2414圆周角导学案

1

24.1.4圆周角

练习目标 1.了解圆周角的意义;2.会运用圆周角的定理及其推论进行计算或证明.

一、精心选一选

1．下列说法正确的是（ ）.

A ．顶点在圆上的角是圆周角

B ．两边都和圆相交的角是圆周角

C ．圆心角是圆周角的2倍

D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

2．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=30°，D 是弧AC 上任意一点，那么∠D 的度数是（ ?）.

A ．150°

B ．120° D ．100° D ．90°

3．如图,正方形ABCD 内接于⊙O ，P 是劣弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ?）.

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

4．如图所示，以平行四边形ABCD 的一边AB 为直径⊙O 过点C ，若∠AOC=110°，那么∠BAD 的度数是（

）. A ．125° B ．135° C ．140° D ．145°

二、细心填一填

5．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为a ，以腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D 点，则BD?的长为________．

6．如图，∠ACD=15°，且弧AB ＝弧BC ＝弧CD,则∠BEC=_______．

7．如图，AB 为圆O 的直径，弧BC ＝弧BD,∠A ＝25°，则∠BOD ＝______．

三、用心想一想

8.如图,AB 、AC 为⊙O 的两条弦,延长CA 到D,使AD ＝AB,如果∠ADB ＝35°,求∠BOC 的度数.

(第3题图) (第4题图)

(第5题图) (第8题图) (第9题图) (第6题图)

E

B

A (第7题图)

(第2题图) ?D O C B A C D O

B A (第8题图) C

E

D

?O

B

A

(第9题图)

9.如图,AB、AC是⊙O中两条相等的弦,延长CA到D,使AD＝AC,连结DB并延长交⊙O于E,连结CE.求证:CE是⊙O 的直径.

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《1.3.1圆幂定理》教学案3

《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A

第三章《圆》导学案

3.1 圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程 2、掌握垂径定理 3、会运用垂径定理解决有关问题 重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用 二、知识准备： 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。 三、学习内容：（阅读课本68-75，完成学案上的内容） 1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？ 探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？ 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理： 4、注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 5、给出几何语言 B

O F E D C B A A B F M D O 例1、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？ 例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。 ⑴求⊙O 的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。 四、知识梳理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 且平分弦所对的弧等。 五、达标检测： 1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则 2、已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点AEC =45°,则 CD 的长为 。 3. 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有_____= ， ____= ． T3 T4 T5 T6 4.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点. 5.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM. 6.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半为 ． 7.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___ 8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM 9.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB 和CD 的距离为 . 10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米， 求水面涨高了多少？ O A B P O P B M O A C D P A O C D B O A B

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通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

人教版九年级数学上册导学案：24.1垂径定理,圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习(无答案)

圆（一）垂径定理，圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习 学习目标：1. 理解垂径定理及其推论，并能应用于计算或证明。 2、理解圆心角、弧、弦、圆周角之间关系定理，并能应用于证明。 重点：垂径定理，圆心角、弧、弦、圆周角之间关系定理， 难点：运用所学的知识解综合题－白 【使用方法与学法指导】 1、课前学生复习课本圆心角、弧、弦、圆周角完成复习导入，整体把握本章知识；回顾导学案中的重点内容和未解决的问题，记录在导学案上，准备课上讨论质疑； 2、完成导学案中的综合练习，进一步巩固落实本节内容；学习小组讨论交流，然后进行展示，小组间互相点评，补充之后由老师进行点拨。最后通过当堂检测，巩固知识。 3、A层完成所有题目，带﹡的为BC层选作题。 一.知识回顾： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分。 2、在同圆或等圆中，两条、两条、两个、两个，这四组量中，只要有一组量相等，其余各组量都。 3、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的的一半；反之，相等，它所对的弧也相等。 4、直径（或半圆）所对的圆周角是；反之，90的圆周角所对的弦是。 5、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。 二、课前合作探究 1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（） A．60○B．45○ C．30○D．15○ 2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）． 4.如图，在⊙O中，弦AB=1．8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm． 5.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______ 6、如图，⊙O的直径AB的长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ABCD的面积。 三、课中知识巩固，能力提升 1.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______.

圆周角定理及推论知识点与练习

圆周角定理及推论知识点与 练习 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

圆周角定理及推论知识点与练习 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论： ①圆心在圆周角外 ②圆心在圆周角上 ③圆心在圆周角内 特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。 2、推论： ①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； ②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 ③半圆（直径）所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。 3、应用 （1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中； （2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等； （3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。 例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。求证：AD ∥BC 证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90o ∵AB ?=AB ?，∴∠C=∠D=2 1∠AOB=45o

图5 ∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90o, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45o ∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC 练习 一、选择题 1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（） Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（） Ａ．35 Ｂ．70 Ｃ． 110 Ｄ．140 o 4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是 （ ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80 5. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ） A ． 150 B ． 130 C ． 120 D ．60 6. 如图5，圆心角∠AOB=120?，P 是AB ?上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则 ∠BPC 等于（ ） A.45? B.60? C.75? D.85? 二、填空题 1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。 Ｅ

圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

圆周角学案

圆周角第二课时 班级：主备教师：单明波备课组长：领导批阅：上课时间：年月日 二次备课教师寄语 学习目标 （1）掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明； （2）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性． 重（难）点预见 重点：圆周角定理的推论的应用： 难点：推论的灵活应用以及辅助线的添加 学习流程 一、自学指导 1、自学教材85页后8行及86页内容解决下列问题 问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？ 问题2：在⊙O中，若= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否 得到= 呢？ 问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？ （2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角? 问题4：圆内接四边形有什么性质？圆内接四边形一个外角和内角有什么关系？为什么？ 2、分析、研究、交流、归纳 ①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若= ，则∠C=∠G；但反之不成立． 重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中” 指出：问题3这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟 练掌握． 二、自学检测 1、同弧或等弧所对的（）相等；在同圆或等圆中，相等的（）所对的（）也相等．都 等于这条弧所对的圆心角的一半 2、“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？ 3、半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦直径． 三、当堂训练 1、课本87页练习1题、2题、3题

2、如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；求BC，AD和BD的长． 说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形． （四）小结（指导学生共同小结） 知识：本节课主要学习了圆周角定理的几及其及推论． 推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握． 能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握． 教学反思 圆周角第二课时作业：课本88页 10.题 11.题 12.题 6题

圆周角导学案

24.1.4圆周角 学习目标： 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 重点、难点 重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 导学过程：阅读教材P84 — 85 , 完成课前预习 【课前预习】 1：知识准备 （1）什么叫圆心角？ （2）圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 2：探究1 圆周角： 在圆上，并且 都与圆相交的角叫做圆周角。 为了进一步研究上面发现的，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使 折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A 。由于点A 的位置的取法可能不同，这时折痕 可能会： （1） 在圆周角的一边上； （2）在圆周角的内部； （3）在圆周角的外部。

(1)证明：在⊙O 中，∵OA=OC (2)证明： (3)证明： ∴∠A=∠ 又∵∠BOC=∠A+∠C=2∠ ∴∠A=2 1∠BOC 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，都等于这条弧所 对的 ． 表达式： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 ． 表达式： 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 ． 表达式： 探究2： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 ， 这个圆叫做这个多边形的 圆内接四边形的对角 已知： 求证： 证明： 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD D A B

苏科版-数学-九年级上册- 圆周角 培优学案(二)

南沙初中初三数学教学案 教学目标： 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． 3.培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点、难点： 掌握圆周角定理几个推论的内容；会熟练运用推论解决问题． 教学过程： 一、复习：圆周角的定义和圆周角定理 二、探究: 1、请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它们的 大小有什么关系?你是如何得到的? 推论1:在同圆或等圆中，________或________所对的圆周角相等． 2、思考：“同弦或等弦”所对的圆心角相等吗？请同学们互相议一议． （1）（2）（3） 3、如图（2），BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断 的? 4、如图（3）如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?

O D C B A E O C B A 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是_________ 三、例题 例1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆 形?为什么? 例2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于于点E ，∠ACD =60°，∠ADC =50°。 求：∠CEB 的度数。 例3、已知：如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径。 求证：△ABE ∽△ACD ；

F E O C B A 例4、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC =AB ，BD 与CD 的大小 有什么关系?为什么? 例5、已知，如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，以AD 为直径作圆，与AB 、AC 分别相交于 点E 、F 。求证：AE ·AB =AF ·AC 四、课堂小结 五、课堂作业（见作业纸）

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

苏教版初三圆专题复习

无锡特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:

∴ 2PA PC PB =? （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分AB 。 即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：12Rt O O C ?中，2 22 2 1 122AB CO O O CO ==-； 2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::1:3:2OD BD OB =； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 十五 三角形外接圆 内切圆 三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是 三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形） 也可能在三角形上（如直角三角形） 过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆） B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E C B A D O B A O

北师大版数学九年级下册第三章圆教学案

课题：圆 【学习目标】 1、理解圆的描述定头，了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位 置关系 【重点难点】 重点：会确定点和圆的位置关系.。 难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼 光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。 【自主学习】（自学课本P65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形

3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗 【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1圆的集合定义（集合的观点） 2、圆的运动定义：_____________________________________________ （运动的观点） 圆心：----------------------------- 半径：_____________________________ 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ____________________ ”，读作 a ” 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到_____________ （圆心）的距离 都等于_______ 半径）； （2）到定点的距离等于_____________ 的点都在同一个圆上.

弧^i ; 弧的表示 半圆 -------------------------- ；等圆 等弧^τζ ----------------------- 优弧: 劣弧: ------------------------- ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P, 置关系若C)O 的半径为r, 点P 到圆心0的距离为d,那么: <=> 点P 在圆 【训练案】 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；(2)到点A 和点B 的距离都 点与圆有哪几种位 <=> 点P 在圆 1、设AB 二3cm,作图说明满足下列要求的图形: (1)到点A 和点B P

圆周角定理优秀学案

九年级数学 导学案 3.4 圆周角和圆心角的关系 主备人： 组名：班级：姓名： 【学习目标】 1.知识目标：理解并掌握圆周角的概念、圆周角定理及其推论； 2.能力目标：渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想；引导学生能主动 的通过“实验、观察、猜想、验证”的方法探索圆周角和圆心角的关系，培养学生合情推理能力、实践能力和创新精神，从而提高数学素养； 3.情感目标：激发学生的求知欲，让学生在学习中不断感受获得成功的喜悦。 【学习重难点】 重点：理解并掌握圆周角的概念、圆周角定理及其推论 难点：在探索圆周角和圆心角的关系的过程中提高数学素养 【学习过程】 （一）、温故知新： 1．圆：在平面上，到_______距离等于________的所有点组成的图形叫做圆。 圆的灵魂是：_____________________ 2．弦：连接_______上任意两点的_________叫做弦。 3．弧：________上任意两点间的部分叫做弧 4．圆心角：顶点在________上，角的两边与_________相交的角叫圆心角。 5．在____________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（即：____________） （二）、学习新知 1．什么是圆周角 A B ? 顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角叫圆周角→判断下列角是不是圆周角？

2.动手做一做： 弧AB只对应一个圆心角，那么弧AB能对应几个圆周角呢？想一想，动手画一画 一段弧对应无数个圆周角 3.猜一猜： AB所对的圆周角有什么关系，你能验证你的猜想吗？ （三）探索新知 4.证明：同一条弧所对的圆周角相等 情况一：情况二情况三 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 小结： 在这个证明过程中你学到了什么： →解决动态问题：由动到静，找到动静之间的联系; →动态问题要有：分类思想; →在分类讨论时：先特殊再一般，利用特殊情况下的结论证明其他情况;→多个角相等时可以通过设未知数屡清思路

圆周角及推论

课题：圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

北师大九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》导学案

课题3．4 圆周角和圆心角的关系（1） 一、问题引入： 1._________ 在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________． 3. 圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________． 二、基础训练： 1.(2014 湖南省长沙市) 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度； 2.(2014 湖南省郴州市) 如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°则 ∠ACB=_______. 3.(2014 湖北省宜昌市) 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（） A.∠ACD B. ∠ADB C. ∠AED D.ACB 三、课堂检测： 1.(2013 湖南省常德市) 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=__ _. 2.(2014 广西来宾市) 如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB=． 3.如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（）． A．64°B．48°C．32°D．76° 4.如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（）． 第3题图 第2题图 A B O C 第1题图 第3题图第4题图第1题图 第2题图

A．37°B．74°C．54°D．64° 5.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ O C A B 第5题图 6.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠C=100°,求∠BOD和∠A的度数． A O D B C

(完整)九年级数学下册圆小结与复习学案新版湘教版

第2章小结与复习 【学习目标】 1．梳理本章知识，构建知识体系． 2．巩固本章所学知识，加强对各知识点的熟练应用． 【学习重点】 对本章知识结构的总体认识． 【学习难点】 把握有关性质和定理解决问题． 情景导入 生成问题 知识结构我能建： 圆?????????圆的概念 圆的有关性质?????圆的对称性? ??? ?圆是轴对称图形——垂径定理圆是中心对称图形圆心角、弧、弦之间的关系 圆周角定理，圆内接四边形 与圆有关的位置关系??? ?? 四边形的外接圆，三角形的外接圆直线与圆位置关系——切线? ??? ?切线长定理三角形内切圆弧长与扇形面积的计算 正多边形与圆、作图与计算 自学互研 生成能力 知识模块一 圆的有关概念及性质的运用 【例1】 (黔南中考)如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为__4 5 __．

(例1图) (变例2图) (变例3图) 【变例1】已知P为⊙O内部一点且OP＝3，⊙O的半径R＝5，则过点P的⊙O的最短的弦长为__8__，最长的弦长为__10__． 【变例2】(包头中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝__28__°. 【变例3】如图，⊙O的半径为3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行于BC，则EF长为__2__． 知识模块二圆与切线 【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( B) A． 40°B．50°C．60°D．70°

《24.2.1 点和圆的位置关系》教案、导学案

24．2 点和圆、直线和圆的位置关系 《24．2.1 点和圆的位置关系》教案
【教学目标】 1．能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系． 2．学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 3．认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆． 【教学过程】 一、情境导入
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成 绩是由击中靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击 6 发子弹在靶上留下 的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算．(击中最里面的圆的成 绩为 10 环，依次为 9、8、…、1 环)
二、合作探究 探究点一：点和圆的位置关系 【类型一】判断点和圆的位置关系
如图，已知矩形 ABCD 的边 AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点 A 为圆心，4cm 为半径作⊙A，则点 B，C，D 与⊙A 的位置关系如何？ (2)若以点 A 为圆心作⊙A，使 B，C，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一 点在圆外，则⊙A 的半径 r 的取值范围是什么？

解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点 B 在⊙A 内；∵AD＝4cm，∴点 D 在⊙A 上； ∵AC＝ 32＋42＝5cm＞4cm，∴点 C 在⊙A 外．
(2)由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外．∴3cm＜r＜5cm. 【类型二】点和圆的位置关系的应用
如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一渔船误入危险区点 P 处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．
解：渔船应沿着灯塔 O 过点 P 的射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区．理 由如下：设射线 OP 交⊙O 与点 A，过点 P 任意作一条弦 CD，连接 OD，在△ODP 中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线 OP 方 向航行才能尽快离开危险区．
探究点二：确定圆的条件 【类型一】经过不在同一直线上的三个点作一个圆
已知：不在同一直线上的三个已知点 A，B，C(如图)，求作：⊙O，使 它经过点 A，B，C.
解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边 AB、 BC 的垂直平分线相交于点 O，以 O 为圆心，以 OA 为半径，作出圆即可．
解：(1)连接 AB、BC； (2)分别作出线段 AB、BC 的垂直平分线 DE、GF，两垂直平分线相交于点 O， 则点 O 就是所求作的⊙O 的圆心； (3)以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆． 方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握． 探究点三：三角形的外接圆

圆周角和圆心角的关系(第一课时)公开课学案[1][1]

圆周角和圆心角的关系（第8周第一课时） 学习目标: 1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2、学习重点:圆周角的概念和圆周角定理 3、学习难点: 圆周角定理的证明中由“特殊到一般”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想． 学习过程: （一）复习填空，导入新知： 顶点在圆心的角叫________,圆心角的度数_______它所对弧的度数。 （二）学生探究，教师引领： 1、圆周角定义： 。 圆周角必须具备两个条件：①顶点在________，②两边_________（缺一不可） 2、下列图形中的角是不是圆周角？ 3、动手探索 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图, 人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E 问题1：同学乙、丙、丁三人的视角(∠ACB 、ADB 和 ∠AEB 有什么特点?它们大小之间有什么关系？ 问题2：同学甲的视角∠AOB 的视角与乙、丙、丁三 人的视角相同吗？他们有什么关系呢？ ① 分别量一下 所对的圆周角∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 的度数,比较一下，再改变 圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？ ∠ACB=________、∠ADB=_______、∠AEB=_______ ② 再量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？ 用量角器量一量∠A0B=______, 4、归纳圆周角定理 在_____或____中，同弧或等弧所对的______相等．都等于这条弧所对的圆心角的____． 5、圆周角定理的推论 半圆（或______）所对的圆周角是_______; 90°的圆周角所对的弦是__________． 乙

圆周角定理及推论

24.1.4 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．