宋代杨辉的数学教育思想述考
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宋代杨辉的数学教育思想述考
□唐山学院张文华
摘要关键词本杨辉作为宋元时期有着承上启下作用的数学家，他不但收集了大量的古代优秀数学典籍，推动中国传统实用算术的发展，而且还融合了历代数学教育家的思想，最终形成了较为完整的数学教育思想，
数学杨辉
杨辉是南宋时期著名的数学教育家，他的数学教育思想主要体现在培养受教育者逻辑思维能力及创新数学教育的思想。他著书革新，对普及数学教育作出了重要贡献，提出了学习要有创新精神等先进思想，为中国的数学教育留下了宝贵的资源，对现代数学教育有着积极的影响。杨辉一生写有众多的数学著作，主要有《详解九章算法》、《乘除通变算宝》、《日用算法》等，他继承了中国古代的数学传统，广征数学典籍，如引用早已失传的宋代算术，其中刘益的正负开方术、贾宪的曾乘开方法等都是极为宝贵的数学史料。杨辉不但著述丰富，而且还提出了系列的数学教育思想，他特别重视数学的普及教育，其中的许多著作都是为此而编写的。在数学的教学方法上，杨辉主张要符合人的认识规律，循循善诱地进行讲授，同时也要求学习者善于抓住要领，进行反复的练习。如其《算法通变本末》著作就是中国历史上第一部系统的数学教学纲要，并蕴含着重要的课程论思想，反映杨辉对数学教育的重要思想。《习算纲目》率先提出了“至小至大”的学习方法，并直到学通九章算术的内容，他都作了详尽的安排，这些都体现了杨辉作为著名数学教育家的卓越思想与良苦用心。
一、数学教育思想的原则及方法
宋朝时期，中国的科学技术取得飞速的发展，其中以数学成就尤为突出，这与当时的数学教育发展有着密切的联系。李约瑟就曾称宋朝为“中国古代伟大数学家时代”，认为在这一时期，中国的数学家达到了顶峰，而杨辉就是其中杰出的代表之一。在中国的封建社会，《九章算术》被奉为数学教育的经典，被尊为黄帝所作，无人敢修改。杨辉虽对该著作无比崇敬，但他指出了《九章算术》中的问题具有很强的隐蔽性，一般的法理很难分明，让人很难入门。他大胆尝试，将不同性质的少广术、平方术等分为两个章节，这些在今天看来都是正确的见解。《五曹算经》是北宋时期著名的九部算经之一，杨辉在其《田亩比类》中提出了算经的五处出版刊误。杨辉一生治学严谨，据传他曾与著名数学家秦九韶一起教授学徒，每到一个地方都会有慕名的人来请教数学知识。有一天，杨辉出外游玩，半路上碰到一个正在路上做题的小孩，其内容是将从１到９数字排列成三行，无论是直着、横着，还是斜着相加结果相同。杨辉与孩童一起研究并得出正确结论。杨辉回家之后反复研究该题目，最终总结出纵横图的规律。杨辉主张数学教育要贯彻理论与实际相结合的原则，他说：“以乘除加减为法，称斗尺田为问；用法必载源流，命题须责实用。”［１］１２１－１２３同时，他也注重循序渐进的数学教育思路，他经常告诫初学者，“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题”。又说：“题繁难见法理，定摆小题验法理，义既通虽用繁题了然可见也。”所以，杨辉有着非常严谨的数学教育思想，同时这些思想与教学方法对今天的数
学教育有着重要的参考价值。
杨辉的数学教育思想的核心就是“实”，他始终认为数学源于生活及实践，离开了这个基础就很难继续发展下去。数学教育也是如此，“用法必载源流，命题须责实有”［２］４８－５０。是指数学教育要从实际中探索，数学的命题也要来源于现实。杨辉的著作通俗易懂，多为普及数学教育而编写，为了更好地进行教育，他将加减乘除法、秤、斗、尺、田等编成十三首诗歌，并画出六十六草图，写出了《日用算法》等。同时，他还在详解九章算法的基础上提出了田亩比类的简洁算法，并针对学者只知道“加减归倍”的算法，不会变通使用的情况，写出了著名的《乘除通变本末》。另外，他对一些不切合实际的算法或题目提出了批评。例如，当其发现有人错误使用《五曹算经》的知识进行“方五斜七”的错误计算田亩时，他就在《田亩比类》著作中详细列出了五曹算经中的错误解法。杨辉特别注重数学教育的普及，他编写的许多著作将数学内容编写成押韵的诗句供学习者掌握，体现了其数学为大众的数学教育思想。他的这一做法对后来数学推广有着重要的借鉴意义。在学习方法上，杨辉提倡熟读精思，在广博知识的基础上做到融会贯通。
二、培养数学逻辑思维能力的思想
逻辑思维体现了正确思维的最基本特点，杨辉非常重视数学逻辑思维能力的培养，他通过熟练地运用数学概念与方法等，辨明其中的数学关系，最终培养学生良好的思维习惯。在杨辉的《乘除通变算宝》中就有“习算纲目”，明确提出了循序渐进的数学教育主张，并定量规定学习时间，如乘除法学习两个月，然后学习速算及九归等。他说：“治分乃用算之喉襟也，如不学则不知算。”［３］１９－２０只有建立坚实的数学基础后才能学习《九章算术》。杨辉的这种数学教育及学习的方法体现了由浅入深的接触性原则，尤其对数学教学工作有着重要的启示意义。学习与思考是学习的两个重要环节，同时也是掌握知识与提高教学能力的重要任务。杨辉在教学实践中，往往将教师看作学生学习的辅导作用，不赞成满堂灌的方式，“好学君子自能触类而考”。在《详解九章算法》中，他抄录了八十道题目进行详细解读，以其解释问题的性质、原则及演算过程。他认为学习者如果能举一反三，自然就能够解读其他题目的意思。在教学进度上，杨辉不但提倡学习者要根据内容合理安排时间，而且还提出了精讲多练的教学方式。对学习进度来源的说明，强调教育者要讲清知识之间的逻辑关系，一定要追溯用法之源头，这样才能真正了解与贯通，才会“庶久而无失念”。
杨辉以其多年的教学实践及体会，提醒教育者要合理使用参考书目，这不但有助于理解教材的内容，而且还可以培养学习者的逻辑思维能力及提高学习效率。杨辉还将学习者难以理解