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圆锥曲线轨迹方程问题

纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，

主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没

有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高

考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。

圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生

心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。

一、考法解法

命题特点分析

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其

实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类

问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同

时具备一定的推理能力和运算能力。

高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨

迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型

（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处

理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问

题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理

解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要

等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式；

③转化化归。

解题方法荟萃

1. 直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。

直接法一般有下列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法。

例 1、一条线段 AB 的长等于 2a ,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？

解析：设 M 的坐标为（x,y ），由平面几何中的中线定理：在三角形 AOB 中，

OM =

1 AB = 1

? 2a = a ，∴ = a , x 2 + y 2 = a 2，所以 M 的轨迹为以 O 为圆心，a

2 2

为半径的圆。

x 2 + y 2

2 2. 定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，

则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。圆：到定点的距离等于定长轨迹集合。

椭圆：到两定点（焦点）的距离和等于定长（定长>两定点距离，否则为线段）的轨迹集合。

双曲线：到两定点（焦点）的距离差的绝对值（不加绝对值为双曲线一支）等于定长的轨迹集合。

抛物线：到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的轨迹集合。

例 2、已知?ABC 的顶点 A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

sin B + sin A = sin C ,

求点 C 的轨迹。

解析：由sin B + sin A = 5

sin C ,可知b + a = 4 5

c = 10，即 AC + BC 4

= 10，满足椭圆的 x 2

定义。设椭圆方程为

a 2 + y 2

b 2

= 1，则 a = 5, c = 4 ? b = 3，轨迹方程为 x + y 25 9

= 1(x ≠ ±5)。

3. 用参数法求曲线轨迹方程

参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t ，以此量作为

参变数，分别建立 P 点坐标 x ，y 与该参数 t 的函数关系 x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹

的普通方程 F （x ，y ）＝0.

例 3、过点 P （2，4）作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，若 l 1 交 x 轴于 A 点，l 2 交 y 轴于 B 点，

求线段 AB 的

中点 M 的轨迹方程。

4. 相关点法（代入法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐

标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。

例 4、M 是抛物线 y2=x 上一动点，O 为原点，以 OM 为一边作正方形 MNPO，求动点 P 的轨迹方程。

P(x, y)

O x

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

例 5、如图，已知抛物线C : y =x 2，动点 P 在直线l : x -y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B 两点. 求△APB的重心G 的轨迹方程.

0 y

P l

(x , x 2 )和(x , x 2 )((x ≠ x )

解析：设切点 A 、B 坐标分别为

，

∴切线 AP 的方程为：

2x 0 x - y - x 2

= 0;

6. 用点差法求轨迹方程：点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差.求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.点差法是解决椭圆与直线的关系中常用到的一种方法.点差法常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。利用点差法求轨迹方程时①注意：点差法的不等价性；（考虑Δ>0）②“点差法”常见

，?

题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题.在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

例 6、已知椭圆

2 +

y2= 1，

（1）求过点P

?2 1 ?

且被P平分的弦所在直线的方程；

2 ?

（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.

二、达标与拓展

基础过关（第1—5 题）

1.两定点 A（-2，-1），B（2，-1），动点 P 在抛物线 y=x2 上移动，则△PAB重心G 的轨迹方程是（）

1 2 2 1 1

A.y=x2-

B.y=3x2-

C.y=2x2-

D.y= x2-

3 3 3 2 4

解析：设 G（x,y），P（x0,y0）则x0=3x，y0=3y+2，代入 y=x2 得重心 G 的轨迹方程：3x+2=(3x)2。

答案：B

2 . 一动圆与圆 x2+y2=1 外切，而与圆 x2+y2-6x+8=0 内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）

A. 双曲线的一支

B. 椭圆

C. 抛物线

D. 圆

解析：设动圆圆心为 P（x，y），半径为 r，又圆（x-3）2+y2=1 的圆心为 F（3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知 P 点轨迹是双曲线的右支。

答案：A

3. 已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点，定点 M（-1，2），Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( )

A.2x+y+1=0

B.2x-y-5=0

C.2x-y-

1=0 D.2x-y+5=0

解析：设Q（x，y），则P 点（-x-2，-y+4），又点 P 在直线 2x-y+3=0 上，故 2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0。

(x - 1)2 + y 2 + - + + 答案：D

4．设 A 1、A 2 是椭圆 x

+ y 2

=1 的长轴两个端点，P 1、P 2 是垂直于 A 1A 2 的弦的端点，则直线 9 4

A 1P 1 与 A 2P 2 交点 P 的轨迹方程为( )

x 2

y 2

A. =1

B. y 2 + x 2

9 4

x 2 y 2

=1 D. y 2 - x 2

9 4 9 4

解析：设 P 1、P 2 两点的横坐标为 x=3cosθ，又 A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(3cosθ,2sinθ), 2 s in

- 2 s in

P 2(3cosθ,-2sinθ),故直线A 1P 1和A 2P 2方程分别为y=

(x+3),y=

(x-3).

- 4 s in 2 3cos + 3

x 2 y 2 3cos - 3

设交点 P （x ，y ），则 y 2=

(x 2-9)，即

- 9(cos 2 - 1)

9 =1。

答案：C

5. 点 M （x ，y ）与定点 F （1，0）的距离和它到直线 x=8 的距离的比为，则动点 M 的轨迹

方程为( )

x 2

y 2

A. =1

B. x 2 + y

=1 4 3

8 7

x 2 y 2

=1 D.3x 2+4y 2+8x-60=0 16 12

解析：设 M 为（x ，y ），则 ∶|x -8|=1∶2.整理有：3x 2+4y 2+8x-60=0.

答案：D