(完整word版)数字chebyshev滤波器的设计(matlab)

数字Chebyshev 滤波器的设计

初始条件：

1. Matlab6.5以上版本软件；

2. 课程设计辅导资料：“Matlab 语言基础及使用入门”、“信号与系统”、“数字信号处理原理与实现”、

“Matlab 及在电子信息课程中的应用”等；

3. 先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab 应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1. 课程设计时间：1周；

2. 课程设计内容：数字Chebyshev 滤波器的设计，具体包括：基本数字Chebyshev 滤波器的设计，数

字高通、带通滤波器的设计，以及相关设计方法的应用等；

3. 本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设

计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结，按要求进行实验演示和答辩等；

4. 课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括：

① 目录；

② 与设计题目相关的理论分析、归纳和总结；

③ 与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； ④ 程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； ⑤ 课程设计的心得体会（至少500字）； ⑥ 参考文献（不少于5篇）； ⑦ 其它必要内容等。

时间安排： 1周（第18周）

附——具体设计内容：

1. 设计一个切比雪夫Ⅱ型低通滤波器，指标如下：

通带边界频率：πω2.0=P ，通带最大衰减：dB R P 1=

阻带截止频率：πω4.0=S ，阻带最小衰减：dB R S 80=

2. 设计一个高通Chebyshow 型数字滤波器，要求达到的指标是：wp=100Hz, ws=80Hz,Fs=300Hz,

rp=1db,rs=45db.

3. 设计一个带通切比雪夫数字滤波器，通带为100Hz ～200Hz ，过渡带宽均为50Hz ，通带波纹小于1dB ，

阻带衰减30Hz ，采样频率1000Hz s F ＝

。

1设计方法

1.1 冲击响应不变法原理（Impulse invariance ）

冲击响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列h （n ），模仿模拟滤波器的冲击响应g （t ）。

设系统传递函数为G （s ）的模拟滤波器的单位冲击响应g （t ），并将冲击响应g （t ）进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位抽样响应h （t ）刚好等于g （t ）的采样值，即： （1-1） 其中Ts 为采样周期。

因为G(s)是模拟滤波器的系统传递函数，故他是该系统冲击响应函数g （t ）的拉普拉斯变换；又设H （z ）是数字滤波器的系统传递函数，从而可的它是数字滤波器的单位抽样响应函数h （n ）的Z 变换。模拟信号的拉普拉斯变换与其采样序列Z 变换的关系为：

（1-2）

上式的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数G （s ）作周期的延拓，再经过e

s

sT z =的映射变换，从而得到数字滤波器的系统函数H （z ）。假设s 平面上，s 在j Ω轴上取值，z 在Z 平面内的单位圆周e j ω

上取值，可以得到数字滤波器的频率响应)(e j H ω

=和模拟滤波器的频率响应)(ωj G 间的关系为

（1-3） 其中S T Ω=ω

假设模拟滤波器的系统函数G （s ）只有单阶极点，且M

（1-4）

其拉普拉斯变换脉冲响应g （t ）为：

g （t ）=

st N

k K

e A

∑=1

，t ≥0

0 ， t ＜0 （1-5）

∑

=-=N

k k

K s s A s G 1)()(1)(∑∞

-∞

=Ω-Ω=k s j jk j G Ts H e ω

)

(1)(∑∞

-∞

==Ω-=k s S e z j s G T z H st ∑∞

==-===0)()()()()(n s s st

nT h nT t t g e z t

g n h δ

对g （t ）进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应函数h （n ）为：

当n ≥0时，h(n)=snT N

K K e A ∑=1；当n ＜0时，h(n)=0 （1-6）

然后对h(n)进行Z 变换，就可以得到数字滤波器的系统传递函数H （z ）：

（1-7）

按照冲击响应不变法的原理，通过模拟滤波器的系统传递函数G （s ），可以直接球的数字滤波器的系统函数H （z ）

2切比雪夫（chebyshev ）滤波器

2.1切比雪夫滤波器简介

切比雪夫滤波器（又译车比雪夫滤波器）是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I 型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II 型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼

提·列波维其·切比雪夫

2.2 切比雪夫滤波器原理

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止

处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N 很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的

。切比雪夫滤波器的

在

通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。

切比雪夫滤波器的振幅平方函数为

∑∑∑∑=--==-∞-∞=-===N

k T s k n nT s N n N k k n

n z e A z e A z n h z H k k 11

011)()

(

（2-1）式中

—有效通带截止频率

Ω

c

—与通带波纹有关的参量，大,波纹大 0<<1

（x）—N阶切比雪夫多项式

V

N

（2-2）

(x)|≤1

|x|≤1时,|V

N

|x|>1时, |x|↗, V

(x)↗

N

切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示,通带内，的变化范围为

1(max) →(min)

↗，→0 (迅速趋于零)

时，|x|>1,随

当

=0时，

N为偶数，cos2()=1，得到min，

，（2-4）

N为奇数，cos2(，得到max，

（2-5）切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图1所示。

图1 切比雪夫滤波器的振幅平方特性

2.3 Chebyshev有关参数的确定

2.3.1 通带截止频率

预先给定

2.3.2 ε的确定

与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成

（2-6）

所以,,

分贝数后，可求得。

给定通带波纹值

2.3.3 阶数N

由阻带的边界条件确定。

、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点处,

要求滤波器频响衰减到1/A2以上。

（2-7）

（2-8）

（2-9）

（2-10）

滤波器阶数N对滤波特性有极大的影响，N越大，逼近特性越好，但是相应的结构也越复杂。一般情况下N等于通带内最大和最小个数的总和。N的数值可根据阻带衰减来确定。

3切比雪肤低通滤波器的设计

3.1 matlab函数说明

1. cheb2ord.m 求切比雪夫Ⅱ型滤波器的阶次。

2．Cheb2ap.m 用来设计原型切比雪夫Ⅱ型模拟滤波器。

3．Cheby2.m 直接设计切比雪夫Ⅱ型滤波器。此函数设计N阶切比雪夫Ⅱ型滤波器，通带波动为RpdB。在长度为N+1的矢量b和a中返回滤波器系数。

以上3个文件的调用格式和对应的巴特沃兹滤波器的文件类似。

4．impinvar.m 用冲激响应不变法实现ω到Ω及s到z的转换。

5. zp2tf.m 将零极点模型转化成传递函数的模型。

6. zp2ss.m 表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式。

7. lp2hp.m 实现低通到高通滤波器类型的转换。

8. Bilinear.m 采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通。

3.2 Matlab程序及运行

3.2.1 matlab程序及仿真图

一、设计一个切比雪夫Ⅱ型低通滤波器

wp=0.2*pi; %通带边界频率；

ws=0.4*pi; %阻带截止频率；

rp=1; %通带最大衰减；

rs=80; %阻带最小衰减；

Fs=1000 %假设抽样脉冲1000hz [N,Wn]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s'); %Chebyshev II型滤波器参数计算（模拟域）；[Z,P,K]=cheby2(N,rs,Wn,'s'); %构造Chebyshev II型滤波器（零极点模型）；

[H,W]=zp2tf(Z,P,K); %将零极点模型转化成传递函数的模型；

figure(1);

freqs(H,W); %在Figure1上显示滤波器的幅频响应及相频响应；

[P,Q]=freqs(H,W); %返回滤波器的冲击响应的复数形式；

figure(2);

plot(Q*Fs/(2*pi),abs(P));grid; %在Figure2上显示幅频特性曲线；xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅值');

二、设计一个高通Chebyshow型数字滤波器

wp=100;ws=80;Fs=300;rp=1;rs=45; %数字滤波器的各项指标；

WP=100*2*pi; %把数字滤波器的频率特征转换成模拟滤波器的频率特征；WS=300*2*pi;

[N,Wn]=cheb2ord(WP,WS,rp,rs,'s'); %Chebyshev II型滤波器参数计算（模拟域）；[Z,P,K]=cheb2ap(N,rs); %创建Chebyshev滤波器原型；

[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K); %表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式；[AA,BB,CC,DD]=lp2hp(A,B,C,D,Wn); %实现低通到高通滤波器类型的转换；[a,b,c,d]=bilinear(AA,BB,CC,DD,Fs); %采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通；[P,Q]=ss2tf(a,b,c,d); %表达式从状态方程形形式转换成传输函数形式；figure(1);

freqz(P,Q); %绘出频率响应；

[H,W]=freqz(P,Q);

figure(2);

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅值');

三、设计一个带通切比雪夫数字滤波器

W1=100;W2=200;rp=1;rs=30;Fs=1000; %数字滤波器的各项指标；WP=[100,200];WS=[50,250];

[N,Wn]=cheb1ord(WP/(Fs/2),WS/(Fs/2),rp,rs);

%Chebyshev I型滤波器参数计算（数字域）；

[P,Q]=cheby1(N,rp,Wn,'bandpass');%创建Chebyshev带通滤波器；figure(1);

freqz(P,Q); %显示产生滤波器的幅频及相频曲线；[H,W]=freqz(P,Q);

figure(2);

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅度');

3.2.2 编程原理说明

MATLAB提供了一个函数[z，p，k]=cheb2ap（N，Rp），来设计一个阶数为N，通带波动为Rp的归一化切比雪夫Ⅱ型原型滤波器，它在数组z中返回零点，数组p中返回极点，

Ω的归一化的切比雪夫Ⅱ型滤波器，这可由归一化滤波并返回增益k。我们需要具有任意

c

Ω得到。这种滤波器没有零点。新增益k由旧的增益k乘以非归一化与归器的数组p乘以

c

一化多项式在s=0出的比值。上述程序是根据要求所给的性能指标先用cheb2ap设计一个模拟切比雪夫滤波器，然后用函数Bilinear将模拟滤波器转换为数字滤波器。

3.3 波形记分析

4 小结

本次课程设计我的任务是用冲击响应不变法设计切比雪夫低通数字滤波器，并应用MATLAB软件进行仿真分析，是数字信号处理的知识与软件应用相结合的一次训练。

所谓冲击相应不变法设计滤波器就是将模拟滤波器转化为数字滤波器，冲击响应不变法的一个重要特点是频域坐标的变换是线性的，例如，对于线性相位的椭圆滤波器，通过冲击响应不变法得到的仍是线性相位的低通滤波器。如果Ha（s）是稳定的，即其极点在S左半平面，映射到H（z）也是稳定的。

切比雪夫滤波器包括两种，即切比雪夫1型滤波器和2型滤波器，切比雪夫滤波器频率响应的特点是：在带通内是等幅的纹波，在阻带内单调衰减，过度迅速。

通过本次课程设计，我对平时所学的知识有了更深入的了解，对MATLAB的应用也较以前熟练，知识与应用相结合提高了我的学习热情，希望在一次次的课程设计中可以不断进步，不断提高。

参考文献

[1]刘泉，阙大顺编数字信号处理原理与实现，电子工业出版社，2005年6月

[2]苏金明，王永利编 Matlab7.0使用指南，电子工业出版社，2004年11月

[3]薛定宇陈阳泉编基于matlab/simulink的系统仿真技术与应用，清华大学出版社2002年

[4]郭仕剑、王宝顺、贺志国.MATLAB数字信号处理.人民邮电出版社，2007.11

[5]陈怀琛编著，数字信号处理教程——MATLAB释义与实现，北京：电子工业出版社2004