研究生《数值分析》课程作业(二) (含答案)

研究生《数值分析》课程作业（二）

姓名： 学号： 专业： 1、据如下函数值表，建立二次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式。

20012222()()()()()()()

(1)(2)(0)(2)(-0)(1)59

3143

(01)(02)(10)(12(20)(21)22

L x f x l x f x l x f x l x x x x x x x x x =++-----=?

+?+?=-+------解： 二次 l agr ange插值

）

Newton 插值多项式：

200100120122()()[,](-)[,,](-)(-)

5559

32(0)(0)(1)32()3

2222

N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x =++=-?-+--=-+-=-+ ()y f x =2、已知单调连续函数在如下采样点处的函数值

*()0[2,4],f x x =求方程在内根的近似值使误差尽可能小。 解：1

()()y f x x f y -==解：

对的反函数进行二次插值

1110201122012010210122021(0)(0)(0)(0)(0)(0)

(0)()

()()

()()()()()()

(0 2.25)(05)(03)(05)(03)(0 2.25)

2 3.54(

3 2.25)(35)(2.253)(2.255)(53)(5 2.25)

y y y y y y L f y f y f y y y y y y y y y y y y y ---------=++--------+-+-=?

+?+?

----+-+- 2.945

≈()(1)01(1)1()[,]()(,),()[,],()

()()()()

(1)!

,n n n n n n n n f x a b f x a b a x x x b L x x a b f R x f x L x x n a b x ξωξ+++≤<<<≤∈=-=+∈ 3、证明：设在上连续，在内存在，节点是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何插值余项

这里（）且依赖于。

0110101(0,1,,)()()0()()()()()()()()[,]()()()()()()()

(),,,(k n n k n n n n n n x k n R x R x R x K x x x x x x x K x x K x x x a b t f t L t K x t x t x t x t x x x x t ωφφφ+===---==----- 证由条件知节点是的零点，即。于是其中是与有关的待定函数。

现把看成上的固定点，作函数

根据插值条件和余项定义，知在点及处均为零。故明：1111)[,]2()[,]1()()[,]()(,)(,),()()(1)!()0

()()(,),(1)!

n n n n a b n t a b n t t a b n t a b a b f n K x f K x a b x

n φφφφξφξξξξ++++'+'''+∈=-+==∈+（）

（）

（）（）在上有个零点，根据罗尔定理，在内至少有个零点。对再应用罗尔定理，可知在内至少

有个零点。依次类推，在上至少有一个零点，记为

使

于是

，

且依赖于于是得到插值余项。 证毕。

44、试用数据表建立不超过次的埃尔米特插值多项式。

解：（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）

22322

2222232432432

()(0)[0,0](0)[0,0,1](0)[0,0,1,1](0)(1)

[0,0,1,1,2](0)(1)19

00(0)1(0)(1)(0)(1)(0)(1)4

19192127(2)4424H x f f x f x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x

=+-+-+--+--=+?-+?-+-?--+

--=-++-+=-+

数值分析课程设计

淮海工学院计算机工程学院课程设计报告书 课程名：《数值分析》 题目：数值分析课程设计 班级： 学号： 姓名：

数值分析课程设计 课程设计要求 1、研究第一导丝盘速度y与电流周波x的关系。 2、数据拟合问题运用样条差值方法求出温度变化的拟合曲线。 课程设计目的 1、通过编程加深对三次样条插值及曲线拟合的最小二乘法的理解； 2、学习用计算机解决工程问题，主要包括数据处理与分析。 课程设计环境 visual C++ 6.0 课程设计内容 课程设计题目1： 合成纤维抽丝工段中第一导丝盘的速度对丝的质量有很大的影响，第一丝盘的速度和电流周波有重要关系。下面是一组实例数据： 其中x代表电流周波，y代表第一导丝盘的速度 课程设计题目3： 在天气预报网站上获得你家乡所在城市当天24小时温度变化的数据，认真观察分析其变化趋势，在此基础上运用样条差值方法求出温度变化的拟合曲线。然后将该函数曲线打印出来并与原来的温度变化数据形成的曲线进行比较，给出结论。写出你研究的心得体会。 课程设计步骤 1、利用最小二乘法写出题1的公式和算法； 2、利用excel表格画出数据拟合后题1的图像； 3、在Visual C++ 6.0中编写出相应的代码； 4、搜索11月12日南通当地一天的温度变化数据； 5、在Visual C++ 6.0中编写出相应的代码； 6、利用excel表格画出数据拟合后题3的图像 课程设计结果 课程设计题目1 数值拟合

解：根据所给数据，在excel窗口运行： x=[49.2 50.0 49.3 49.0 49.0 49.5 49.8 49.9 50.2 50.2] y=[16.7 17.0 16.8 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 17.0 17.1] 课程设计题目3 数据为：X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23]; Y=[12,12,11,12,12,12,12,12,13,15,16,17,17,18,17,17,17,16,15,15,15,15,14,14]; 源代码为： 第一题： #include #include"math.h" using namespace std; //double x[100],y[100]; int main(){ int i; double k,b; double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0; double x[10]={49.2,50.0,49.3,49.0,49.0,49.5,49.8,49.9,50.2,50.2}; double y[10]={16.7,17.0,16.8,16.6,16.7,16.8,16.9,17.0,17.0,17.1}; for(i=0;i<10;i++){ sum1+=x[i]*y[i]; sum2+=x[i];

数值分析大作业三 四 五 六 七

大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:');

flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)

while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0;

end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1;

华中科技大学研究生课程论文封面

研 究 生 课 程 作 业 本 学生姓名_______________________________________________ 学生学号_______________________________________________ 专业、班级______________________________________________ 课程名称________________________________________________ 授课教师________________________________________________ 成 绩_______________评分人签名____________________ 交作业日期_____________ 年___________月______________日

一份学生课业学生必须完整填写作业本封面，必须有授课教师批 会调查等学分课程，应在提 或教学实践（助教，学分），必须按上述要求存入课 盲审之前，研究生教务办必须对每一位研究生的课程 求纳入对每一位教师的年终考核和每一年的研究：每个专业对研究环节的课程有特殊要求的，按照每个专业的特殊要求交双面黑白打印情况备注 建规学院研究生（硕士、博士）教学成绩和作业归档要求 一、 每一门硕士研究生课程和博士研究生课程结业后2个月内，任课教师必须向研究生教务办提交该门课程成绩单和学生课程作业档案。 二、 学生课程作业存档必须对照课程成绩单，全部收齐后一次性存档。课程 作业不全或验收不合格的,研究生教务办不接收该门课程成绩单，不登录成绩。三、 每程作阅、打分和签字，并且按统一规格验收存档。 四、 以小组形式参加的联合教学、联合竞赛和社交成绩的同时，存入该小组设计图册和社会调查图册（A3规格）。封面和扉页注明学生学号、姓名、项目名称。没有正式图册或图册中没有学生名字的不登录该学分成绩。 五、 由导师自上的课程1程作业本。其内容可以是读书报告、研究型设计或助教心得。授课教师必须批阅、打分和签名。 六、 每一届研究生论文作业档案、开题报告及其它培养要求进行一次集中清理。存档不符合要求的学生不能参加论文盲审。 七、 以上研究生教学存档要生招生资格和招生指标考核中，请各位导师自觉遵守。 注作业。 A4 业 作: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

数值计算课程设计任务书

数值计算课程设计任务书 学院信息与计算科学/应用数学专业班级学生： 题目：典型数值算法的C++语言程序设计 课程设计从2017 年 6 月12 日起到2017 年7月 1 日 1、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 每人需作10个算法的程序、必做6题、自选4题。 对每个算法要求用C++语言进行编程。 必选题： 1、高斯列主元法解线性方程组 2、牛顿法解非线性方程组 3、经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组 4、三次样条插值算法（压紧样条）用C++语言进行编程计算 依据计算结果，用Matlab画图并观察三次样条插值效果。 5、龙贝格求积分算法 6、M次多项式曲线拟合，据计算结果，用Matlab画图并观察拟合效果。 自选题：自选4道其他数值算法题目.每道题目重选次数不得超过5次. 2、对课程设计成果的要求〔包括图表、实物等硬件要求〕： 2.1 提交课程设计报告 按照算法要求，应用C++语言设计和开发算法程序，提交由： 1）每个算法的原理与公式说明； 2）每个算法相应的程序设计说明（程序中的主要变量语义说明，变量的数据类型说明，数据在内存中组织和存储结构说明，各函数的输入形参和输出形参说明，函数功能说明，函数中算法主要流程图，函数的调用方法说明）； 3）每个程序使用的实例(引用的实例可以自拟，也可以借用相关数值计算参考书中的例题作为作为验证程序是否正确的实例，无论是自拟实例还是引用实例，实例都应详细写入报告的正文中)； 4）每个算法的调试记录(包括程序调试（静态调试和动态调试）和程序修改记录、程序测试（可以手工计算进行测试、也可以利用Matlab的函数或

华中科技大学研究生课程作业本封面

研究生课程作业本 学生姓名 学生学号 专业、班级 课程名称 授课教师 成绩_______________________________________ 交作业日期年月 建规学院研究生（硕士、博士）教学成绩和作业归档要求 一、每一门硕士研究生课程和博士研究生课程结业后2个月内，任课教师必须向研究生教务办提交该门课程成绩单和学生课程作业档案。 二、生课程作业存档必须对照课程成绩单，全部收齐后一次性存档。课程作业不全或验收不合格的,研究生教务办不接收该门课程成绩单，不登录成绩。 三、每一份学生课程作业学生必须完整填写作业本封面，必须有授课教师批阅、打分和签字，并且按统一规格验收存档。 四、以小组形式参加的联合教学、联合竞赛和社会调查等学分课程，应在提交成绩的同时，存入该小组设计图册和社会调查图册（A3 规格）。封面和扉页注明学生学号、姓名、项目名称。没有正式图册或图册中没有学生名字的不登录该学分成绩。 五、由导师自上的课程或教学实践（助教，1学分），必须按上述要求存入课程作业本。其内容可以是读书报告、研究型设计或助教心得。授课教师必须批阅、打分和签名。 六、每一届研究生论文盲审之前，研究生教务办必须对每一位研究生的课程作业档案、开题报告及其它培养要求进行一次集中清理。存档不符合要求的学生不能参加论文盲审。 七、以上研究生教学存档要求纳入对每一位教师的年终考核和每一年的研究生招生资格和招生指标考核中，请各位导师自觉遵守。

注：每个专业对研究环节的课程有特殊要求的，按照每个专业的特殊要求交作业。 A4双面黑白打印 作业情况备注: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

数值分析第一次作业

数值分析第一次作业 班级 学号 姓名 习题2 4、用Newton法求方程f(x)=x^3-2*x^2-4*x-7=0在[3，4]中的根。 代码： function[x_star,k]=Newton1[fname,dfname,x0,ep,Nmax] if nargin<5 Nmax=500; end if nargin<4 ep=1e-5;end x=x0;x0=x+2*ep;k=0; while abs(x0-x)>ep&kep&k

x0=x1; x1=x2; end x_star=x1; if k==Nmax warning('已迭代上限次数');end fun=inline('x^3-2*x^2-4*x-7'); [x_star,k]=Gline(fun,3,4) x2 = 3.5263 x2 = 3.6168 x2 = 3.6327 x2 = 3.6320 x2 = 3.6320 x_star = 3.6320 k = 5 习题3

matlab与数值分析作业

数值分析作业(1) 1：思考题（判断是否正确并阐述理由） （a）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 (b)无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。 (c)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。 (d)用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。 (f)浮点数的加法满足结合律。 (g)浮点数的加法满足交换律。 (h)浮点数构成有效集合。 (i)用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解。√2: 解释下面Matlab程序的输出结果 t=0.1; n=1:10; e=n/10-n*t 3：对二次代数方程的求解问题 20 ++= ax bx c 有两种等价的一元二次方程求解公式

2224b x a c x b ac -±==- 对 a=1，b=-100000000，c=1，应采用哪种算法？ 4：函数sin x 的幂级数展开为： 357 sin 3!5!7! x x x x x =-+-+ 利用该公式的Matlab 程序为 function y=powersin(x) % powersin. Power series for sin(x) % powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t; t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t n=n+2; end

（a ） 解释上述程序的终止准则； （b ） 对于x=/2π、x=11/2π、x =21/2π，计算的精度是多少？分别需 要计算多少项？ 5:指数函数的幂级数展开 2312!3!x x x e x =+++ + 根据该展开式，编写Matlab 程序计算指数函数的值，并分析计算结果（重点分析0x <的计算结果）。

《数值分析》课程设计报告

《数值分析》课程设计实验报告 龙格—库塔法分析Lorenz 方程 200820302033 胡涛 一、问题叙述 考虑著名的Lorenz 方程 () dx s y x dt dy rx y xz dt dz xy bz dt ?=-???=--???=-?? 其中s ，r ，b 为变化区域内有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。 二、问题分析 Lorenz 方程实际上是一个四元一阶常微分方程，用解析法精确求解是不可能的，只能用数值计算，最主要的有欧拉法、亚当法和龙格- 库塔法等。为了得到较高精度的，我们采用经典四阶龙格—库塔方法求解该问题。 三、实验程序及注释 （1）算法程序 function [T]=Runge_Kutta(f,x0,y0,h,n) ％定义算法，其中f 为待解方程组， x0是初始自变量，y0是初始函数 值，h 是步长，n 为步数 if nargin<5 n=100; ％如果输入参数个数小于5，则步数 n=100 end r=size(y0);r=r(1); ％返回初始输出矩阵的行列数，并将 值赋给r(1) s=size(x0);s=s(1); ％返回初始输入矩阵的行列数，并 将值赋给s(1) r=r+s; T=zeros(r,n+1); T(:,1)=[y0;x0]; for t=2:n+1 ％以下是具体的求解过程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1)); k2=feval(f,[k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k3=feval(f,[k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k4=feval(f,[k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h]); x0=x0+h; T(:,t)=[T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0]; end

数值分析作业

7、用列主元消去法解线性方程组 123123123 123315,18315,6,x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??++=? 并求出系数矩阵A 的行列式的值。 解： 31223211223,x a a a x x a ，为零，然后选出第二列的主元素，通过交换行，使它放在a 位置，在将我们对方程组的增广矩元素的值变阵做初等变换，先选出第一列的主元素，交换行，放在然后进行初等变换为零，然后回代，解出，，的值。具体过，使得程如下： 183115183 115183115123315017/35017/3511160117/1831/60011/311---------????????????-→-→-?????? ???????????? 所以解为1231,2,3,A -66x x x ===行列式的值为。 8、用直接三角分解（杜利特尔分解）求解线性方程组 1231231231 119,4561 118,3451 282x x x x x x x x x ?++=?? ?++=???++=?? 的解。 解：因为直接三角分解法将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角 矩阵，因此 设 12 31 452 3 61001 00,100 u u u A l u u l l u ???? ????=???????????? 根据矩阵乘法计算法则，得 1l =4/3,2l =2,3l =-36 1u =1/4,2u =1/5,3u =1/6,4u =-1/60,5u =-1/45,6u =13/15。

解方程组Ly=b,得 y 1239,4,154,y y ==-=- 同时解Ux=y,得 123227.08,476.92,177.69x x x =-==- 9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中 2100012100012100012100012A -????--????=--??--????-??,10000b ????????=???????? 解： 设A 可以分解为 1 12233 445211112111121111211 1121l u l u l u l u l -????????????---? ???????????=---? ?????---? ???????????--???? ?? 根据矩阵乘法的运算法则，联立可解得 1234512342,3/2,4/3,5/4,6/5,1/2,2/3,3/4,4/5,l l l l l u u u u ======-=-=-=- 由 Ly=b,解得 y 123451/2,1/3,1/4,y 1/5,1/6y y y =====; 再由 Ux=y,解得 123455/6,2/3,1/2,1/3,1/6x x x x x ===== 12 ||x ||(Ax,x),||x ||15n A A A =试证明为 、设为对称正定矩阵，定义上向量的一种范数。 证明：要证明该命题，只需证明||x ||A 满足向量范数的三个条件。。 （1） 因A 正定对称，所以当x=0时， 1 2 ||x ||(Ax,x)A ==0；而当x ≠0时， 12 ||x ||(Ax,x)A =>0. （2） 对任意α 属于 ，有

12级数值分析课程设计

数值分析课程设计题目与要求 （12级应数及创新班） [设计题一] 编写顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的函数，再分别调用这两个函数求解下面的84阶方程组： = ， 然后考虑将方程组的阶数取为10至100之间多个值进行求解。将你的计算结果与方程组的精确解进行比较。从“快”、“准”、“省”三个方面分析以上两个算法，试提出改进的算法并加以实现和验证。 [设计题二] 编写平方根法和改进的平方根法（参见教材《计算方法》P54的例题2.5）的函数，然后分别调用这两个函数求解对称正定方程组Ax=b，其中A和b分别为： （1）系数矩阵A为矩阵（阶数取为10至100之间多个值）: ， 向量b随机地选取； （2）系数矩阵A为Hilbert矩阵（阶数取为5至40之间多个值），即A的第i行第j列元素，向量b的第i个分量取为。将你的计算结果与方程组的精确解进 行比较。 若出现问题，分析其原因，提出改进的设想并尝试实现之。

对于迭代法 ,......)2,1,0(99.02 1=-=+k x x x k k k ， 它显然有不动点0*=x 。试设计2个数值实验 得到收敛阶数的大概数值（不利用判定收敛阶的判据定理）： （1） 直接用收敛阶的定义； （2） 用最小二乘拟合的方法。 [设计题四] 湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温T 看成深度x 的函数T(x),有某个湖的观测数据如下： 环境工程师希望： 1） 用三次样条插值求出T(x)。 2） 求在什么深度处dx dT 的绝对值达到最大（ 即02 2=dx T d ）。 [设计题五] 某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出: ．．．值y 及一阶、二阶导数值y ’，y ”。绘出模拟曲线的图形。

数值分析作业思考题汇总

￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61

数值分析课程课程设计汇总

课 程 设 计 我再也回不到大二了， 大学是那么短暂 设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师 设 计 题 目 共15题如下 成绩

数值分析课程设计 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题: 14 (1)5 k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5 x p =- 所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解 15 1,4 k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4） MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; end if p==fix(p), break end end disp([x,p]) 1．2 设，1 5n n x I dx x =+? （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 11 5(1,2,20)n n I I n n -=-+= 计算机从1I 到20I 的近似值； （2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：

数值分析作业答案

数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

数值分析课程设计(最终版)

本文主要通过Matlab 软件，对数值分析中的LU 分解法、最小二乘法、复化Simpon 积分、Runge-Kutta 方法进行编程，并利用这些方法在MATLAB 中对一些问题进行求解，并得出结论。 实验一线性方程组数值解法中，本文选取LU 分解法，并选取数据于《数值分析》教材第5章第153页例5进行实验。所谓LU 分解法就是将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A 的元素得到计算L 、U 元素的递推公式，而不需要任何步骤。用此方法得到L 、U 矩阵，从而计算Y 、X 。 实验二插值法和数据拟合中，本文选取最小二乘拟合方法进行实验，数据来源于我们课堂学习该章节时的课件中的多项式拟合例子进行实验。最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。利用excel 的自带函数可以较为方便的拟合线性的数据分析。 实验三数值积分中，本文选取复化Simpon 积分方法进行实验，通过将复化Simpson 公式编译成MATLAB 语言求积分∫e ;x dx 1 0完成实验过程的同时，也对复化Simpon 积分章节的知识进行了巩固。 实验四常微分方程数值解，本文选取Runge-Kutta 方法进行实验，通过实验了解Runge-Kutta 法的收敛性与稳定性同时学会了学会用Matlab 编程实现Runge-Kutta 法解常微分方程，并在实验的过程中意识到尽管我们熟知的四种方法，事实上，在求解微分方程初值问题，四阶法是单步长中最优秀的方法，通常都是用该方法求解的实际问题，计算效果比较理想的。 实验五数值方法实际应用，本文采用最小二乘法拟合我国2001年到2015年的人口增长模型，并预测2020年我国人口数量。 关键词：Matlab ；LU 分解法；最小二乘法；复化Simpon 积分；Runge-Kutta

数值分析作业一

数值分析作业一 习题 9： 解：求1 0(arccos )n I x dx =?的稳定递推公式 21/20/2/2 100n 1n 2~00001()/221101221y=x=cosy dx=-sinydy x [0,/2] I siny.cos .n.cosy..(/2)-n(n-1)I =(1)!E (n )(1)(n 1)!E (n n n n n n n n n y dy y y y dy n I E I I E n E πππππ---+∈==-+=-=-=--??令arccosx ，则有，其中则的误差可以设为，根据误差的传递可得： 其中为偶数；同理，其中22n 2n )n 11I =I +(/2)(n 1)1 n n n π-----为奇数。所以误差随着的变大而逐渐累加，顾不是稳定递推公式。 可求得稳定递推公式为： 习题10： 求 的稳定递推公式： 解： 1n 1011......(1)44c =-(-)44 1)c>4n 41c c 2c<4n c=n n n n n n n c I n c E E I n ---+==+=求的递推公式为I 则有E ，根据误差的传递可得E 讨论：当时，递推公式(1)属于病态问题，即误差随增加而增加，所以递推公式要变为I ）当时，误差随增加而变小，所以递推公式（1）是稳定的 3）当4时，误差不变，递推公式（1）是稳定的。 n n x I dx x c 1 04=+?

实验题 程序： ess=input('Enter the number of ess:'); ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; y=roots(poly(1:20)+ve) plot(y) 1.当ess取值大于0.00000000001时会出现“复数”根。表明有些解对如此扰动敏感性较大。 2.当将方程（1.2）中的扰动项改成18x 或其它形式，实验中不会出现“复数”根，各跟的抗干扰性变强。 思考题一程序如下 ess=input('Enter the number of ess:'); ve=zeros(1,21); ve(3)=ess; y=solve(poly2sym(poly(1:20)+ve),'x') plot(y) 输入不同的ess值发现各根的精确度变高，干扰也变大。 思考题二程序如下： Y=0.1;i=1; n=input('Enter the limit value:'); while i

数值分析-课程设计doc

课程设计报告 课程名称数值分析 课题名称数值积分 专业信息与计算科学 班级 学号 姓名 指导教师 2015 年12 月20 日

湖南工程学院 课程设计任务书 课程名称数值分析 课题数值积分 专业班级信息与计算科学0901班 学生姓名 学号 指导老师辉 审批 任务书下达日期2015 年12 月7 日任务完成日期2015 年12 月20日

设计内容与设计要求 1. 设计内容： 非奇异矩阵矩阵A ∈R n*n ，已知A -1的一个近似矩阵D （0）∈R n*n ，则由矩阵公式： ?????+=-=--)()1()1(K K K K K F I D D AD I F , K=0，1，2，3........... （1）.已知矩阵A 及其逆矩阵的一个近似D (k)为： A=?? ??? ?? ?? ???--------7.49.43.49.19.47.11.88.78.26 .21.27.07.37.08.38.1 D= ???? ? ???? ???---------185.0061.0388.0293.0199.0009.0046.0230.0089.0016.0169.0035.0270.0163.0460.0211.0 用以上方法计算序列{D (k)}迭代次数超过100次时结束。 （2）分析最后得到的D (k)是否A 的一个较好的近似逆矩阵 2.设计要求： ● 课程设计报告正文内容 a. 问题的描述及算法设计； b. 算法的流程图（要求画出模块图）； c. 算法的理论依据及其推导； d. 相关的数值结果（通过程序调试），； e. 数值计算结果的分析； f. 附件（所有程序的原代码，要求对程序写出必要的注释）。 ● 书写格式

数值分析实验— MATLAB实现

数值分析实验 ——MATLAB实现 姓名sumnat 学号2013326600000 班级13级应用数学2班 指导老师 2016年1月

一、插值：拉格朗日插值 (1) 1、代码： (1) 2、示例： (1) 二、函数逼近：最佳平方逼近 (2) 1、代码： (2) 2、示例： (2) 三、数值积分：非反常积分的Romberg算法 (3) 1、代码： (3) 2、示例： (4) 四、数值微分：5点法 (5) 1、代码： (5) 2、示例： (6) 五、常微分方程：四阶龙格库塔及Adams加速法 (6) 1、代码：四阶龙格库塔 (6) 2、示例： (7) 3、代码：Adams加速法 (7) 4、示例： (8) 六、方程求根：Aitken 迭代 (8) 1、代码： (8) 2、示例： (9) 七、线性方程组直接法：三角分解 (9) 1、代码： (9) 2、示例： (10) 八、线性方程组迭代法：Jacobi法及G-S法 (11) 1、代码：Jacobi法 (11) 2、示例： (12) 3、代码：G-S法 (12) 4、示例： (12) 九、矩阵的特征值及特征向量：幂法 (13) 1、代码： (13) 2、示例： (13)

一、插值：拉格朗日插值 1、代码： function z=LGIP(x,y)%拉格朗日插值 n=size(x); n=n(2);%计算点的个数 syms a; u=0;%拉格朗日多项式 f=1;%插值基函数 for i=1:n for j=1:n if j==i f=f; else f=f*(a-x(j))/(x(i)-x(j)); end end u=u+y(i)*f;f=1; end z=expand(u);%展开 2、示例： >> x=1:6; y1=x.^5+3*x.^2-6; y2=sin(x)+sqrt(x); >> f1=LGIP(x,y1) f1 = -6+3*a^2+a^5 %可知多项式吻合得很好 >> f2=vpa(LGIP(x,y2),3) f2 = .962e-1*a^4+1.38*a+.300*a^2+.504-.436*a^3-.616e-2*a^5

数值分析作业

数 值 分 析 作 业 ——非线性方程的求解方法与分析 学院： 学号： 姓名：

本文主要阐述了五种非线性方程的求解方法，分别为二分法、简易牛顿法、牛顿迭代法、牛顿下山法与弦截法。并分别对五种求解方法的计算结果进行了相应地分析。二分法运用函数有根区间中点与端点的函数值，缩小根区间，从而得到较快的收敛速度。牛顿迭代法，是一种常见的求解具有单重零点的非线性方程的数值方法，具有局部二阶收敛性。简易牛顿法便是简化的牛顿迭代法，将迭代点的导数值固定为初始值点的导数值，从而简化计算次数。牛顿下山法，为避免初值选取不当而使得迭代不收敛而在牛顿迭代法改进的方法。弦截法，克服了牛顿迭代法需求零点处函数导数的缺点，使用两次迭代点的差商替代了函数的导数值。本文非线性方程的求解方法均运用MATLAB编程及实现。 关键词：非线性方程；二分法；牛顿迭代法；牛顿下山法；弦截法

第一章非线性方程 (1) 非线性方程简介 (1) 非线性方程求解方法简介 (1) 二分法 (1) 牛顿迭代法 (2) 牛顿下山法 (4) 简易牛顿法 (4) 弦截法 (5) 第二章计算机配置 (7) 处理器 (7) 存储设备 (7) 显卡 (8) 显示屏 (8) 操作系统 (8) 第三章算法的MATLAB实现及结果分析 (9) 二分法 (9) 牛顿迭代法 (12) 简易牛顿法 (15) 牛顿下山法 (18) 弦截法 (21) 结论 (25)

第一章 非线性方程 非线性方程简介 非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性关系。 在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。非线性代数是研究大规模离散数据的运算处理与内在性状的数学科学。科学技术离不开数据处理与数据分析，因此非线性代数具有非常广泛的应用，在力学、化学、生命科学、控制理论等众多科学领域中，非线性方程早已屡见不鲜。因此，非线性方程的求解就显得愈加重要。然而求解非线性方程有很多种方法，每种方法都有自己的优缺点。 非线性方程求解方法简介 求函数零解作为数学研究领域的一个热点已经延续了几百余年，所以已经建立了许多种方法，拥有比较完备的求解体系。本文中，主要介绍非线性方程求解方法中最常用也是比较简单的几种方法。 在解决实际问题的中，大都会遇到非线性方程或非线性方程组的数学模型，这类方程的求解用一般的代数方法求解是不可能实现的。所以，在解决这类问题的时候，多是将求零解转化为求近似解。 二分法 若)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且0)()(

数值分析课程设计实验指导书

数值分析实验指导书 实验一 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？ 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题（15621）。 1．2 设，1 05n n x I dx x =+? （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 11 5(1,2,20)n n I I n n -=-+= 计算机从1I 到20I 的近似值； （2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式： 111 (30,29,,3,2)55n n I I n n -=-+= 计算从1I 到20I 的近似值； （3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。 1．3 绘制Koch 分形曲线 问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的另两条边代替，形成具有5个结点的新的图形（图1-4）；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的另两条边代替，再次形成新的图形（图1-5），这时，图形中共有17个结点。这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。在迭代过程中，图形中的结点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少取决于所进行的迭代次数和显示系统的分辨率。Koch 分形曲线的绘制与算法设计和计算机实现相关。