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江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试

高二数学试卷

数学I

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A

B = .

2.已知复数2

(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .

3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .

4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .

5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥

111A AB D -的体积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22

21(0)x y m m

-=>的一条渐近线方程为0x +=,

则实数m 的值为 .

7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .

8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 . 9.若实数,x y 满足条件14,

23,

x y x y -≤+≤??

≤-≤?则42z x y =-的取值围为 .

10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =

,两曲线()y f x =与

()y g x =在区间(0,)2

上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,

则线段BC 的为 .

11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若

28DA DC ?=-,则BA BC ?的值为 .

12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有2

210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值围为 .

13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该

椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ?为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值围是 .

14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数2

()4f x x a x

+，()ln g x x =-，

函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值围是 .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.

15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2

(3cos ,cos )n x x =.

(1)当3

x π=

时,求m n ?的值；

(2)若[0,

x π

∈，且1

m n ?=

-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,

AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：

(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .

17.如图,在一个水平面,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和

EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).

(1)求()f θ的解析式；

(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.

18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为2,且过

点1)2

.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.

19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*

n N ?∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其

中常数1p >),数列{}n b 满足2121

log ()n n b a a a n

(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若22017

p =,求2018b 的值；

(3)若*

k N ?∈,使得221

k p +=,记3

||2

n n c b =-

,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2

y x e

相切,其中e 是自然对数的底数.

(1)数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1

(,e)e

有两个极值点. ①数a 的取值围；

②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,数M 的取值围 .

高二数学Ⅱ(附加题)

21.已知矩阵 2 11 3M -??=?

???， 1 12 1N ??=??

-??

(1)求1

()MN -；

(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线

L '的方程.

22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy

相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θ

?=??

=??,(θ为参数,

[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4

p π

θ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.

23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的

概率是

2125

. (1)求p 的值；

(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .

24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为

F ,AE 交1B B 于点E .

(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;

(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.

试卷答案

一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 4

5. 3

7. 31n

9. [5,13] 11. 36 12. 10(,

-∞ 13. 111

(,)(,1)322

14. 5{|4a a <-

或3}4

a >- 二、解答题.

15. 解(1)当3

x π

=时，1]m =-，1]4

n =，所以311

442

m n ?=-=.

(2) 2cos cos m n x x x ?=

112cos222

x x =

-- 1sin[2]62

x π=--，

若12m n ?=

-.则11sin[2]622

x π--=-，

即sin[2]6

x π

. 因为[0,

x π

∈，所以26

x π

≤-

≤

，

所以cos[2]6x π

= 所以cos2cos[[2]]66

x x π

cos[2]6

x π

-1sin[2]62

x π-?

132326

?-?=.

16.证明(1)因为在PAD ?中, ,AP AD AM PD =⊥，所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ?的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.

又AB ?平面PAB , MN ?平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ?平面ABCD ，平面PAD

平面,ABCD AD CD AD =⊥，

所以CD ⊥平面PAD .

又AM ?平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ?平面PCD ,PD ?平面PCD ,

所以AM ⊥平面PCD .

17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==

则1

cos CE EB θ==

，tan ED θ=，tan AE θ=，

于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θ

θθ

-=+

因为E 在CD 之间,所以03

θ<<，

故2sin ()cos f θθθ-=

+，03

θ<<.

(2) 22

cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03

θ<<，令()0f θ=,得1sin ,26

πθθ==，故当06

θ<<，()0f θ<，()f θ递减,

当

sin 6

θ<<

,()0f θ>,()f θ递增,

所以,当6

θ=

时, min ()()6

f f π

θ=

+=答:当6

DCE π

∠=

时, ()f θ

最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>

，c =，

由题意知22

311,4c a a b ?=????+=?? 解得2,

a b =??=?所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,0

y k x =

又F , 所以直线AF

的方程为y x =

由22

1,4

y x x y ?=-????+=??消去y ，得

2200(7)x x -

-2

0070x -+=.

因为0x x =是该方程的一个解,所以点C

的横坐标C x =

又点(,)C C C x y

在直线y x =

-上，

所以C C y x =

的坐标为同理,点D

的坐标为，

所以2k =

1472y k x ==，即存在7m =,使得217k k =.

19.(1)证明:因为*

n N ?∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，

21(1)2n n a p S ++=-+

所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，

当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，

所以*

1,()n n a pa n N +=∈，

又因为1p >,所以

n n

n n a a p p

++=，所以数列{

}n n

a p

是常数列, 112

,2n n n n a a a p p p p -===，所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.

(2)由(1)得1

2n n a p -=.

212

log ()n n b a a a n

==(1)

221log (2)n n n

p n -=1(1)()2017

n n n n -+

所以20182b =.

(3)由(1)得1

2n n a p -=.

212

log ()n n b a a a n

==(1)

221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121

n k -=++.

因为3223

22(21)

n n k b k ---

=+，所以当11n k ≤≤+时, 3

n n c b =

-，

当2n k ≥+时，32

n n c b =-

. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +

121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++

0121k k +++=-

+(1)(2)2+1

21k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)

(1)22121

k k k k k k ++++=

++. 20. (1)设直线2

y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，

函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e

=，把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n a

h x ax x x

-, 设函数()h x 在区间1(,e)e

有两个极值点1212,()x x x x <，

令22()a a h x a x x x

'=+--22

20ax x a

x -+==, 则2

20ax x a -+=,设2

()2m x ax x a =-+,

因为121x x =,故只需0,20,()0,

m e ?>???

>??>??,所以, 2211e a e <<+.

②因为121x x =,所以，

121()()M f x f x ax =-=12212

21n (21n )a a

x ax x x x -

---- 11121n a ax x x =-

--1111

(21n )a ax x x -- 2111

2221n a

ax x x =-

由2

1120ax x a -+=,得12

121x a x =

+,且11

1x e

<<. 1

2111211

2121x x x M x x x +=-

+22

2111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设2

1x t =,

211t e <<,令11

()4(1n )+12

t t t t ?-=-，

221()4()(+1)2t t t ?'=-2

2(1)0(1)

t t t --=<+， ()t ?(在21(

,1)e 上单调递减,从而2

(1)()()t e ???<<，所以,实数M 的取值围是28

(0,)1

e +.

高二数学Ⅱ（附加题）

21. 解(1)由题知 2 11 3MN -??=?

??? 1 10 32 17 2????=????--????，所以0 3)2l 7 det(2MN ??

==-??-??

，

根据逆矩阵公式,得1

21 217)1 03(MN -??

??=????????

(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .

由 2 11 3x x y y '-??????=??????'??????，即2,3'x y x x y y ''-=??''+=?解得3+7

2'7x y x y x y ?

'=???-?=

，因为210x y ''+-=,所以3221077

x y y x

+-?+-=，即5470x y +-=.

即直线L 的方程为5470x y +-=.

22.解(1)

由,

sin ,

x y θθ?=??=??得22:13x C y +=，

由cos ()4

p π

θθ-

=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.

(2)在

C y

+=上任取一点(3

cos,sin)

Pθθ(02)

θπ

≤≤，

则点P到直线l的距离为

|3cos sin4|

θθ

|2sin()4|

θ+-

=，02

θπ

≤≤，

当sin()1

θ+=-，即

θ=时，

max

d=.

23. 解(1)设事件A:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A:“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()

P A P A

=-2

1(1)

=--=，

解得

p=.

(2)依题意, X的所有可能值为0,1,2,3,

且2

(0)(1)

P X p

==-=,

(1)(1)

P X p p

==-

(1)(1)

125

p p p

+--=，

(3)

125

P X p

===，

故(2)1(0)

P X P X

==-=

(1)(3)

125

P X P X

-=-==.

X的概率分布列为:

数学期望

()2

125

E X=+?

5427213

125125125

+?=.

24.解(1)如图,以D为坐标原点,分别以直线1

DA DC DD所在直线为x轴, y轴, z轴,建立空间直角坐标系D xyz

-，

易得

(0,2,3)

A B=-,设BE a

=,则(0,2,)

AE a

=，

因为

A B AE

⊥,所以

(0,2,3)

AB AE

?=- (0,2,)430

a a

?=-=，

解得

a=,即

(0,2,)

AE=,

又

(2,2,3)

D B=-,(2,2,0)

AC=-,

所以

1(2,23)

D B AE

?=-

(0,2,)0

=,所以

D B AE

⊥,

且

(2,2,3)(2,2,0)0

D B AC

?=-?-=，所以

D B AC

⊥，又AE AC A

=，所以

D B⊥平面AEC.

(2)

(0,2,)

AE=，

(2,0,3)

D A=-，

(0,2,3)

DC=-，

设平面

ACD的一个法向量(,,)

n x y z

=，

则1

D A n

D C n

??=

即

230,

x z

y z

令0

z=，则3

x y

==，即(3,3,2)

n=，

sin|cos,

θ=<|

||||

AE n

22222

23=2

2+()3+3+2

286