体面积、体积的结合 例4、如图示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R ，正四棱台的上、下底面边长分别是2.5R 和3R ，斜高为0.6R ， （1）求这个容器盖子的表面积（用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计） （2）若R=2㎝,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg 可以涂1㎡，计算为100个这样的盖子涂色约需要多少千克。（精确到0.1kg ） 变式：某人买了一罐容积为V 升、高为a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底高度分别为,b c 的地方（单位：米），为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜灌口的方式拿回家，试问罐内液油最理想的估计能剩多少？ [自测训练] 1、已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则T S 等于（ ） A 、 19 B 、49 C 、 14 D 、 13 2、圆柱的轴截面是边长为5㎝的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为（ ） A 、10㎝ B 、 2 542 π+㎝ C 、52㎝ D 、2 51π+㎝ 3、棱锥的高为16㎝，底面积为2 512cm ，平行于底面的截面积为2 50cm ，则截面与底面的距离为（ ） A 、5㎝ B 、10㎝ C 、11㎝ D 、25㎝

新北师大版小学数学五年级下册长方体的表面积公开课优质课教学设计.doc

长方体的表面积 教学目标： 1、在操作、观察活动中，探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。 2、丰富对现实空间的认识，发展初步的空间观念。 3、结合具体情境，解决生活中一些简单的问题，体会数学与生活的联系。 教学重点： 在操作、观察活动中，探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。 教学难点： 探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法。 教学时数：2课时 教学过程： 一、探索长方体、正方体的表面积及其计算方法。 1、长方体的表面积及其计算方法。 师：请同学们仔细观察16页的长方体纸盒和它的展开图，完成下面两项活动。 （1）长方体的6个面分别对应于展开图的哪个部分？分别将它们涂上相应的颜色。 （2）展开图的各条边与长方体的长、宽、高有什么关系？在展开图的方框中填上适当的数。(3)估一估，做这样的一个纸盒至少需要用多少纸板？再算一算。 学生交流，小结长方体的表面积的计算方法。 （对于学生出现的不同的方法，教师都给予肯定，关键是让学生说清解题的基本思路，然后引导学生比较各种方法之间的联系。） 提示：在计算实物的表面积时，要根据实际选用不同的方法灵活计算。（要弄清物体的表面积是指哪些面的面积之和。） 2、正方体的表面积及其计算方法。 学生尝试探讨：教科书第16页“试一试”。 学生交流，小结正方体的表面积的计算方法。 二、课堂练习 1、教科书第17页“练一练”第1、3题。 学生独立完成，指名板演。

2、教科书第17页“练一练”第2题。 先让学生结合实际想一想，一个电视机布罩要做几个面，哪个面是不需要做的，再让学生尝试计算。 3、教科书第17页“练一练”第4题。 先让学生独立尝试计算再交流。 4、教科书第17页“练一练”第5题。 如果学生列综合算式有困难，允许分步计算。 5、教科书第17页“练一练”第6题。 让学生综合运用知识解决实际问题。

空间几何体的表面积与体积教学设计教案

空间几何体的表面积与体积教学设计教案 1、教学目标 1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 2、教学重点/难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导 3、教学用具投影仪等、 4、标签数学，立体几何教学过程 1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。

2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图： （4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高) 4、例题分析讲解（课本）例 1、例 2、例 35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为。 （答案：） 2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2352cm3）

空间几何体的表面积和体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =

《长方体的表面积》公开课教案

《长方体的表面积》公开教案教学目标：1、通过动手操作，理解长方体的表面积的意义，由此建立表面积的概念。 2、能根据现实情景和信息，通过动手操作、小组合作、 观察思考等方法，去探求长方体的计算方法，初步培养学生的探求意识和探求能力。 3、使学生感受数学与生活的密切联系，培养初步的数学应用意识，并在探究过程中获得积极的数学情感体验。 教学重点：理解长方体的表面积的意义，建立表面积的概念。 教学难点：掌握长方体的表面积的计算方法。教学流程： 一、复习旧知，引入新、复习长方体的特征。师：同学 们，我们上节已经认识了长方体，知道它们是 由 6 个长方形围成的立体图形。那么它们都有哪些特征？生：长方体有6个面，12条棱，8个顶点，相对的面完全相同（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的棱长度相等。 2、师：同学们说得真好，都已经掌握了长方体的特征。那么今天我们继续来研究长方体，一起来探究一下长方体的面。 二、实践操作、探究新知 、教学长方体表面积的概念。师：现在老师手中有一个长方体纸盒，昨天同学们回家也都做了一个，刚才我们说长方体有6 个面，他们分别是，（边说边指），那么如果我们沿着长方体

的某些棱剪开，再展开，会是什么形状呢？ 接下来学生动手剪（强调要求）师：请同学们仔细观察，展开后，你发现了什么？生：我发现原来的立体图形变成了平面图形。 生：我发现长方体展开后还是由6 个长方形组成的。师：同学们观察得真仔细！演示（实物展开后贴在黑板上）师：同学们，你们现在还能像中一样找到刚才指出的前面吗？后面又在哪里呢？你还能找出上、下、左、右分别在什么地方吗？ 生：能。师：那么请你们在自己的长方体展开图中标出上、下、左、右、前、后。 师：观察长方体展开图，回答下面的问题： （1）我们知道长方体有 6 个面，哪些面的面积是相等 的？ 生：前后面，左右面，上下面是相等的 师：为什么？ 生：长方体相对的面完全相同。 （2）每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？（同桌合作） 生：上、下每个面的长和宽是长方体的长和宽，每个面的面积是长x 宽；前、后每个面的长和宽是长方体的长和高，每个面的面积是长x 高；左、右每个面的长和宽是长方体的高和

空间几何体的表面积和体积(教案)

41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积 一．命题走向 由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 二．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。

P A D O 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF = 4 1S, V 1= 31h(S+4 1S+41?S )=127 Sh V 2=Sh-V 1= 12 5 Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型2：锥体的体积和表面积 例3．（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ，求四棱锥P －ABCD 的体积？ 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ， 于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。 ∴四棱锥P －ABCD 的体积V= 3 1 ×23×3=2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 例4．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ， DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ） A ．S 1S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 C

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。

分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：

即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……

人教版小学数学五年级下册 《长方体和正方体的表面积》教案

《长方体和正方体的表面积》教案 教学目标 1、知识与技能 结合具体情境，经历自主探索长方体和正方体的表面积的计算方法的过程。在活动中，进一步发展空间观念和数学思维。 2、过程与方法 让学生在操作、观察活动中，通过自主探究，理解长方体和正方体的表面积及计算方法，并能正确计算。 3、情感态度与价值观 调动学生的学习积极性，培养学生自主探索、互助学习的精神。 教学重点 理解并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。 教学难点 根据给出的长方体的长、宽、高，迅速确定每个面的长和宽，这也是正确计算长方体的表面积的关键。 教学准备 长方体和正方体纸盒、展开图、彩笔。 教学方法： 讲授法、实践法。 教学用具： 长方体、正方体纸盒、课件等。 教学过程： 一、创设情境、激发兴趣 1、课件出示： 口答填空。 （1）正方体有（）个面，它们都是（），正方体各面的（）相等。 （2）这是一个（），它的棱长是（）厘米，它的棱长之和是（）厘米。

一个长方体有（）个面，一般都是（），相对的面（）相等。 2、说一说长方体和正方体的区别？我们已经掌握了长方形和正方形的特征，它们的表面积都是6个面，今天就来研究它们表面的大小。（板书课题：长方体和正方体的表面积） 二、合作学习，自主探究 1、请同学们拿出准备好的长方体纸盒在上面分别标出“上”“下”“前”“后”“左”“右”六个面，边观察边回答下面的问题： 长方体有几个面？ 每个面都是什么形状？ 长方体有哪些面的形状是完全相同的？ 它们的面积怎么样？ 有几组面积相等的长方形？ 请同学们沿长方体纸盒的前面和上面相交的棱剪开。（出示课件） 2、请同学们拿出准备好的正方体纸盒，分别标出“上”“下”“前”“后”“左”“右”六个面，边观察边回答下面的问题： 正方体有几个面？ 每个面都是什么形状？ 正方体有几组面积相等的正方形？ 让学生分别沿正方体的棱剪开。（出示课件） 3、（课件展示）观察长方体展开图，看一看哪些面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系。 观察后，小组议一议。 引导学生总结长方体和正方体的概念。 教师板书：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 4、学习长方体表面积的计算方法。 （1）出示教材第24页的例1。 做一个微波炉的包装箱，至少要用多少平方米的硬纸板？ （2）学生读题，理解题意。

高中数学必修二 空间几何体的体积教案(高二数学)

高中数学必修二空间几何体的体积教案 教学目标： 1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题； 2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； 3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力． 教材分析及教材内容的定位： 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合． 教学重点： 柱、锥、台的体积计算公式及其应用． 教学难点： 运用公式解决有关体积计算问题． 教学方法： 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合． 教学过程： 一、问题情境 类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积． 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少． 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为 V长方体＝abc或V长方体＝Sh （这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．） 二、学生活动 阅读课本P65“祖暅原理”．

思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ 三、建构数学 1．柱体的体积． 棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积． V 柱体= sh 2．锥体的体积． 类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等． 13 V sh =锥体 3．台体的体积． 上下底面积分别是S’，S ，高是h ，则 1 (')3 V h S S =台体 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？ 4．球的体积． 一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等． 223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343 V R π=球． 四、数学运用 例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？ 分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量． 解：22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )42 V =??-??≈=， 所以螺帽的个数为

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 长。 2．旋转体的面积和体积公式 12

下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2 ，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2 得：x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9－ 29=2 9，

长方体的表面积教案

长方体的表面积教案 长方体的表面积教学设计 一、创设情景导入新课 在这个盒子红纸粘上红纸～求所需红纸的面积就是求什么,这节课我们就来学 习计算长方体的表面积。,板书课题,同时让学生拿出学具先观察然后动手摸一摸长方体的表面积。 二、探究新知( 同学们对长方形的面积都会计算了～那么整个长方体6个面的面积怎么计算呢,这节课我们就来学习这个内容( ,一,建立长方体表面积的概念( 1、教师提问:长方体有什么特征,,课件, 长方体有6个面～12条棱, 相对的面完全相同 ,用手按前、后～上、下～左、右的顺序摸一遍, 棱长分成三组～分别是4条长、4条宽、4条高 2、教师提问:你还记得长方形的面积公式吗,长方形的面积=长×宽 3、教师展开长方体表面积～分别标明“上”、“下”、“前”、“后”、“左” 、“右”6个面。,课件,让学生观察 后回答: A、长方体哪几组面的面积相等, B、长方体的每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系, 长方体上下每个面的长和宽就是长方体的, ,, 前后每个面的长和宽就是长方体的, ,。 左右每个面的长和宽就是长方体的, ,。 4、什么叫长方体的表面积呢,

板书:长方体6个面的总面积叫做它的表面积。 ,二,推出长方体表面积公式 如何求长方体的表面积呢,,课件, 1、议一议:长方体的上下每个面的面积:, ,×, , 长方体的前、后每个面的面积=, ,×, , 长方体的左、右每个面的面积=, ,×, , 长方体的表面积=,长×宽+长×高+宽×高,×2 S=,ab+ah+bh,×2 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 S=2ab+2ah+2bh 单位:厘米 2、考考你:根据所提供的条件～回答问题:,课件, 它的上下面是, ,形～长, ,厘米～宽, ,厘米。 6 4 它的左右面是, ,形～长, ,厘米～宽, ,厘米。 10 它的前后面是, ,形～长, ,厘米～宽, ,厘米。试求出它的表面积: ,三,、教学例1 做一个微波炉的包装箱,如下图,～至少要用多少平方米的硬纸板,求至少要用 多少平方米的硬纸板就是求什么, 提示:求至少要用多少平方米的硬纸板就是求什么,,长方体的表面积, 完成:上下每个面,长 ,宽 ,面积是。 前后每个面,长 ,宽 ,面积是。

苏教版必修二1.3《空间几何体的表面积和体积》word教案

1.3空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求柱 体、锥体和台体的全面积和体积，并且熟悉柱体、锥体与台体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展开过程，体验用平面的知识来研究空间几何体的性质的方法。 （2）让学生学会用比较方法，思考柱体、锥体、台体的面积和体积公式之间的关系. 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的应用价值，增强学习的积极性. 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体侧面积公式和体积公式的推导 三、教学方法与教学用具 1、教学方法： 启发式，探究. 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 （一）创设情境、导入新课 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 借助媒体投影，引导学生回忆，互相交流，教师归类. （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入新课. （二）师生互动、探究新知 1. 探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式或求法 （1）利用多媒体设备向学生投放长方体、椎体、台体的侧面展开图，引导学生得出棱柱、棱锥、棱台的表面积的一般求法. （2）组织学生分组讨论：这三类空间几何体的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评. 2. 探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式或求法 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: ）（圆柱表面积l r S +=π2（其中l 为母线长，r 为底面半径） )2rl r S +=（圆锥表面积π（其中l 为母线长，r 为底面半径） )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π