定义域和值域

定义域、解析式、值域方法总结

（一）定义域：

1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()

()例：函数的定义域是

y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零；

● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

● 指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ???

??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且

● 反三角函数的定义域

● 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，

函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝

arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条

件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

3. 如何求复合函数的定义域？

[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>->

义域是_____________。 []（答：，）a a -

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的

定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例 若函数)(x f y =的定义域为???

???2,21，则)(lo g 2x f 的定义域

为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为??

????2,21可知：221≤≤x ；所以)(lo g 2x f y =中有2log 2

12≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2

12≤≤x 解之，得 42≤≤x

∴ )(log 2x f 的定义域为{}

42|≤≤x x 二．函数解析式求法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴???=+=342b ab a ∴??????=-===321

2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x

x x

x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32

22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上

x x y '+'='∴2

把???-='--='y

y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y

整理得672

---=x x y ∴67)(2---=x x x g

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f

解 x x f x f =-)1(2)( ①

显然,0≠x 将x 换成x

1，得： x

x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x

x x f 323)(--=

例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴

又1

1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-

=-+-x x g x f 即1

1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得

11)(2-=x x f ， x

x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f

解 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过

迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

分别令①式中的1,21x n =- 得：

(2)(1)2,

(3)(2)3,

()(1),

f f f f f n f n n -=-=--=

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，

2)

1(321)(+=+++=∴n n n n f

+∈+=∴N x x x x f ,21

21

)(2

（二）：函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x 1

的值域 y=3+√(2－3x) 的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

求函数y=√(－2x +x+2)的值域

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域

下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂

.1

12

..2222

2222

b

a y 型：直接用不等式性质

k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n 法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1

1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1==++==

≤''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定

原函数的值域。

例 求函数y=6

543++x x 值域。 5、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=+-2

5x log 31-x （2≤x ≤10）的值域 求函数y=4x －√1-3x(x≤1/3)的值域

6、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 。以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数值域中同样发挥作用。

例 求函数y=x+1-x 的值域。

y=x-3+√2x+1

7 、不等式法

利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

33(

)13

()32x (3-2x)(0

x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +??≤=++≤ 多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）

x x x x +>++≥=≥

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式

高中数学函数的定义定义域值域解析式求法

课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。（二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+，（1）求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。（四）课堂练习： 1．用区间表示下列集合： {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3．课本P 19练习2。

函数的定义域和值域

函数的定义域、值域 一、知识回顾 第一部分：函数的定义域 1.函数的概念： 设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域. 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或 a x y =，所有的函数值所构成的集合{} A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域. 2.定义域的理解： 使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <. 满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,. 满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作 (][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括 时用空心点表示. 4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集. 5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零. （4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.

函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

高一数学《函数的定义域值域》练习题

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数的定义域值域和解析式

函数的定义域、值域和解析式 1．函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。 指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式 定义域 值域 一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域

,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域 （1）1 log 1 )(2-=x x f （2）)1(log 1 |2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0 ; 解：（1）由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x ＞2． ∴所求定义域为（2，+∞） ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得 ∴所求定义域为（3，+∞） （3）由题意 化简 故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域 （1） y=2 3 2 531 x x -+-; （2）)34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域 求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法： ①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为［0, 3 1］ . （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞ ). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 .

函数定义域、值域求法的总结

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

必修一值域定义域练习题

1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示： 其中能表示为M 到N 的函数关系的有。 2、求下列函数的定义域： )(x f =1+x ＋ x -21 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f( ); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 3、已知函数)(x f =3x 2－5x ＋2，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f 。 4、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？ （1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y = x 1)31()31 -++x f x

5.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出f(x)的解析式. 变式训练1：（1）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （2）已知f （x ）满足2f （x ）+f （ ）=3x ，求f （x ）. 6 求下列函数的值域： （1）y= (2)y=x-; (3)y=. 变式训练2：求下列函数的值域： （1）y= ; (2)y=|x|. 7．若函数f （x ）=x 2 -x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. .8.判断函数f(x)=在定义域上的单调性. 需要答案回复 x x x 1;122+--x x x x x 21-1e 1e +-x x 521+-x x 21x -2112-x

求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)

求复合的定义域、值域、解析式（集锦） 一、 基本类型： 1、 求下列函数的定义域。 （1）12 )(-+=x x x f （2）x x x x f -+= 0)1()( （3） 1 11--= x y （4）()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域 2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 （1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法： （1） 求函数 y x =+

分分式法 求2 1+-=x x y 的值域。 解：（反解x 法） 四、判别式法 （1）求函数22221 x x y x x -+=++；的值域 2）已知函数2 1 ax b y x += +的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。 五：有界性法： （1）求函数1e 1e y x x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加 （1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法 已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数 ,x y ，总有2 ()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。 令x=0，y=2x 待定系数法 设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)

高中数学专题训练二次函数与幂函数 一、选择题 1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( ) 3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( ) A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>1 4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( ) A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2] 6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0f(x2) B．f(x1)

D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定 二、填空题 8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________． 9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________. 10．设函数f1(x)＝x 1 2 ，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝ ________. 11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________． 12．已知幂函数f(x)＝x 1－α 3 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是 减函数，那么最小的正整数a＝________. 13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 14．已知函数f(x)＝2 x －x m，且f(4)＝－ 7 2 . (1)求m的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．

《高一数学必修1》函数的概念、定义域、值域练习题(含答案)

函数的概念、定义域、值域练习题 班级：高一（3）班 姓名： 得分： 一、选择题（4分×9=36分） 1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f (x )→y ＝12x B ．f (x )→y ＝13x C ．f (x )→y ＝23 x D ．f (x )→y ＝x 2．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1} 3．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1，3] B ．[0，3] C ．[－3，3] D ．[－4,4] 4．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 5．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上 6．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤34} C ．{a |a ＞34} D ．{a |0≤a ＜34} 7．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市 场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数 关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ????12等于( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 9．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3，5} D ．R

5、函数的定义域和值域答案

函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析

必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)

函数的定义域 （1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项 ☉分式分母不为零；☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制 若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。 （3）抽象复合函数定义域的求法 ☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围 ☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。 例1．函数()4x f x -= 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{ 10 x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠ 所以函数()4x f x -= 的定义域为(－∞，1)∪(1,4]故选：D 例2．函数2211y x x = -+-的定义域为( ) A. {|11}x x x ≥≤-或 B. {|11}x x -≤≤ C. {1} D. {-1,1} 【答案】D 【解析】函数2 2 11y x x = -+-可知:22 10 { 10 x x -≥-≥,解得：1x =±. {-1,1}.故选D. 例3．已知函数() 2 1y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________. 【答案】[] 1,3-【解析】由函数() 21y f x =-的的定义域为(?2,2)，得：2 113x -≤-≤， 故函数f (x )的定义域是[]1,3-.

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形