泛函分析第七章 习题解答125
第七章习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2.设],[b a C ∞
是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑
=d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞
=1。
证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1
),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n
x x d 1
),(10<
。设,0),(110>-=x x d n
δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集
显然B o n n ??∞
=1
。若n n o x ∞
=?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n
x x d 1
),(1<
，因此)(∞?→??→?
n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞
=1
。
4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离。
证明（1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。 5.证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈的充要条件为n f 的各阶导数在
[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。
证明若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈，即
)()(1)
()(max 2
1
),()
()()()
(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑
——>0)(∞?→?n 因此对每个r ，)()(1)()(max 2
1
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b
t a r r -+-≤≤∞
=∑——>0)(∞?→?n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0)(∞?→?
n ，即)()
(t f r n 在[a ，b]上一致收敛于)()(t f r 。 反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使
2211ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n -00
,2,1,0,2r r r =<ε，取N=max{N N N 1}，当n>N 时，)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤
≤≤∞
=∑ 即),(n f f d ——>0)(∞?→?
n 。 6.设],[b a B ?，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。
证明记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞
>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集
充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f B
t ∈=。设
0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集
必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→?n ，必有B t ∈0。
倘若B t ___
0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此A t f o ∈)(由于A 是开集，
必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈。定义，n=1，2。。。。。则)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n 因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对任意B t ∈，有a t f n <)(矛盾因此必有B t ∈0。
7.设E 及F 是度量空间中的两个集，如果o F E d >),(，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。 证明设o F E d >=δ),(。令}2
),(|{},2),(|{δ
δ
===
=F x d x G E x d x o
则,,G F O E ??且Φ≠?G O ，事实上，若Φ≠?G O ，则有
Φ
≠?∈G O z ，所以存在E 中的点x 使
2),(δ〈z x d ，F 中点y 使2
),(δ
〈z y d ，于是δ〈),(),(),(z y d z x d y x d +≤，此与≥),(y x d ），（F E d δ=矛盾。
8.设B[a ，b]表示[a ，b]上实有界函数全体，对B[a ，b]中任意两元素f ，g ∈B[a ，b]，规定距离为
|)()(|sup ),(t g t f g f d b
t a -=≤≤。证明B[a ，b]不是可分空间。
证明对任意∈0t [a ，b]，定义{
)},[,2),[,1)(00b t t t a t t f o t ∈∈= 则)(0t f t ∈B[a ，b]，且若21t t ≠，1),(21=t t f f d 。倘若B[a ，b]是不可分的，则有可数稠密子集{}
n g n ∞=1
，对
任意∈0t [a ，b]，)2
1,(0
t f U 必有某
n g ，即2
1
),(0<
t n
f
g d 。由于[a ，b]上的点的全体是不可数集。这样必有某n g ，21,t t ，使n g ∈)21,(1t f U ，n g ∈)21,(2t f U ，于是12
121),(),(),(2121=+<+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与
1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]不是可分空间。
9.设X 是可分距离空间，?为X 的一个开覆盖，
即?是一族开集，使得对每个X x ∈，有?中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从?中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。
证明若X x ∈，必有?∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O n
x U ?)1,(。
设
{}
n x n ∞
=1是X 的可数稠密子集，于是在)21,
(n x U 中必有某)21,(n x U k ，且x k O n x U ?)21
,(。。事实上，若
)21,(n x U y k ∈，则n
n n x x d x y d x y d k k 12121),(),(),(=+<+≤所以)21
,(n x U y k ∈x O ?。
这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使)21,(n x U x k ∈且存在O n x U k ?)21,(任取覆盖)21
,(n
x U k 的O ，记为n k O ,是X 的可数覆盖。
10.X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A
y ∈=∈证明)(x f 是X 上连续函数。
证明若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使200)(2
),(inf ),(εε
+=+
<∈x f y x d y x d A
y o 。取
02>=εδ。则当δ<),(0x x d 时，ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o
因此ε<-)()(0x f x f 。由于x 与0x 对称性，还可得ε<-)()(0x f x f 。于是ε<-|)()(|0x f x f 。这就证明了
)(x f 是X 上连续函数。
11.设X 为距离空间，21,F F 是X 中不相交的闭集，证明存在开集21,G G 使得221121,,F G F G G G ??Θ=?。 证明若1F x ∈，则由于2F x ?，2F 为闭集，必有0>x ε，使Θ=?2),(F x U x ε，令)2
,
(1
1x
F x x U
G ε∈= ，类似
)2
,
(2
2y
F x y U
G ε∈= ，其中Θ=?1),(F y U y ε，显然21,G G 是开集，且2211,F G F G ??。倘若,21Θ≠?G G ，
则必有,1F x ∈2F y ∈，使Θ≠)2
,
()2
,
(x
y
x U y U εε 。设)2
,
()2
,
(x
y
x U y U z εε ∈。不妨设y x εε≥，则
x y
x
y x y z d z x d x y d εεεεε≤+
<
+≤≥2
2
),(),(),(因此),(x x U y ε∈，此与Θ=2),(F x U x ε矛盾。这就证明了
Θ=?21G G 。
12.设X ，Y ，Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z 中的连续映射，证明复合映射
))((())(.(x f g x f g =是X 到Z 中的连续映射。
证明设G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 中的连续映射，所以)(1
G g -是Y 中开集。又f 是X 到Y 中的连续映射，故
))((11G g f --是X 中的开集。这样))(()().(111G g f G f g ---=是X 中的开集，这就证明了g 。f 是X 到Z 的连续
映射。
13.X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合})(,|{c x F X x x ≤∈和集合
})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集。
证明设f 是X 上连续的实函数，又对每一实数c ，G=（c ，∞）是开集，于是})(,|{)(1
c x F X x x G f
>∈=-是
开集。这样})(,|{c x f X x x ≤∈=})(,|{c x f X x x C >∈是闭集。同理})(,|{c x f X x x ≥∈是闭集。反之，若对每个实数c ，})(,|{c x f X x x ≥∈和})(,|{c x f X x x ≤∈都是闭集，则})(,|{c x f X x x <∈和
})(,|{c x f X x x >∈都是开集。设G 是直线上的开集，则 ∞==1
),(i i i b a G 或 n
i i i b a G 1
),(==，其中),(i i b a 是G
的构成区间。不妨设 ∞
==
1
),(i i
i
b a G 于是
}))(,|({}))(,|({})(,|{)(1
1
1
i i i i i i b x f X x x a x f X x x b x f a X x x G f <∈>∈=<<∈=∞
=∞
=- 是开集。因此f 是连
续的实函数。
14.证明柯西点列是有界点列。
证明设{n x }是X 中的柯西点列。对1>0，存在N ，使当n ，m N ≥时，.1),( 1}),({max 1+<=≤≤N i N i x x d M 则对任意n x 有M x x d N n ≤),(。因此{n x }是有界点列。 15.证明第一节中空间S ，B （A ），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。 证明（1）S 是完备的度量空间 设{n x }是S 中的柯西点列，),,(.)() (2)(1 n i n n n x ξ ξξ =对每一个固定的i ，由于 )0(0212>->--t t t i i ，因此对任意,0>ε存在0>δ，当δ≤≤t 0时ε<-t t i i 212，对此0>δ，存在n ，m N ≥时，δξξξξ<-+-=∑∞ =1)()()()(||1||21),(i m i n i m i n i i m n x x d ，因此δξξξξ<-+-∑∞ =1)()()()(||1||21i m i n i m i n i i ，从而||)()(m i n i ξξ-〈εδ δ <-i i 212。这样对固定的i ，∞=1)(}{n n i ξ是柯西点列。设)() (∞>->-n i n i ξξ。令),,(21 i x ξξξ=，故有S x ∈，且对任意给 定o >ε，存在0i ，使 ∑∞ +=<1022 1i i i ε。存在),1(,0i i N i ≤≤使i N n >时，0) (2||i i n i εξξ<-。于是当},max {01i N N N n =>时，∑ ∞ =-+-< 1 )()(||1||21 i n i i n i i i ξξξξ≤ ∑=-+-0 1)()()(||1||21i i m i n i m i i i ξξξξ+∑∞ +=10 21 i i i 〈 εε ε =+ 2 .200 i i 所以{n x }按S 的距离收敛于x （2）B （A ）是完备的度量空间 设∞ =1}{n n x 是B （A ）中的柯西点列，任意0>ε，存在N ，使当n ，m N ≥时ε<),(m n x x d 。这样对任意A t ∈， ε<-≤-∈|)()(|sup |)()(|t x t x t x t x m n A t m n 。因此对固定的t ，{)(t x n }是柯西点列。设))(()(∞>->-n t x t x n ， 由于n ，m N ≥时ε<-|)()(|t x t x m n ，令∞>-m ，得ε≤-|)()(|t x t x n ，这样ε+≤|)(||)(|t x t x n ，于是 +∞<+≤ε|)(|sup |)(|sup t x t x n 故x ∈（A ）， 且n 〉N 时，ε≤-∈|)()(|sup t x t x m n A t 。这就证明了按B （A ）中距离收敛于x 。 （3）离散的度量空间（X ，d ）是完备的度量空间 设∞ =1}{n n x 是X 中柯西点列，则对 21>0,存在N ，当n ，m N ≥是21),( 1 ),( l 与C （0，1]的一个子空间等距同构。 证明若),,(21 i x ξξξ=∞ ∈l ，定义]1,0(],1,0(),(∈∈t C t x T ， 若),,(21 i x ξξξ=∞ ∈l ，),,(21 i y ηηη=∞∈l ，则 ),(|),(),(|sup ||sup ),(] 1,0(Ty Tx d t y T t x T y x d t i i =-=-=∈ηξ因此T 到∞l 到（0，1]的子空间的一个同构映射，即∞ l 到（0，1]的一个子空间等距同构。 17.设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何 F y x ∈,)(y x ≠，有),(),(y x d Ay Ax d <。证明映射A 在F 中存在唯一的不动点。 证明定义F 上的函数f （x ）=d （Ax ，x ）。由于 ),(2),(),(|),(),(||)()(|y x d y x d Ay Ax d y Ay d x Ax d y f x f <+≤-=-因此f 是F 上的连续映射，因F 是有界 闭集，必有F x ∈0，使)(min )(00x f x Ff x F x ∈=∈。 我们先证明0)(0=x f ，若0)(0≠x f ，则00x Ax ≠。记01Ax x =，则02 1x A Ax =，于是 )(),(),(),()(000002111x f x Ax d Ax x A d x Ax d x f =<== 此与)(0x f 是f 的最小值矛盾。故0),(00=x Ax d 即0Ax =0x 若1x 是A 的另一个不动点，则),(),(),(101010x x d Ax Ax d x x d <=，矛盾。 18.设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映射，记),() ,(sup 11x x d x A x A d a n n z x n ≠= 若 ∞<∑ ∞ =n n a 1 ，则映射A 有唯一不动点。 证明因 ∞<∑ ∞ =n n a 1 ，则必有N ，使1 这样由压缩映射原理N A 有不动点* x ，即* x =N A * x 。由于N A * x =A N A * x =A * x ,A * x 也是N A 的不动点。N A 的不动点是唯一的，因此*x =A *x ，即* x 是A 的不动点。 若x ’是A 的任意一个不动点，即Ax ’=x ’。于是N A x ’=1 -n A x ’=…=Ax’=x’。这样x’也是N A 的不动点， 由于N A 的不动点是唯一的，因此* x =x’。即A 的不动点也是唯一的。 19.设A 为从完备度量空间X 到X 中映射，若在开球),(0r x U )0(>r 内适合 又A 在闭球}),(|{),(00r x x d x r x S ≤=上连续，并且.)1(),(00r Ax x d θθ-≤ 证明：A 在),(0r x S 中有不动点。 证明设n x =n A 0x ，2,1=n …。则 r x Ax d x A x A d x A x A d x x d n n n n n n n n )1(),(),(),(),(00102010101θθθθ-≤<<=----- 任给ε>0，存在N ，使N θr ε < ，这样若,n m >且N m n >,，有.)1()1()1(),(),(),(),(1 2 1 1211εθθ θθθθ θθ <<<-++-+-≤+++≤+++-+++r r r r r x x d x x d x x d x x d N n m n n m m n n n n m n 因此 } {1 n x n ∞=是柯 西列。设n x →* x )(∞→n ，因 r r r r r x x d x x d x x d x x d n i i n n n n n n n <-=-++-+-≤+++<∑=----)1()1()1()1(),(),(),(),(1 1012110θθθθθθθθ 因此 ),(),(00r x S r x U x n ?∈。这样),(lim 0*r x S x x n ∈=∞ >-。因为A 在),(0r x S 上连续。 *1*lim lim x x Ax Ax n n n n ===+∞ >-∞ >-，即*x 是A 在),(0r x S 中的不动点。 A 的不动点不一定是唯一的。例如X 是离散的度量空间。A 是X 中的恒等映射。在开球)1,(0x U 内只有0x 一点，自然满足条件.10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d 。而0),(00=Ax x d ，也满足.)1(),(00r Ax x d θθ-≤。但X 中每一点皆为A 的不动点。 20.设n k j a jk ,2,1,, =为一组实数，适合条件1)(2 1 ,<-∑=n j i ij ij a δ，其中jk δ当j=k 时为1，否则为0。证明：代 数方程组 对任意一组固定的1b ，,2b ，n b ，必有唯一的解1x ，2x ，n x 。 证明记定义n R 到n R 内的映射T ：TX=--AX+X+b 。设X ∈' X n R 则 由于 2 1 1 ,2))(∑=-n j i ij ij a δ<1,于是T 有唯一不动点*X ， 即****X b X AX TX =++-=，因此b AX =* 有唯一解* X 。 21.设],[b a V 表示[b a ,]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在],[b a V 中定义范数x =)()(x V a x b a +,证明],[ b a V 是Banach 空间。 证明],[b a V 显然是线性空间。下证],[b a V 是赋范线性空间。 1． 若∈x ],[b a V ，显然x ≥0。 若x =0，则)()(x V a x b a +=0，即)(a x =0，且)(x V b a =0。由)(x V b a =0可知x 在],[b a 上为常值函数，于是 0)()(=≡a x t x 2． 若∈x ],[b a V ，),,(+∞-∞∈λ 3． 若],[,b a V y x ∈， 其中)(y x V b a +)()(y V x V b a b a +≤的理由如下：对任意分划 ,:10b t t t a T n =<<<= ,)()()()())(())((1 11 11 1∑∑∑=-=-=--+-≤+-+n i i i n i i i n i i i t y t y t x t x t y x t y x 因此 )()(})()({sup })()({sup }))(())(({sup )(1 11 11 1y V x V t y t y t x t x t y x t y x y x V b a b a n i i i T n i i i T n i i i T b a +=-+-≤+-+=+∑∑∑=-=-=-再证],[b a V 是完备 的。 设}{n x 为],[b a V 中柯西列，对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时， ε<-+-=-)()()(m n b a m n m n x x V b x a x x x 。于是，ε<-)()(b x a x m n 。而对任意],(b a t ∈， ε<-≤---)())()(())()((m n b a m n m n x x V a x a x t x t x 从而εε2)()()()((<+-≤-a x a x t x t x m n m n 这就证明了{)(t x n }是],[b a 上一致收敛的函数列。设}{n x 一致收敛于x 。 由于n x 是],[b a 上右连续的函数，于是对任意),[0b a t ∈，.2,1),()(lim 00 ==→n t x t x n n t x 因为}{n x 在],[b a 上一致 收敛于x 。因此)()(lim )(lim lim )(lim lim )(lim 000 00 t x t x t x t x t x n n n t t n n n t x t x ====∞ →→∞→∞ →→→+ ++即x 亦在],[b a 上右连续。 对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时，m n x x -=ε<-+-)()()(m n b a m n x x V a x a x 对],[b a 上的任一分划b t t t a T l =<<<= 10:，有 ε<-=-≤---∑=--)()()())()(())()((1 11m n b a m n l i i m i n i m i n x x V a x a x t x t x t x t x 令∞→m ， ε≤---∑=--l i i i n i i n t x t x t x t x 1 11 ))()(())()((（*） 因此，从而].,[)(b a V x x x x n n ∈--=由（*）式及分点的任意性知，.)(ε≤-x x V n b a 从而 .2)()()(ε≤-+-=-x x V a x a x x x n b a n n 即}{n x 按],[b a V 中范数收敛于x 。这样我们就证明了],[b a V 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间。 22．设 ,,21X X 是一列Banach 空间，},,{21 n x x x x = 是一列元素，其中n n X x ∈，,,2,1 =n 并且 ,1∞<∑∞ =p n n x 这种元素列的全体记成X ，类似通常数列的加法和 数乘，在X 中引入线性运算。若令,)( 1 1 p p n n x x ∑ ∞ ==证明：当1≥p 时，X 是Banach 空间。 证明X 显然是线性空间。先证X 是赋范线性空间。 1． 若,),,(21X x x x ∈= 显然0≥x 。 若0=x ，则,0)( 11 =∑∞ =p p n n x 即对任意n ，0=n x 。于是0=n x ，从而0=x 。 2． 若X x x x ∈=),,(21 ，), ,(+∞-∞∈λx x x x p p p n n p n n λλλλ===∑∑∞ =∞ =11)()(1 1 3． 若,),,(21X x x x ∈= X y y y ∈=),,(21 ，则 n n p n n p n n p n n n p n n n y x y x y x y x y x p p p p +=+≤+≤+=+∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =1111))(())(())(()(1 1 1 1 再证X 是完 备的。设}{~i x 是X 中柯西列，其中.,2,1),,,() (2)(1~ ==i x x x i i i 对任意,0>ε存在0i ，使当0i j >时，,~ ~ ε<-j i x x 即ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1 ))(( 1 )()( 于是对每一个固定的}{,)(i n x n 是n X 中的柯西列。设.) ()(∞→→i n i n x x 令),,(21 x x x =，由于ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1))(( 1 )()(，因此对任意K ，ε<-∑=p p K n j n i n x x 1))((1 )()(，令∞→j 得 .1,1 )() (≥≤-∑=p x x p p K n j n i n ε 再令∞→K 得 .1,1 )(≥∞<≤-∑∞ =p x x p p n n i n ε 因此,~ X x x i ∈-从而X x x x x i i ∈--=)(~ ~ ，且由ε≤-∑ ∞ =p p n n i n x x 1 )( 1 )( 知~ i x 按X 的范数收敛于x 。由以上证明可知X 是Banach 空间。证毕。 23．设X 是赋范线性空间，X*X 为两个X 的笛卡儿乘积空间，对每个,*),(X X y x ∈定义,),(2 2y x y x += 则X*X 成为赋范线性空间。证明X*X 到X 的映射y x y x +→),(是连续映射。 证明设),)(,(),(00∞→→n y x y x n n 则 ),(02 2 ∞→→-+-n y y x x n n 于是).(0,000∞→→-→-n y y x x n n 所以，.0)()(0000→-+-≤--+y y x x y x y x n n n n 这就证明了y x y x +→),(是连续映射。 24．设A 是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个X X x *),(∈α， 定义,,2 2x x += αα 证明：x x αα→),(为X X *到X 中的连续映射。 证明设),,(),(00x x n n αα→同第23题一样可证 ),(,00∞→→→n x x n n αα由于}{n α收敛，必有0>M ，使.M n ≤α则 ).(0000000000∞→→-+-≤-+-≤-n x x x M x x x x x x n n n n n n n n αααααααα因此映射x x αα→),(是连续的。 25.C 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在C 中令,}{,sup C x x x x n i i ∈==证 明：C 是可分的Banach 空间。 证明由第七章§4例1知是Banach 空间。由定义易知C 是∞ l 中的线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证 C 是Banach 空间，由§4定理1，只要证C 是∞l 中的闭子空间即可。设 ,}{C x n ?).(0);,,(,);,,(21)(2)(1∞→→-=∈=∞n x x x l x x n n n n ξξξξ 对于任意,0>ε存在,N 使N n ≥时，有3 ε <-x x n 。特别地,3 ε < -x x N 即,3sup ) (ε ξξ< -i N i i 由于,C x N ∈因此存在,K 对任意,,K j i >.3 )()(ε ξξ<-N j N i 于是 .3 3 3 )()()()(εε ε ε ξξξξξξξξ=+ + < -+-+-≤-j N j N j N i N i i j i 于是}{i ξ是柯西列，即.),,(21C x ∈= ξξ 下面证明C 是可分的。 设.,2,1},,),,,,,,(|{1 =∈∈==n Q r Q r r r r r x x A i n n 则, C A n ∈C A n n ?∞ = 1 且 ∞ =1 n n A 是可数的。若对任意 ,),,,(1C x x x n ∈= 设.lim a x n n =∞ →对于任给的,0>ε存在,N 使当N n >时，必有2 ε < -a x n 。取有理数,r 使 .2ε <-r a 取有理数,,,,21N r r r 使.,,2,1,N i r x i i =<-ε令),,,,,,(1 r r r r y N =则,1 ∞ =∈n n A y 且 .},,,,,sup{12211ε<----=-+ r x r x r x r x y x N N N 故 ∞ =1 n n A 是C 的可数稠密子集。这就证明了C 是可 分的Banach 空间。证毕。 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。 4、设X按积空间 泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，,0()k p W Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G-微分 212 1222 1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=? 四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p p n T u W u u u L T R ? ∈=∈，有 1,p T W u C u ∞ ≤ 五. 设n R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2 R Ω?上的连续函数，证明积分算子 :()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω Ω→Ω=? 是全连续算子。 六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞?→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解 (,) (0)dx f t x dt x x ?=???=? 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足 ()()()(), t a w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤? 则 ()()exp(())exp(()) t t t a a s dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+??? 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。 九. 设:n n f R R R ?→连续，关于 x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n r B R ?使得 (0),[0, ]r x B t T ∈?∈时，1 (,),(,)0n i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解 (,) dx f t x dt ?=?? B、(A*)*=A** D、(aA)*= a A* x?X有 泛函分析考试试卷 、选择题。 1、下列说法不正确的是( ) A、n维欧式空间R n是可分空间 B、全体有理数集为 R n的可数稠密子集 C、 I a是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射，那么T在x°?x连续的充要条件是() A、当xm x o (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m) B、当 X n f x o (n ig)时，必有T X O T Tx n (n^m) C、当 X O T x n (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m) D、当 X n f x o (n^O)时，必有 Tx n f Tx o (n0) 答案：D 3、在度量空间中有() A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列 D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( ) A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、L p[a, b] (p》)是巴拿赫空间 C、空间l p是巴拿赫空间 D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D 5、下列对共轭算子性质描述错误的是( ) A、(A+B)*=A*+B*; C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 、填空题 1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集 M为 __________________ O 答案：原像T-1M是X中的开集 2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。 答案：连续算子。 3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切 答案：(Tx , x) =0 4、有界线性算子T的共轭算子T x也是有界线性算子，并且 答案：= 泛函分析期末考试试卷（总分100 分） 、选择题（每个 3 分，共15分） 列哪个式子成立（）. A．收敛点列的极限是唯一的B. 基本点列是收敛点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y 为完备的充要条件是 （ 5、设l p（1 p ）的共轭空间为l q，则有1 p 1 A. 1 B. C. 1 D. 2 二、填空题（每个 3 分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 1、设X 是赋范线性空间，x,y X ，T 是X 到X 中的压缩映射，则下 A．Tx Ty x y ，0 B. Tx Ty ，1 C. Tx Ty x y ，0 D. Tx Ty ，1 2、设X 是线性空间，x,y X，实数x 称为x的范数, 下列哪个条件 不是应满足的条件：）. A. 0, 且x 0等价于x0 B. x x , 为任意实复数 C. x y x D. xy xy 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）. C．基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列 ）. A．集X 是开的 B. 集Y是开的 C. 集X 是闭的 D. 集Y 是闭的 1的值为（ q ）. 3、l 1的共轭空间是（）。 4、设X 按内积空间 泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 就是赋范线性空间,X y x ∈,,T 就是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( )、 A.10<<-≤-αα， y x Ty Tx B 、1≥-≤-αα， y x Ty Tx C 、10<<-≥-αα， y x Ty Tx D 、1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 就是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不就是应满足的条件:( )、 A 、 0等价于0且,0==≥x x x B 、()数复为任意实,αααx x = C 、 y x y x +≤+ D 、 y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个就是错误的( )、 A.收敛点列的极限就是唯一的 B 、 基本点列就是收敛点列 C.基本点列就是有界点列 D 、收敛点列就是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件就是( )、 A.集X 就是开的 B 、集Y 就是开的 C 、集X 就是闭的 D 、集Y 就是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ,则有11p q +的值为( )、 A 、 1- B 、12 C 、 1 D 、 12 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都就是( )。 2、任何赋范线性空间的共轭空间就是( )。 3、1l 的共轭空间就是( )。 4、设X 按内积空间 课程编号： MTH17060 北京理工大学 2012-2013 学年第一学期 2010 级泛函分析试题（ A 卷） 一、（ 10 分）设 T 是赋范线性空间 X 到自身的线性映射。证明以下三条等价： （1） T 连续； （ 2） T 在零点连续； （3） T 有界。 二、（ 10 分）设 H 是 Hilbert 空间。证明： （1）若 x n x ，则对于任意固定的 y H ， x n , y x, y ； （2）若 x n x ， y n y ，则 x n , y n x, y 。 三、（ 10 分）设 H 是 Hilbert 空间， A B H 且存在 m 0 使得 2 x H , Ax, x m x ， 证明：存在 A 1 B H 。 四、（ 10 分）设 H 是 Hilbert 空间， M 是 H 的线性子空间 。证明： M 在 H 中稠密的充分必要 条件是 M 。 注： M 仅为 H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（ 15 分）设 C 0,1 为区间 0,1 上连续函数的全体，对于 f C 0,1 ， 令 fmax f x 。证明： x 0,1 （1） C 0,1 是完备的赋范线性空间，即 Banach 空间； （2）对于 t 0,1 ，令 F t f f t ，则 F t 是 C 0,1 上线性有界泛函，求 F 。 t 六、（ 15 分）设 f , f k L 2 0,1 , k 1,2,L ，且 f k f , a.e. 0,1 。证明： lim f k f 当 k 1 2 2 且仅当 lim f k f 0 f , f L 2 0,1 ，其中 f x dx 。 k 0,1 七、（ 15 分）设 f 1, f 2 是 Hilbert 空间 H 上的线性无关的线性有界泛函， M ker f 1 I ker f 2 。 证明：（ 1）M 是闭的线性子空间； （2）存在 y 1 , y 2 H 使得对于 x H ，有 x x 0 1 y 1 2 y 2 ，其中 x 0 为 x 在 M 上的正交 投影， 1, 2 ￡。（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。 ） 分）在 C 0,1 上分别令 x max x t , x 1 t dt ，其中 x C 0,1 八、（ 15 1 x 。 t 0,1 （1）分别证明 和 1 是 C 0,1 上的范数；（ 2）比较这两种范数的强弱； （3）它们是否等价？给出理由。 （要求使用两种方法） 注： 2010 级为闭卷 浙江省2009年10月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设f （x ）在E 上有定义，D 与D ′是E 的两个可测分划，D ′是D 的加细，s （D ′，f ）与s （D ,f ）分别表示f （x ）在E 上的两个Darboux 小和，则有（ ） A.s （D ,f ）≤s （D ′,f ） B.s （D ,f ）=s （D ′,f ） C.s （D ,f ）≥s （D ′,f ） D.不能确定 2.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是（ ） A.Q B.φ C.R D.R ＼Q 3.设{F n }是一列闭集，F = ∞=1 n F n ,则F 一定是（ ） A.开集 B.闭集 C.开集，也是闭集 D.不能确定 二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.可数个可数集的并集是不可数集.（ ） 2.若点集E 的任一个聚点属于E ，则E 一定是闭集.（ ） 3.设P 是Cantor 三分集，x ∈P ,则x 一定不是内点.（ ） 4.设A ,B 是R n 中的两个可测集,则A ∩B 不一定可测.（ ） 5.Dirichlet 函数是不可测函数.（ ） 6.设f （x ）是［a ,b ］上的单调函数,则f ′（x ）a.e 存在.（ ） 三、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设{}∞ =1n n A =1是一列单调递增的集列,则∞ →n lim A n =______. 2.设E ?R n 是开集,则CE 是R n 中______（开,闭）集. 3.Lebesgue 可测集可以表示为______集与零测度集的和集. 4.设f +（x ）与f -（x ）分别是f （x ）的正部与负部,则|f （x ）|用f +（x ）与f -（x ）表示为|f （x ）|=______. 5.设f （x ）在E 上Lebesgue 可积,则对任意可测子集A ?E ,?→A mA x f dx )(lim 0=______. 6.设F 1?R p ,F 2?R q 为闭集,则F 1×F 2是R p +q 中的______（开,闭）集. 7.设F n =［n 1,1-n 1］,n=3,4,…,则 ∞ =3n n F =______. 泛函分析考试试卷 一、选择题。 1、下列说法不正确的是（） A、n维欧式空间R n 是可分空间 B、全体有理数集为R n 的可数稠密子集 C、l∞是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0?X连续的充要条件是（） A、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞） B、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx0→Tx n（n→∞） C、当x0→x n（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞） D、当x n→x0（n→0）时，必有Tx n→Tx0（n→0） 答案：D 3、在度量空间中有（） A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列 D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（） A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、L p[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间 C、空间l p是巴拿赫空间 D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D 5、下列对共轭算子性质描述错误的是（） A、（A+B)*=A*+B*; B、(A*)*=A** C、当X=Y时,(AB)*=B*A* D、（aA)*=a A* 答案：B 二、填空题 1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为 。 答案：原像T-1M是X中的开集 2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。 答案：连续算子。 3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切x?X有。 答案：（Tx，x）=0 4、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且 T T 。 答案：= 5、设{f n}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{f n}在X的每点x处有界，那么{f n} 。 答案：一致有界 莆期末考试试卷（A）卷 2010—— 2011 学年第1学期 课程名称：泛函分析适用年级 / 专业07数学 试卷类别：开卷（√）闭卷（）学历层次：本科考试用时：120 分钟《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） % 是度量空间， T 是 X 到 Y 中的映射，x0X , 1. 设 X = ( X , d)， Y = (Y, d) 如果 _________________________________________________则,称 T 在x0连续。 2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性算子，如果 _______________, 则称 T 是 X 到 Y 中的无界线性算子。 3.设 X 是赋范线性空间，称为 X 的 Hilbert 空间。 4.设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系，若___________________________________则称 M 是 X 中的完全规范正交系。 5.设 X 是赋范线性空间， X 是 X 的共轭空间，泛函列 f n X (n1,2,L ) ，如果 则,称点列 f n弱*收敛于f。二、计算题（ 20 分） 叙述 l1空间的定义，并求 l 1上连续线性泛函全体所成的空间？。 三、证明题（共65 分） 1 、（ 14分）设 C[0,1] 表示闭区间 [0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y C[0,1]，令 d ( x, y)1 y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为度量空间。 | x(t) n 2、（12 分）证明R n按范数|| x || max |i|组成的赋范线性空间X与R n按范数|| x ||| i | i i1 试卷第 1 页共 2 页 o b 得 分 试卷一： 一、单项选择题（3 分×5=15 分） 1、1、下列各式正确的是（ ） ∞ ∞ ∞ ∞ （A ） lim A n = ? ? A k ; （B ） lim A n = ? ? A k ; n →∞ n =1 k =n n →∞ n =1 k =n ∞ ∞ ∞ ∞ （C ） lim A n = ? ? A k ; （D ） lim A n = ? ? A k ; n →∞ n =1 k =n n →∞ n =1 k =n 2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ） P = c (B) mP = 0 (C) P ' = P (D) P = P 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{ f n (x )} 是 E 上的a .e . 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若 f n (x ) ? f (x ) , 则 f n (x ) → f (x ) (B) sup { f n (x )} 是可测函数 n （C ） i nf { f n (x )} 是可测函数;（D ）若 f n (x ) ? n f (x ) ,则 f (x ) 可测 5、设 f(x)是[a , b ] 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f (x ) 在[a , b ] 上有界 (B) f (x ) 在[a , b ] 上几乎处处存在导数 （C ） f ' (x ) 在[a , b ] 上 L 可积 (D) ? a f '(x )dx = f (b ) - f (a ) 二. 填空题(3 分×5=15 分) 1、(C s A ? C s B ) ? ( A - ( A - B )) = 2、设 E 是[0,1]上有理点全体，则 E ' = , E = , E = . 3 、 设 E 是 R n 中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集 T 都 有 得 分 泛函分析期末考试试卷（总分100 分） 一、选择题（每个 3 分，共 15 分） 1、设X是赋范线性空间，x,y X ，T 是 X 到 X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A．Tx Ty x y ，0 1 B. Tx Ty x y ，1 C. Tx Ty x y ，01 D. Tx Ty x y ，1 2、设X是线性空间，x,y X ，实数x称为 x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. x 0, 且 x 00 B. x x , 为任意实复数等价于 x C. x y x y D.xy x y 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）. A．收敛点列的极限是唯一的 B.基本点列是收敛点列C．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间 X 的子集空间 Y 为完备的充要条件是（） . A．集 X 是开的 B. 集 Y 是开的 C.集 X 是闭的 D. 集 Y 是闭的 5、设l p(1p) 的共轭空间为 l q，则有1 1 的值为（）. p q A. 1 1 C. 1 1 B. D. 22 二、填空题（每个 3 分，共 15 分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、l1的共轭空间是（）。 4、设 X 按内积空间 莆 期末考试试卷 （A ）卷 2010 ——2011 学年第 1 学期 课程名称： 泛函分析 适用年级/专业 07数学 试卷类别：开卷（√）闭卷（ ） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟 《．考生．．注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．》． 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设X =(,)X d ，Y =(,)Y d %是度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0,x X ∈ 如果_________________________________________________, 则称T 在0x 连续。 2. 设X 和Y 是两个赋范线性空间，T 是X 到Y 中的线性算子，如果_______________, 则称T 是X 到Y 中的无界线性算子。 3. 设X 是赋范线性空间，_________________________________称为X 的Hilbert 空间。 4. 设M 是Hilbert 空间X 中的规范正交系，若___________________________________则称M 是X 中的完全规范正交系。 5. 设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=L ，如果_______________________________________________,则称点列{}n f 弱*收敛于f 。 二、计算题（20分） 叙述1l 空间的定义，并求1l 上连续线性泛函全体所成的空间？。 三、证明题（共65分） 1、（14分）设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令1 0(,)|()()|,d x y x t y t dt =-?证明(,)x d 成为度量空间。 2、（12分）证明n R 按范数||||max ||i i x ξ=组成的赋范线性空间X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑ 泛函分析考试试卷 、选择题。 1、下列说法不正确的是( ) A 、 n 维欧式空间R n 是可分空间 B 、全体有理数集为 R n 的可数稠密子集 C 、广是不可分空间 D 、若X 为不可数集则离散度量空间 X 是可分的 答案：D 2、设T 是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d ~)的映射，那么T 在x °?X 连续的充要条件是() A 、 当 X n ^X 0 (n is)时，必有 Tx n ^Tx o (n 宀① B 、 当 X n f X o (n fg) o f Tx n (n fg) C 、 当 x o f X n (n fg)时，必有 TX n f Tx o (n fg) D 、 当 X n f X o (n f 0)时，必有 TX n f Tx o (n f 0) 答案：D 3、在度量空间中有() A 、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B 、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列 D 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( ) A 、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B 、 L p [a , b] (p 》)是巴拿赫空间 C 、 空间l P 是巴拿赫空间 D 、 赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D 5、 下列对共轭算子性质描述错误的是( ) A 、(A+B)*=A*+B*; C 、当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 、填空题 1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为 Y 中的任意开集 M 为 _______________ O 答案：原像T -1M 是X 中的开集 2、设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子，则 T 为有界算子的充要条件是 T 是X 上的 。 答案：连续算子。 3、若T 为复内积空间X 上有界线性算子，那么 T=0的充要条件是对一切 答案：(Tx , x ) =0 4、有界线性算子T 的共轭算子T 地是有界线性算子，并且 答案：= 5、设｛f n ｝是巴拿赫空间X 上的一列泛函，如果｛f n ｝在X 的每点X 处有界，那么｛f n ｝ ______ 。 答案：一致有界 B 、(A*)*=A** D 、(aA)*= a A* x?X 有 北京航空航天大学 研究生应用泛函分析试题（2012年） 一、证明（0,1）为可列集。 二、（1）证明康拓三分集为不可列集。 （2）求康拓三分集的测度。 三、证明l p （1≤p<+∞）空间为距离线性空间。 四、证明任何n 维实赋范线性空间X 必与R n 现性同胚。 五、设M[a,b]是区间[a,b]上有界函数的全体按逐点定义的加法和数乘形成的现行空间。定义 sup (),()[,]a t b x x t x x t M a b ≤≤=?=∈ 证明M[a,b]按此范数构成Banach 空间 六、设X1，X2均为Banach 空间，在积空间X1×X2中定义范数 121,2(,)sup ,, 1,2i i i i x x x x X i ==∈= 证明X1×X2是一个Banach 空间。 七、（1）Hilbert 空间中最佳逼近元的存在性和唯一性如何？ （2）如何求x 在M 中的最佳逼近元？ 八、方程（I-T ）x=y 有解否？什么时候有唯一解？如何用迭代法求解？迭代法误差如何？ 九、M 是赋范线性空间X 中的一个闭超平面，当且仅当存在0≠f ∈X ’及r ∈R ，使得M={x ∈M|f(x)=r}。 十、证明如果X ’是可分的，则X 也可分。 十一、设X 是一个Hilbert 空间，则对任意y ’∈X ’,都有唯一y ∈X ，满足 ','()(,),y y y x x y x X ==?∈ 十二、三类谱 十三、设Y 是Banach 空间，则K(X,Y)是L(X,Y)的闭子空间。 十四、设T ∈L(X)是自伴的，则()T R σ?。 十五、证明F 可微必G 可微。 十六、（1）如何求f(x)=x3-x+1在[-2,-1]上的近似解？（2）证明你的方法的合理性。《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案
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