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直线的交点坐标和距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.能用解方程组的方法求两

条相交直线的交点坐标．

2.掌握两点间的距离公式、点

到直线的距离公式、会求两

条平行直线间的距离.

1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出

现在相关的位置关系中．

2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的

距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与

圆或圆锥曲线的问题中来考查.

[归纳·知识整合]

1．两条直线的交点

设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组

??A1x＋B1y＋C1＝0，

A2x＋B2y＋C2＝0

的解，

(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；

(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．

[探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？

提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个

交点时，两条直线重合．

2．距离

点P 1(x 1，y 1)，

P 2(x 2，y 2)之间的距离

|P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12

点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距

离

d ＝

|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离

d ＝

|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2

解析：选D d ＝

|－5|12＋22

＝

2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8

D ．6

解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0

2＋

0－82＝36＋64＝10.

3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1

B ．－1

C ．2

D.12

解析：选B 由

????? 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得?????

x ＝－1，

y ＝－2，

将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－1

4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为

________．

解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则

2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2

，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x

＋y －3＝0.

答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0

5．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则

?????

b －3

a －2＝1，

a ＋22＋

b ＋32＋1＝0，

解得?????

a ＝－4，

b ＝－3.

答案：(－4，－3)

两条直线的交点问题

[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．

(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，

n 满足的条件是__________．

[自主解答] (1)法一：由方程组?

????

x ＋y ＋1＝0，

x －y ＋3＝0，

解得?

????

x ＝－2，

y ＝1，即点P (－2,1)，

∵l 3⊥l ，∴k ＝－12

，

∴直线l 的方程为y －1＝－1

2(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.

法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，

∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0，即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.

∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－1

∴直线l 的方程为23x ＋4

y ＝0，即x ＋2y ＝0.

(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n

8，l 2的方程为x ＝1

2，

两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；

当m ≠0时，由两直线相交．

所以m 2≠8

m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .

[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R

若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．

解：由方程组????? x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得?????

x ＝－2，

y ＝1，

即点P (－2，1)．

又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)，即2x －y ＋5＝0. —————

—————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法

经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.

1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；

(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．

证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0

得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．

(2)由方程组?

????

y ＝k 1x ＋1，

y ＝k 2x －1，

解得交点P 的坐标为? ??

2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而

2x 2＋y 2＝2

? ????2k 2－k 12＋? ??

??k 2＋k 1k 2－k 12

＝

8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2

＝

k 21＋k 22＋4

＝1，

即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．

距离公式的应用

[例2] 已知点P (2，－1)．

(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；

(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.

由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝3

此时l 的方程为3x －4y －10＝0.

综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.

(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．

由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，

所以k l ＝－

k OP

＝2.

由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.

即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|

5＝

(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，

因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． —————

—————————————— 求两条平行线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)利用两平行线间的距离公式．

2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.

解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，

∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋1

4－2＝－1，

∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①

又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|

5＝2，

即4a ＋3b －2＝±10，②

由①②联立可得?

????

a ＝1，

b ＝－4，或

????

a ＝277

，

b ＝－87.

∴所求点P 的坐标为(1，－4)或? ????

277

，－87.

对称问题

[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；

(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知

????

y ＋2x ＋1×2

＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，

解得?????

x ＝－

，y ＝4

13，

故A ′? ??

??－3313，413.

(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．

设对称点M ′(a ，b )，则

?????

2×? ????a ＋2

2－3×? ??

b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，

得M ′? ??

??613，3013.

设直线m 与直线l 的交点为N ，则

由?????

2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，

得N (4,3)．

又∵m ′经过点N (4,3)，

∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. —————

—————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法

(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．

利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．

3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点

C 的坐标．

解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝

b －2a ＋4

，线段AA ′

的中点坐标为? ??

a －42，

b ＋22，∵?????

b －2

a ＋4·2＝－1，

b ＋22＝2·a －42，

解得?

????

a ＝4，

b ＝－2，∴A ′(4，－2)．

∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为

y ＋2

1＋2＝x －4

3－4

，即3x ＋y －10＝0. 由????? y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得?????

x ＝2，y ＝4，

∴C (2,4)．

1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法

与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.

1种思想——转化思想在对称问题中的应用

一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．

2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；

(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为

分别相等.

创新交汇——新定义下的直线方程问题

1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．

2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．

[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．

对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线

5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1；

其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)． [解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是

2的正方形，所以面积等于2，故①正确；

②当点P 为? ??

???25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.

[答案] ① [名师点评]

1．本题有以下创新点

(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．

(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．

2．解决本题的关键有以下两点

(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；

(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；

(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．

[变式训练]

四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝

kx ? ??

(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32

①当13

时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，

由?

????

y ＝kx ，2x ＋y ＝14，

解得交点为P 1? ??

14k ＋2，14k k ＋2.

因为点P1到直线OA：x－3y＝0的距离为d ＝143k－1 10k＋

，所以S＝

|OA|·d＝

143k－1

k＋2；

②当

2≤k<3时，直线y＝kx与线段BC：y＝6相交于点P2?

k，6，

所以S△OP

＝

|P2C|·6＝

63－k

又因为S四边形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，

所以S＝S四边形OABC－S△OP

＝26－

故S＝f(k)＝

??143k－1

k＋2?

，

26－

2≤k<3.

(2)若要直线y＝kx平分四边形OABC的面积，由(1)，知只需

143k－1

k＋2＝10，解得k＝

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )

322

D.22

解析：选C d ＝|1－－1×1＋1|12＋－1

2＝32

2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )

A ．(3,0)

B ．(－3,0)

C ．(0，－3)

D ．(0,3)

解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．

3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)

B ．(2,1)

C ．(1,2)或(2，－1)

D ．(2,1)或(－1,2)

解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝

|x －5＋3x －1|12＋

－1

＝

2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，

即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．

4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0

D ．－3x ＋4y ＋5＝0

解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.

5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.

则l 的方程是( )

A ．3x ＋y ＋4＝0

B ．3x －y ＋4＝0

C ．3x －y －4＝0

D ．x －3y －4＝0

解析：选C 由?????

7x ＋5y －24＝0，

x －y ＝0，

得交点(2,2)，

设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |

k 2＋－1

2＝

10，解得k ＝3.

∴l 的方程为3x －y －4＝0.

6．曲线|x |2－|y |

3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )

A ．m >4或m <－4

B ．－4

C ．m >3或m <－3

D ．－3

解析：选A 曲线|x |2－|y |

3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4

或m <－4.

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ? ??

???22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．

解析：d ＝ ? ??

???x －222＋ 2－x 2＝

2? ?????x －

3242＋14≥1

. 即最小值为1

答案：12

8．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为2

2的直线方程是________________．

解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝

|c ＋2|12＋

－1

，

得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.

答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝0

9．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．

①0 ②1

③1 ④2 ⑤3

解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．

答案：①③④

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．

解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，

则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.

11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．

解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，

D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入

射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .

故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －1

1＋2

，即10x －3y ＋8＝0.

12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴

|10＋5λ－5|2＋λ

2＋

1－2λ

2＝3，解得λ＝2或λ＝1

. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.

(2)由?????

2x ＋y －5＝0，

x －2y ＝0，

解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线

l ，设d 为点A 到l 的距离，

则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝

10.

1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪

N ＝________.

解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝1

或m ＝－2，

故M ＝?

?????－2，12；

直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0

时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠3

，即n ＝－2，所以N ＝{－2}．

故M ∪N ＝??????

－2，12.

答案：?

?????

－2，12

2．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．

解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，

则?

????

y 0－1

x 0－3＝－1，

y 0

＋12＝x 0

＋3

2＋1，解得?

????

x 0＝0，

y 0＝4，即A ′(0,4)．

故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.

由????? 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得?????

x ＝－3，

y ＝－2，

即C (－3，－2)．

故直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0

3．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．

解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，

设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，

由????? y ＝k x －3＋1，

x ＋y ＋1＝0，

解得A ? ????3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由?????

y ＝k x －3＋1，

x ＋y ＋6＝0，

解得B ? ????3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得

? ????3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋? ??

1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25，

解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.

法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0. 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②

联立①②可得????? x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或?????

x 1－x 2＝0，

y 1－y 2

＝5，

由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1. 法三：因为两平行线间的距离

d ＝

|6－1|2

＝522，

如图，直线l 被两平行线截得的线段为5，设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝2

，

所以θ＝45°.

因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为零．又因为直线l 过点D (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.

4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l

的方程．

解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)，由已知|1＋3＋m |12＋1

2＝

2，解得m ＝－2或m ＝－6，

故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.

(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ，由已知

|k －3|

k 2＋－1

＝

2，解得k ＝1或k ＝－7，

故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0. 综上，所求的直线方程为

x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.

知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础

直线的交点坐标与距离公式【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】要点一：直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200 A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三：两点间的距离公式两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四：点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

《直线的交点坐标与距离公式》一课一练

3.3 直线的交点坐标与距离公式一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是（A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则（A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有（A ）0条（B ）1条（C ）2条（D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是（A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ）2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则（A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是（A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是（A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是（A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 . 11、若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是 13，则2c a +的值为 . 12、直线y =2x +1关于直线y +2=0对称的直线方程是 . 13、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 . 14、11．给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y –2=k (x +1)；②

直线的交点坐标与距离公式一课一练

直线的交点坐标与距离公式一课一练集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

直线的交点坐标与距离公式一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是（A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则（A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有（A ）0条（B ）1条（C ）2条（D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是（A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ） 2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则（A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是（A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是（A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是（A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 .

直线的交点坐标和距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个

交点时，两条直线重合． 2．距离点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2

直线的交点坐标与距离公式习题(含答案)

直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）、单选题过定点（） 3．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为则顶点的坐标为（） A ． B ． C ． D ． 4．若点（2， k ）到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是（） A ． 1 B ． -3 C ． 1 或 D ． -3 或 5．已知直线和互相平行，则实数 m 的取值为（） A ． —1或 3 B ． — 1 C ． —3 D ． 1 或—3 6 ．在空间直角坐标系中，若点，，点是点关于平面的对称点，则 A ． B ． C ． D ． 7．已知直线与直线互相平行，则（） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 8 ．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以线段 1．已知满足时 , 的最大值为 , 则直线 A ． B ． C ． D ． 2．椭圆上的点到直线 A ． B ． C ．的最大距离为（） D ．直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且满足离心率满足（） A ． B ． C ．，则的 D ． 9．已知点在直线上运动，则的最小值为（） A ． B ． C ． D ． 5

、填空题 10 ．已知直线的倾斜角为，直线：，若，则实数的值为 _______________________________ 11．经过点 M 2,1 且与直线 3x y 8 0 垂直的直线方程为 ________________________ ． 12 ．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，与圆的另一个交点分别为 1)若点坐标为，求直线的方程； 2)求证：直线过定点 . 点，、为其上下顶点，若 (1) 求椭圆的方程； 13．与直线平行，并且距离等于 14 ．已知直线和直线为 _ __________ ； 15 ．直线与直线 16．已知直线，直线当 _________ 时，与平行． 17 ．已知实数满足 3 的直线方程是 ____________ ．互相垂直，则实数的值的距离是 _________ ．，则过定点 _______________ ，则 18 ．点关于直线的对称点是 ________ 三、解答题 19 ．如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点， 20．已知椭圆是其左右焦点，为其左右顶的最大值为

高一数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是 ( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.? ????43，13 D.? ?? ??13，43 答案 C 解析由方程组?? ? x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得????? x ＝43，y ＝1 3. 即直线x ＋2y －2＝0与直线 2x ＋y －3＝0的交点坐标是? ???? 43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于 ( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A 解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5. 3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是 ( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 答案 A 解析首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．答案 a ≠2

解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠3 6，∴a ≠2. 5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．答案 2 5 解析设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y 2＝－1， ∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5. 1．方程组??? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0 A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝ 0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法． 3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.

高中数学-直线的交点坐标与距离公式教案

第一课时 3.3-1两直线的交点坐标教案一、教学目标（一）知能目标：1。直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解（二）情感目标：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2．能够用辩证的观点看问题。二、教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。难点：两直线相交与二元一次方程的关系。三、教学过程：（一）课题导入用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？（二）探研新知分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。几何元素及关系代数表示点A A（a，b）直线L L：Ax+By+C=0 点A在直线上直线L1与 L2的交点A 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。（2）若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。（3）若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 1．例题讲解，规范表示，解决问题例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。3。1。 6 4 2 -2 -4 -55 y x 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。同类练习：书本114页第1，2题。

直线的交点坐标与距离公式练习题

第八章第三节直线的交点坐标与距离公式课下练兵场、选择题 1.两条平行线11： 3x + 4y + C 1 = 0, 12： 6x + 8y + C 2= 0 之间的距离是（ A. d = * 5 .以上皆非 C 2 解析：I 2： 3X + 4y + - = 0,/ 答案：B k 2k 1 k —1v 0, L>0,所以交点在第二象限. 答案：B 3. （2009 ?哈尔滨模拟）若k , — 1, b 三个数成等差数列，则直线解析：因为k ,— 1, b 三个数成等差数列，所以 k + b =— 2,即b =— k — 2,于是直线方程化为y = kx — k — 2,即卩y + 2 = k （x — 1），故直线必过定点（1 , — 2）. 答案：A A. (1 , — 2) B . (1,2) .(—1,2) .(—1, — 2) C 2 l C 1—□ d= ------ 2.当 0v k v 2时, 直线 11: kx — y = k — 1与直线12： ky — x = 2k 的交点在 A.第一象限 .第二象限 C.第三象限 .第四象限解析：解方程组 kx — y = k — 1, ky — x 得两直线的交点坐标为 k 2k — 1 , k — 1 ，因为0 1 v k v 2，所以 y = kx + b 必经过定点（）

4.直线y= 2x + 10, y= x+ 1, y= ax — 2交于一点，则a的值为

解析：直线 y = 2x + 10与y = x + 1的交点坐标为(—9, - 8)，代入y = ax —2，得一8 2 =a ? ( — 9) — 2, a =3. 答案：C 5. 点P (m- n ,— m 到直线m + y = 1的距离等于 X y 解析：因为直线m + n =1可化为n x + m y - mn= 0, 则由点到直线的距离公式，得 ,1( m — n )n + ( — n ) m — mn d = 答案: l i ： y = k (x — 4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线1 1： y = k (x — 4)与直线12关于点(2,1)对称，???直线12恒过定点(0,2). 答案：B 二、填空题解析：由题意得，6=V 丰V ，? a = — 4，c 12, c 则 6x + ay + c = 0 可化为 3x — 2y + 2 = 0, c 由两平行线间的距离，得血N 解得c = 2或-6，所以宁=± 1. 答案：±1 &直线3x — 4y — 27= 0上到点R2,1)距离最近的点的坐标是解析：数形结合所求点即为过 P 点垂直于已知直线的交点, 答案：(5 , — 3) 9?与直线x — y — 2= 0平行，且它们的距离为 2^/2的直线方程是寸 m + n 2 6. (2009 -海淀模拟 )若直线l i ： y = k (x — 4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线|2恒过定 A. (0,4) B .(0,2) C .(—2,4) .(4 , — 2) 解析：由于直线 7.若两平行直线 3x — 2y — 1 = 0,6x + ay + c = 0之间的距离为垃，则也的值为 a 13 可得 P' (5 , — 3).

知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础

直线的交点坐标与距离公式编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】要点一、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组111222 00A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111 222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三、两点间的距离公式两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =. 要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

直线的交点坐标与距离公式(习题)

直线的交点坐标与距离公式（习题） 1.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（） A．1 2 B． 1 2 -C．2 D．-2 2.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为（） A．3x+4y+17=0 B．4x-3y-6=0 C．3x+4y-17=0 D．4x-3y+18=0 3.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|=（） A B． 17 5 C． 13 5 D． 11 5 4.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离为4，则k的值为（） A．1 B．-3 C． 5 1 3 或D． 17 3 3 -或 5.已知点P的纵坐标为2，Q(2，-3)，M(1，1)，且|PQ|=|PM|，则点P的坐标为________． 6.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为 _________________________．

7. 两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为______． 8. （1）与直线7x +24y =5平行，且与其距离等于3的直线方程为 _______________________________．（2）已知两条平行线l 1：2x +3y -6=0与l 2：4x +6y -3=0 平行线的方程为_________________________． 9. 已知点A (1，3) ，B (3，1)，C (-1，0)，求△ABC 的面积． 10. 设a ，b ，c ，d ∈R ．求证：对于任意p ，q ∈R ， 11. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为 2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x -2y -5=0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式一、目标认知 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 二、知识要点梳理知识点一：直线的交点：求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为. 要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为. 要点诠释：此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离. 知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 要点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数要保持一致. 三、规律方法指导应用解析思想解决问题的基本步骤：第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.

直线的交点坐标与距离公式(教案)

直线的交点坐标与距离公式（教案）教学目的一. 考纲考情 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．二.知识梳理知识点一两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（）.l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0，（）. (1)直线l 1与l 2相交的充要条件是 . (2) 怎么求这两条直线交点坐标？知识点二几种距离公式 (1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝ (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝ . 三.考点自测 1. 1.已知直线l 1:3x+4y-5=0与l 2:3x+5y-6=0相交, . 3.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________． 4.已知点A (1, 3)，B (3, 1)，C (－1, 0)，求△ABC 的面积. 2222A +B 0 ≠2211A +B 0≠2. 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2 l 1 的方程为_________________________.

四.典例精讲热点一两条直线相交问题【例1】求经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程．【总结反思】跟踪训练;求经过两条直l 1: x-2y+4=0和l 2 :x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0 平行的直线l的方程. 热点二距离问题例2（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________. 【总结反思】

直线的交点坐标与距离公式(讲义)

直线的交点坐标与距离公式（讲义） ? 知识点睛一、两条直线的交点坐标二、对于方程A 1x +B 1 y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0：当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点，这个点是__________________与_________________的交点．三、距离公式 1. 两点间的距离如图 1，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式： 12||PP =． 2. 点到直线的距离（1）如图2，点P 0(x 0，y 0)到直线Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离： d =．图1 图2 （2）使用点到直线的距离公式的前提条件：把直线方程化为一般式方程．

3.两条平行直线间的距离（1）两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为： d=．

? 精讲精练 1. 已知直线l 1：Ax +3y +C=0，l 2：2x -3y +4=0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为_____________． 2. 已知点M (0，-1)，若点N 在直线x -y +1=0上，且直线MN 垂直于直线则N 点的坐标为（） A ．(-2，-1) B ．(2，3) C ．(2，1) D ．(-2，1) 3. （1）直线(2k -1)x -(k +3)y -(k -11)=0（k ∈R ）所经过的定点是 ____________．（2）不论m 取任何实数，直线(3m +2)x -(2m -1)y +5m +1=0必过定点_____________． 4. （1）已知点A (5，12)，若点P 在x 轴上，且|P A |=13，则点P 到原点的距离为_____________．（2）若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，则 x +y =_____________． 5. 点(-3，6)到直线y =3x 的距离为_________，到直线4x -3y +2=0的距离为 _________，到直线134 x y +=的距离为_________．

第3章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式

第3章直线与方程 3.3直线的交点坐标与距离公式教学目标： 1、掌握求两条直线交点坐标的方法。 2、会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用。 3、会利用公式求点到直线的距离的方法。知识点： 1两直线的交点求两直线= 10)与尙X +E A +C?二丰0)的交点坐标只需求两直线方程联立所得方程组 ① 若方程组有无穷多个解，此时两直线重合；反之，亦成立。 ② 若方程组无解，此时两直线平行；反之，亦成立。 ③ 当有交点时，方程组的解就是交点坐标。在 -- 两直线相交的条件是為或A 1B 2 — A 2B 1工要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数例1、求下列两条直线的交点: l i : x + 2y + 1 = 0,l 2 : — x + 2y + 2 = 0 2、平面上两点间的距离公式两点呂仏Ail 加『2)间的距离公式为關I 二血-讦+ 0?. 要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决 .另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握 . 例2、已知点A (1 , 2), B (3, 4), C (5, 0),求证：△ ABC 是等腰三角形。 + q = 0 4畫+盼+ G 二0的解即可.

例3、已知点A （4,12）,在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标。 3、点到直线的距离公式 d = 点P（皿儿）到直线应+砂+c = o的距离为要点诠释：此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等。点直线加+砂+ C = 0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离。例4、直线I经过点P（2，-5），且与点A（ 3，-2）和点B（ -1，6）的距离之比为1： 2,求直线I的方程。 4、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法： ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ②距离公式：直线去+和= o与直线祇十盼C］二0的距离为加+护. 要点诠释：（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；（2）利用两条平行直线间的距离公式+0’时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x, y的系数要保持一致. 例5、直线l1过点A （0, 1）, I2过点B （5, 0）,如果l1 //丨2 ,且l1与l2的距离为5,求l1、I2的方程。

《直线的交点坐标与距离公式》试题(新人教必修2).

3. 3直线的交点坐标与距离公式第1题. 到两条直线3450x y -+=与512130x y -+=的距离相等的点()P x y ，必定满足方程（）Ａ．440x y -+= Ｂ．740x y += Ｃ．440x y -+=或4890x y -+= Ｄ．740x y +=或3256650x y -+= 答案：Ｄ．第2题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，则点P 坐标是．答案：31()55-，或31()55-，第3题. 已知ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，若ABC △的面积为10，求出点C 坐标．答案：解：由题得：[]223(1)(25)5AB =--+-=． 1102 ABC S AB h ==△∵，4h =∴（h 为点C 到直线AB 的距离）．设点C 坐标为00()x y ，，AB 的方程为32(3)4 y x -=--，即34170x y +-=．由0000330341745x y x y -+=???+-=?? ，解得0012x y =-??=?或00538 x y ?=???=?．

∴C 点坐标为(10)-，或5(8)3 ，．第4题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为l 的方程．答案：解：由题，若截距为0，则设所求l 的直线方程为y kx =． = 122 k -±=．若截距不为0，则设所求直线方程为0x y a +-=． =，1a =∴或13a =， ∴ 所求直线为122 y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第5题. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长．答案：证明：建立如图所示坐标系， (0)A a ，，(0)B b ，，(,0)C a -(00)a b >>，则直线AB 方程为0bx ay ab +-=，直线BC 的方程为0bx ay ab -+=．设底边AC 上任意一点为(0)P x ，，()a x a -≤≤，

直线的交点坐标与距离公式测试题

直线的交点坐标与距离公式测试题命题胡阁一、选择题 1. 已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M ∩N 为( ) A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)} 2．如果直线y =ax +2与直线y =3x +b 关于直线y =x 对称，那么a ,b 的值分别是( ) A.13 ，6 B.13 ，－6 C.3，－2 D.3，6 3. 已知M(5cos α,5sin α),N(4cos β,4 sin β), 则|MN|的最大值( ) A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 4. 点P 在直线x +y –4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是( ) A ．2 B.6 C.22 D.10 5．已知点P (a , b )是第二象限的点，那么它到直线x –y =0的距离是 A. 2 2 (a –b ) B.b –a C. 2 2 (b –a ) 6．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线l 为( ) A. 4x +y －6=0 B. x +4y －6=0 C. 3x +2y －7=0和4x +y －6=0 D. 2x +3y －7=0, x +4y －6=0 7．已知M (sin α, cos α), N (cos α, sin α)，直线l : x cos α+y sin α+p =0 (p <–1)，若 M , N 到l 的距离分别为m , n ，则( ) A.m ≥n B.m ≤n C.m ≠n D.以上都不对

8．过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 9．已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线 x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 10. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P 在x 轴上，使|AP |–|BP |取得最大值时P 的坐标（） A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 二、填空题 11．直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的 2倍，则直线l 的方程是 . 12. 无论k 为何值，直线054)1()2(=---++k y k x k 都经过一个定点，则这个定点是 . 13．若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =02c a +的值为 . 14. 与两平行直线：l 1:：3x –y +9=0, l 2：3x –y –3=0等距离的直线方程为 . 15．已知两点A (–2, –2), B (1, 3)，直线l 1和l 2分别绕点A , B 旋转，且l 1//l 2，则这两条平行直线间的距离的取值范围是 .

直线的交点坐标与距离公式(人教A版)(含答案)

直线的交点坐标与距离公式（人教A版）一、单选题(共12道，每道8分) 1.已知点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于，则实数m的值为( ) A.-1 B.4 C.-1或4 D.-4或1 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：两点间距离公式的应用 2.已知点A(-1，2)，点B(2，)，点P在x轴上，使，则点P坐标是( ) A.(2，0) B.(-2，0) C.(1，0) D.(-1，0) 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：两点间距离公式的应用 3.过和的交点且与平行的直线是( )

A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条直线的交点坐标 4.若直线经过直线和的交点，且垂直于直线，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：两条直线的交点坐标 5.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线与线段MN相交，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线 6.无论m取何实数，直线恒过定点( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(2，4) D.(3，4)

答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线 7.若M(2，3)，N(4，-5)，直线过P(1，2)，且点M，N到直线的距离相等，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：点到直线的距离公式 8.两平行直线与之间的距离为( ) A. B. C.1 D. 答案：C 解题思路：

高中数学-直线的交点坐标与距离公式教案

第一课时 3.3-1 两直线的交点坐标教案一、教学目标（一）知能目标：1。直线和直线的交点 2 ．二元一次方程组的解（二）情感目标：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2 ．能够用辩证的观点看问题。二、教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。难点：两直线相交与二元一次方程的关系。三、教学过程：（一）课题导入用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？（二）探研新知分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1 ：A1x+B1y +C1=0,L2 A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ 1 ) 若二元一次方程组有唯一解，L 1 与L2 相交。 2) 若二元一次方程组无解，则 L 1 与L2 平行。 3) 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 1．例题讲解，规范表示，解决问题例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。同类练习：书本114 页第1，2 题。例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。 1）L1 ： x-y=0 ， L2： 3x+3y-10=0 解：解方程组3x 4y 2 0 2x 2y 2 0 得x=-2 ，y=2 所以L1 与L2 的交点坐标为M(-2 ，2)，如图3。3。1。