三角形中线等分面积应用
第5讲
例说三角形中线等分面积的应用
如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD ＝
1
2
BD·AE，S △ADC ＝
1
2
DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积
例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.
分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=
4
ab
，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=
4
ab
，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于
31×4ab =12
ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ
=ab －4×
12ab =3
2ab
。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．
（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，
则S 1=________（用含a 的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结
DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；
（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．
图1
图
2
图
4
F 图5
图
3
应用：去年在面积为10m 2
的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如
图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2
？
分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
解：（1）由CD=BC ，可知AC 就是△ABD 的中线，中线AC 将△ABD 的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S 1=a ；
（2）若连接DA ，则DA 就是△ECD 的中线，中线AD 将△ECD 分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S 2=2a ；
（3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF 面积都为
2a ；所以S 2=6a ；
发现：由题意可知扩展一次后的△DEF 的面积是S △DEF =
S 3+S △ABC =6a +a =7a ；即扩展一次后的△DEF 的面积是原来△ABC 面
积的7倍。
应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总1=7a ， 扩展二次后S 总2=S 总1=72
a ，
扩展三次后S 总3=S 总2=73
a ，
拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m 2
）
说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结
论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。
二、巧分三角形
例3、如图7，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.
分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。 解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 1
3
=BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.
方法2：在BC 边上截取DC 3
1
=
BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC、△PAB、△PBC 的面积之比为1:2: 3（如图9）.
图6
D E A
B C
F
H
M
图7
图8
图9
想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值
例2 在数学活动中，小明为了求
23411111
22222
n ++++???+的值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求
23411111
22222
n ++++???+的值. 分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的
2
1
，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。
解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为
234111111
222222n n ++++???++， 因此2341111111222222
n n ++++???+=-.
说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.
三角形角和定理及外角性质的应用
三角形三个角的和等于180°，这是三角形角和定理．
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角，这是三角形外角性质．
三角形角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的角
例2 (08)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°
解：由三角形角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°， 由三角形角和定理，得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ． 图1 说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．
二、判断三角形的形状
例1 (08)一个三角形三个角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形角和定理，得
2k +3k +5k =180°．解得k =15°，所以2k =30°，3k =45°，7k =105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C ．
三、求角平分线的夹角
图10
例4 (08)已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为＿＿．
解：如图2，由BO平分∠ABC，得∠1=1
2
∠ABC；
由CO平分∠ACB，得∠2=1
2
∠ACB．
所以∠1+∠2=1
2
(∠ABC +∠ACB)=
1
2
(180°-∠A) 图2
=1
2
(180°-60°)=60°．
四、求三角形的外角
例5 (08)如图5，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．
解：如图6，延长AB交l2于点E．
因为l1∥l2，由两直线平行，错角相等，得∠BEC=∠3．
由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．
图5 图6
说明：本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，完成请同学们完成．
五、比较角的大小
例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是( )
A B C D
解：A选项中，利用两直线平行，错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B．
全等三角形水平测试（1）
薛建辉
一、试试你的身手
1．如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌__________，AB的对应边是________，AC的对应边是____________，∠BCA的对应角是__________．
A
C
B
D
A D
B
E F
2．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是________，∠ABC 的对应角是__________．
3．△ABC 和A B C '''?中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件________可得到ABC A B C '''???
4．如图所示，AB ，CD 相交于O ，且AO ＝OB ，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是
________，联想到SAS ，只需补充条件________，则有△AOC ≌△________．
5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________． 6．如图所示，若只有AD ⊥BD 于点D 这个条件，要证△ABD ≌△ACD ，则需补充的条件是________或__________或__________．
7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为__________．
二、相信你的选择
1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（ ） Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 2．下列结论错误的是（ ）
Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边 Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形
Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 3．下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ）
Ａ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF Ｂ．AB ＝BC ，∠B ＝∠E ，DE ＝EF
A
C O
D B A ?
? A B C D A B
C D
E
０．AB ＝EF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF Ｄ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF
4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
Ａ．∠B ＝∠E Ｂ．∠C ＝∠F Ｃ．BC ＝EF Ｄ．AC ＝DF 5．下列说法正确的是（ ）
Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等 Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等 Ｃ．两个等边三角形一定全等 Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等
6．如图所示，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ．F ，若BE ＝CF ，则图中全等三角形有（ ） Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对
7．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．∠1＝∠2 三、挑战你的技能
1．如图，若∠DAB ＝∠CBA ，请你再添加一对相等的条件，使△ABD ≌△CAB ，并说明三角形
全等的理由．
2．（1）完成下面的证明：
如图，AB ＝AC ，E ，F 分别是A C ，AB 的中点，那么△ABE ≌△ACF ． 证明：E F Q ，分别是AC ，AB 的中点，
12AE AC ∴=
，1
2
AF AB =（ ） AB AC =Q ，AE AF ∴= 在ABE △和ACF △中 ______________()______________()______________()=??
=??=?
，，
， ABE ACF ∴?△△．
（2）根据（1）的证明，若连结BC ．请证明：△EBC ≌△FCB ．
A B C D E 1 2
A B C F E A B
C D A
B
E
F
A
B C
E
F
3．如图，已知：BE ＝DF ，AE ＝CF ，AE ∥CF ，求证：AD ∥BC ．
4．如图，已知：CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，（1）你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．
四、拓广探索
飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案． （1）画出测量方案
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）
（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）
A
B C
E F
A B
C D
E
F A B
参考答案：
一、1．△ADC ，AD ，AC ，∠DCA 2．EF ，∠DFE 3．B B AC A C '''∠=∠=或 4．∠AOC =∠BOD ，OC =OD ，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD =∠CAD ，AB =AC ，BD =CD 7．100° 二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D
三、1．需要再添加的条件为：∠DBA =∠BAC （A S A ）或∠DAC =∠CBD （A S A ）或AD =BC （S A S ） 2．
（1）中点定义，()()(SAS)()AE AF A A AB AC =??
∠=∠??=?
已证公共角，
已知 （2）
证明：ABE ACF ?Q △△，BE CF ∴=；又E Q ，F 分别为AC ，AB 的中点，
12EC AC ∴=
，1
2
BF AB =，AB AC =Q ，EC BF ∴=，在EBC △和FCB △中，BE CF BC CB EC FB =??
=??=?
，
，
EBC FCB ∴?△△． 3．证明：AE CF Q ∥，AEB DFC ∴=∠∠，180180AEB DFC ∴-=-o
o
∠∠，
AED BFC ∴=∠∠，BE DF =Q ，BE EF DF EF ∴-=-，BF DE ∴=．
在ADE △和CBF △中，AE CF AED BFC DE BF =??
=??=?
，，∠∠ADE CBF ∴?△△，ADE CBF ∴=∠∠，
AD BC ∴∥．
4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD =DC 或DF =DE 或BF =CE ．选：BD =DC ． 证明：CE AD Q ⊥，BF AD ⊥，90CED BFD ∴==o
∠∠，
在CED △和BFD △中， ()
()CDE BFD CDE BDF CE BD =??
∠=∠??=?
已证对顶角相等∠∠，CED BFD ∴?△△．
四、（1）如图所示 （2）在地上找到可以直接到达点A ，B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点以，并测得OC =OA ，在BO 的延长线上取一点在，并测得OD =OB ，这时测得CD 的长为A ，则AB 的长就是A ． （3）理由：由测法可得．OC =OA ，OD =OB ，∠COD =∠AOB ，所以△COD ≌△AOB ，所以CD =AB =A ．
A
B
C
O
D
三角形中线
三角形中线 1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段； 2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分； 3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 6.解决三角形中线问题，常作的辅助线是倍长中线，塑造全等三角形，或平行四边形； 7.遇到三角形两条中线同时出现时，常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 9.如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 10.等边三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线，互相重合； 重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。 外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。 垂心定理三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。 内心定理三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。 旁心定理三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质： （1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
中考培优 中考综合题 面积平分问题
2018年4月35日中考综合题-------面积平分问题 1．问题探究： （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 2．探索发现： （1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为． 联系拓展： （2）在图2中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC的中点，若?ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由． （3）在图3中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若?ABCD 的面积为S，则四边形BEDF的面积为． 解决问题： （4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由． 3．如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积； 问题探究 （1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形． （2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CD为边作正方形GCEF，当CG=a时，求△BDF的面积． 问题解决
等分法(图形的面积)
等分法 知识与方法：通过在课本中面积的学习，我们已经知道了，连接三角形的一个顶点和对边的中点，可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形，即等底等高的三角形面积相等。今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。 例题1、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48 【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE的面积是4，求△ABC的面积（单位：平方厘米） （2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF的面积是3，求△ABC的面积（单位：平方厘米） 例题2、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）长方形的面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点， 已知长方形的面积是16
【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米） （1）平行四边形的面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形的面积是16 例题3、梯形ABCD的对角线相交于O，BC=3AD，三角形的面积是9平方厘米，求梯形的面积。 【模仿练习】：在下列的梯形中，所标注部分为三角形的面积，求梯形的面积（单位：平方厘米） 例题4、△ABC的面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF的面积。（单位：平方厘米） 【模仿练习】：三角形ABC的面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF的面积。
面积平分问题(原卷版)
面积平分问题 ★1.问题探究 在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(b>a)，P为AB边上一点，且PB＝m(m S，则△ACD的面积为________； (2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的面积为S1；当点E、F分别在平行四边形ABCD 的边AB、BC上时，且满足AE＝1 3AB，BF＝1 3BC，记此时的四边形 BEDF的面积为S2.证明：S1＝S2； (3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n为常数，且n＞0)，点E是AB边上任意一点，点F是BC边上任意一点，若四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的1 2 ，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由． 第2题图 ★3.问题提出 (1)如图①，请你过△ABC的顶点A作一条直线AD，使得AD将△ABC 的面积分成相等的两部分； 问题探究 (2)如图②，已知矩形ABCD.若在边AD、BC上分别存在一点E、F(不含端点)，且直线EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，画出图形，并探究AE和CF的数量关系，写出证明过程； 三角形的中线与面积的三个重要结论 三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题. 一、三角形的中线与面积 1、三角形的一条中线与面积 如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=2 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 则ABD S 三角形= 21×BD ×AE,ACD S 三角形=2 1×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、等底同高的两个三角形面积相等. 2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等. 2、三角形的二条中线与面积 如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=3 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1）， AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2）， （1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形； 如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形, 所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形= 31ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等. 2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍. 3、三角形的三条中线与面积 如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =6 1S. 证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S . 因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S . 所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2 121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S = 6 1S. 由此我们得到如下结论： 三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面 中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积； 1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线 2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形 有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况） 3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长． 4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案． 第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线 D A B C N D C B A M F E D C B A 方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN 方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 D C B A 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD 【融会贯通】 第 1 题图 A B F D E C 第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD·AE ，S △ADC ＝12DC·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知 GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4 ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab ，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=a b －4×12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1， 则S 1=________（用含a 的代数式表示）； （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结 DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由； （3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如 图1 图2 A E 图4 D A B C F 图5 图3 A B 三角形中线的应用例谈 三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。 如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . A E⊥BC 于E，即AE是△ABC的边BC上的高。同时AE也是△AB D、△ACD 的高。 根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即 . △AB D、△ACD的面积可表示为： ， ， 所以△AB D、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。 结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。 例1如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BG D和△AGE面积的大小。 析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也 等于三角形ABC的面积的一半。所以=，所以 ，即.所以△BG D和△AGE 的面积相等。 引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC 的中线，根据上面结论一，有，，而， 所以， ，所以 结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的. 例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F 分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。 分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。更重要的是要考虑中点的运用。 解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积= , 根据上述结论二，△BOD的面积等于△BCD的面积的， 即， ∴阴影部分的面积=. 点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。 多边形面积二等分问题 在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。 无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分； 或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。 先说三角形的面积二等分问题。 对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。 作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。 证明：设AD 、PQ 的交点为O ;∵D 为BC 的中点，∴S △ABD =S △ACD =2 1 S △ABC , ∵D Q ∥AP, ∴S △APQ =S △APD ，∴S △AOQ =S △POD ∴S 四边ABPQ =S △ABD - S △POD + S △AOQ = S △ABD =21 S △ABC 。 ∴直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分。 为了作出直线PQ ，先作出BC 边上的中线AD ，然后以这条中线为一条对角线，以A 、P 、D 为顶点构造梯形，这个梯形的第四个顶点一定要在三角形的边上，则另一条对角线所在的直线PQ 就是所求作的直线。这里除了利用了三角形的中线的性质以外，还用到了梯 中考专题复习十——等分面积 1（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是 （2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形。 （3）如图（2），在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由； （4）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案． 2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线． （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 （2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由． 3.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）矩形有 条面积等分线； （2）如图①，在矩形中剪去一个小正方形，这个图形有 条面积等分线，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由； （3）如图②，在矩形中剪去两个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线，并说明理由． 4.果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线． （1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线． （2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）． （3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)三角形有____________条面积等分线，平行四边形有____________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由． 答案： 解：(1)根据“面积等分线”的定义知，一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以三角形有3条面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线、平行四边形的中位线所在的直线也是平行四边形的面积等分线，所以平行四边形有2+2=4条面积等分线； (2)如图①所示：正方形BF的中垂线交CD于点E，连接AE，AE即为这个图形的一条面积等分线； (3)如图②所示．能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE． ∵BE∥AC， ∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， ∴有S△ABC=S△AEC， ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED； ∵S△ACD＞S△ABC， 所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线． 解析： 分析： (1)读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线； (2)由(1)知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； (3)能．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据“△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等”推知S△ABC=S△AEC；然后由“割补法”可以求得S四边形 ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED． 点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底 一．选择题（共10小题） 1．（2016秋?阿荣旗期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 2．（2016秋?大安市校级期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线（） A．△ABE B．△ADF C．△ABC D．△ABC，△ADF 【分析】根据三角形的角平分线的定义得出． 【解答】解：∵∠2=∠3， ∴AE是△ADF的角平分线； ∵∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线． 故选D． 【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段． 3．（2016春?蓝田县期中）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE﹣DE即可求解．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6， ∴BE=EC=6， ∵DE=2， ∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4． 故选D． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键． 4．（2017?泰州）三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 《图形的面积等分问题》教案 开发区实验中学张文敏 一、背景分析 二、教学目标 1.知识与技能：了解几类特殊图形用一条直线将其面积两等分，掌握三类一般图形用一条直线将其面积两等分的方法，并能运用解决相关的实际问题。 2.过程与方法：培训学生类比，转化的数学思想方法，以及一般与特殊的辩证思想 3.情感态度与价值观：让学生体验知识等于“财富”、“成功”，以及知识的价值，并产生巨大的求知动力。 教学重点：任意三角形、平形四边形、梯形等几类图形用一直线将其面积两等分的方法，并能灵活运用。 教学难点：任意梯形用一条直线将其面积两等分的方法及其应用。 三、教法与学法 实践法，小组合作法 四、教学过程 (一)创设情境，引入新课 问题：在我家小区内，物业公司要对一块三角形区 域进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角 形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块 用来植绿色植被，让我们来帮助他们解决这个问题， 同学们你们是否能用你们学的知识来帮镇政府解决 这个问题呢？ 要解决这个实际问题，它的实质就是我们几何学中 的“一直线两等分图形面积”的问题。 今天我就和同学们一起来探索研究这类问题。 (二)实验引导 问题： 你能在下列图形中作一直线将其分成面积相等的两块吗？ （请同学们借助准备好的纸片进行操作，同学间进行交流，最后得出结论） 2 教师提问： 通过刚才的实验操作，你们发现了什么？有何疑问？ （这些图形都是特殊的三角形、四边形，都能通过折叠，剪切分成两个面积相等的部分；这些图形都是轴对称图形，只要画出对称轴就能分成面积相等的两块了）学生或教师提问： 是不是任何一个图形都能作一条直线将其面积两等分呢？ 今天我们主要来探讨一下一般三角形、平形四边形和梯形中能不能作一条直线将其面积两等分？ (三)问题引导 问题： 如图，在△ABC中，能作一直线将其分成面积相等的 两部分吗？（只要作它一边上的中线所在的直线就 可以了，因为中线分面的两个三角形等底同高） 问题： 如图，矩形ABCD中，能作一直线将其分成面积相等的两部分吗？ （1）画出它的任一条对角线，因为对角线 分成的两个三角形全等。 （2）还可以作过对边中点的直线，这样分成 的两个四边形都是矩形且等底等高。 （3）过对角线的交点的任一条直线，就能把 面积两等分 [因为平行四边形是中心对称图形，根据中心 对称图形的性质，经过对称中心的任一条直 线都把它分成两个全等形，面积当然相等。] 教师点拨： 如果把上述问题中的平行四边形换成矩形、菱形、正方形是否也有类似的方法？（是的，因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形，也是中心对称图形） 问题： 3 如图，在梯形ABCD中，AD／／BC，能作一条直线将其分成面积相等的两部分吗？ 注意：①这里可能有的学生会提出连结对角线，这是不正确的。 ②也有可能有的同学提出作中位线，这也是不正确的。 （1）作过两底中点的连线。 （由在平行四边形中作过对边中点的直线可两等分面积联想而得）。 （2）先把梯形问题转化为三角形问题，取CD的中点E延长AE交BC的延长线与F，再取BF的中点G，作直线AG，则AG将梯形面积两等分。 （3）再将梯形问题转化为平行四边形问题：取CD的中点E，过E作PQ//AB，交AD的延长线与点D，AC于Q，这时只要作直线AQ，则可将梯形面积两等分了。 三角形的三线及面积（讲义） 一、知识点睛： 1. 三角形的三线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________． （2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________． （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________． 如图，在△ABC 中，作出AC 边上的高线． C B A ________即为所求． 2. 面积问题： （1）处理面积问题的思路 ①_____________________________； ②_____________________________； ③_____________________________． （2）处理面积问题方法举例 ①利用平行转移面积 2 C B A l 1 h h 如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ②利用等分点转移面积 两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比． 二、精讲精练： 1. 如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 交于点O ，则结论： ①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABC 的中线．其中（ ） A ．①②都正确 B ．①②都不正确 C ．①正确，②不正确 D ．①不正确，②正确 A C D E O 2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的 高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________． E D A 3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那 么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．都有可能 中线：顶点到对边中点的连线段 第一、中线等分面积； 1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A．中线B．角平分线 C．高线D．三角形的角平分线 2．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况） 3．△ABC的周长为16cm，AB＝AC，BC边上的中线AD把△ABC分成周长 相等的两个三角形．若BD＝3cm，求AB的长． 4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案． 第二、中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC中 AD是BC边中线 D A B C N D B A M F E D B A 方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN 方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE F C A D 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E C A F 第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD ＝ 1 2 BD·AE，S △ADC ＝ 1 2 DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于 31×4ab =12 ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ =ab －4× 12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1， 则S 1=________（用含a 的代数式表示）； @ （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结 DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由； @ （3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6）， 图1 图2 A C E 图4 D A B C F 图5 图3 A 9．微专题：巧用三角形的中线求长度和面积 ◆类型一求线段长 【方法点拨】由中线得线段相等，再结合中线这条公共边相等解题．如图，BD为△ABC的中线，则AD＝CD，C△ABD－C△BCD＝AB－BC. 1．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，求AC的长． ◆类型二求面积 【方法点拨】 (1)中线把三角形分成两个面积相等的三角形．如图①，若BD为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD. 若DE为△BCD的中线，则S△BDE＝S△CDE＝1 2S△BCD＝ 1 4S△ABC. 图①图② (2)若题中有中点，求面积，要考虑在三角形中连接中线，利用①中的性质求解，如T4. (3)同一三角形被不同中线分成的三角形面积也相等．如图②，BD，AE均为△ABC的中线，则S△ABD ＝S△BCD＝S△ABE＝S△ACE＝1 2S△ABC. 2．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC＝3cm2，则S△ABC＝________． 第2题图第3题图 3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2.若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________． 4．如图①，已知AD为△ABC中BC边上的中线． (1)试说明：S△ADB＝S△ADC； (2)如图②，若O为AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由； (3)如图③，学校有一块面积为40m2的三角形空地ABC，按图③所示分割，其中点D、E、F分别是线段BC、AD、EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是________m2. 参考答案与解析 1．解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4(cm)．∵AD是BC边 去伪存真，探求问题本质 —三角形中线等分面积问题的教学思考 三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考. 一、习题呈现 如图1，已知ABC ?,,,D E F 分别是,BC AD 和EC 的中点，ABC ?的面积为16，求BEF ?的面积. 二、第一次教学 1.看似很简单，学生为什么不会做 首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点,,D E F 为中点为例，探究: ,,ABD EBD ADF S S S ???与ABC S ?的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图114EBD EDC ABC S S S ???==，由BF 是EC 的中线，得出18 EBF ABC S S ??=.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思. 2.反思失败之因 问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学. 三、第二次教学 3. 1教学更注重从形式到思想的点拨 提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫) 等分法 知识与方法：通过在课本中面积地学习，我们已经知道了，连接三角形地一个顶点和对边地中点，可以把一个三角形分成两个面积相等地三角形，即等底等高地三角形面积相等.今天我们主要学习等分法在面积中地实际应用. 例题1、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米） （1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC地面积是12 △ABC地面积是18 △ABC地面积是48 【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE地面积是4，求△ABC地面积（单位：平方厘米） （2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF地面积是3，求△ABC地面积（单位：平方厘米） 例题2、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米） （1）长方形地面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点， 已知长方形地面积是16 【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米） （1）平行四边形地面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形地面积是16 例题3、梯形ABCD地对角线相交于O，BC=3AD，三角形地面积是9平方厘米，求梯形地面积. 【模仿练习】：在下列地梯形中，所标注部分为三角形地面积，求梯形地面积（单位：平方厘米） 例题4、△ABC地面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF地面积.（单位：平方厘米）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途 【模仿练习】：三角形ABC地面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF地面积. 例题5、三角形ABC地面积是36平方厘米，AE=DE， BC=5BD，求阴影部分地面积.三角形的中线与面积的三个重要结论
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