非圆二次曲线极坐标方程的应用
高中数学 《极坐标方程的应用学案》
学号 《极坐标方程的应用学案》 姓名 学习目标：（1）；掌握极直互化的方法，能将极坐标问题转化为直角坐标解决。 （2）．体会数形结合的思想，通过图像简化问题。 一．知识准备 1. 极直互化 ⑴极坐标),(θρ转化为直角坐标),(y x ⑵直角坐标),(y x 转化为极坐标),(θρ _______________________ _______________________ 2、圆的极坐标方程 基本式一：圆心在极点，a r = 基本式二：过极点，圆心在坐标轴上，a r = 基本式三：过极点，圆心为),(αa 的圆 3、直线的极坐标方程 基本式一：过极点，倾斜角为α 基本式二： 基本式三：倾 斜角 为α， 极点到 (2)_______ x x x O (1)_______x O (1)_______ x ) 0,(a ) ,(πa
直线的距离为d 二．体验过程 1、(2013广一模)在极坐标系中，定点，点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，=AB _________；点B 的极坐标为_____________ 2、已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρcos 2=，θρsin 2a =，（a 是非零常数）。若两圆的圆心距为，求a 的值。 3、(2012年上海)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6 π α=， 则直线的极坐标方程 4、(2008高考改编)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为 3sin =θρ，θρsin 4=， )20,0(πθρ<≤≥，则曲线1C 与2C 交点的极坐标________________ 5、(2012年高考安徽)在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6 R π θρ= ∈的距离是 _____ 6、已知点)0.0(),4 3, 2(),2 ,2(O B A π π 试判断ABO ?的形状 7、在极坐标系中，点)3 , 2(π 到圆θρcos 2=的圆心的距离为_______，切线长为_______ )2 3 , 2(πA 0sin 3cos =+θρθρ5)2 3, (πa (2)_____________ (1)___________ x O
浅谈极坐标及极坐标方程的应用
浅谈极坐标及极坐标方程的应用 摘要 极坐标法是一种重要的解题方法，虽然高中数学教材已经删去极坐标的内容，但这一思想和方法对解决平面几何问题和高等数学问题都有很重要的作用，有必要加以深入研究。 本文首先对极坐标的基础知识进行阐述，给出了极坐标的相关概念，以及求曲线极坐标方程的方法与步骤，并求出了三种圆锥曲线统一的极坐标方程，然后讨论了极坐标在平面解析几何中的应用，最后探讨了极坐标在解决高等数学问题的应用。通过对极坐标在数学各方面的应用的探讨，我们能够发现极坐标有很大的优越性。通过探讨研究，使我们对极坐标这一思想和方法有更深的了解，并使学生对高中平面几何内容有完整的把握，有更深层次的掌握。同时，这种对知识的深入掌握可以使教育者更好的完成对其的教学任务。 关键词：极坐标；应用；优越性 前言 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由滴应用极坐标去研究曲线。 在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标系表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变得极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比直角坐标系具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。 国内外研究动态，不仅在数学理论反面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极
简单曲线的极坐标方程优秀教学设计
简单曲线的极坐标方程 内容和内容解析 本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修4-4）中第一讲《坐标系》第三节“简单曲线的极坐标方程”的第一课时。解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创建。牛顿坐标系就是现在的极坐标系。极坐标系的创立为数学研究做出了巨大的贡献。简单曲线的极坐标方程这一节是本讲的重点内容，是选修4-4的重点，也是高考选考内容中的考察内容之一。极坐标方程在实际生活中有着较广的应用，同时也是学生锻炼提高数学能力的良好题材，它蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、转化与化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。 目标和目标解析 1.知识与技能目标： 理解曲线极坐标方程的概念；了解与曲线直角坐标方程的异同；掌握求曲线极坐标方程的步骤；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。掌握圆的直角坐标方程和极坐标方程的互化，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形并进行有关计算 2.过程与方法目标： 通过对预习作业中问题的探究体会类比、从已知推测未知、从特殊到一般的数学思想方法；通过对简单曲线的极坐标方程的求解和其几何意义的探讨，培养观察、分析、比较和归纳的能力；通过不同坐标系的选择感受转化与化归的思想方法；通过极坐标方程与其几何图形的对应，体会数形结合的思想方法
3.情感、态度与价值观目标： 通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受数学与生活的联系，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣 教学重点：圆的极坐标方程的求法 教学问题诊断分析 高二学生，知识经验正逐步成熟，形成了适合自己的一套学习方法，有较强的演绎推理能力和数形结合的能力，具有较好自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，学生之前已经学习了极坐标系，现在基本会极坐标和直角坐标的互化，也会求曲线轨迹方程的步骤，具备了数形结合思想。在圆的极坐标方程推导中，要用到三角函数知识，关键是利用直角三角形边角关系建立起坐标变量间的关系，如何合理作图构造恰当的三角形是关键，因此在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验作图的关键，另外，特殊点极坐标的选择和检验也是理解难点。本节课需要学生小组合作探究学习，因此之前的学习小组分配很关键，小组间的配合也有影响课堂进度，教师分组时引起注意。 教学难点：对不同位置的圆的极坐标方程的理解 教学支持条件分析 课堂上需要学生小组讨论，合作学习。配合班级管理把班上同学分成六个学习小组，围桌而坐，组建原则是：“组间同质、组内异质”, 根据学习能力、兴趣倾向、交往技能、守纪情况、性别比例及座位的安排等合理搭配 根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用： 利用多媒体播放短片引起兴趣，利用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持；利用实物投影仪，直接投影学生小组讨论的解题思路、解题过程，学生上台分析时也可直接投影自己的答题过程不用板书节约时间
圆锥曲线的极坐标方程及应用
圆锥曲线的极坐标方程及应用圆锥曲线的统一极坐标./. Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ρ＝ ep 1－e cos θ ，(***) 其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e＜1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ 表示椭圆； 当e＝1时，方程(***)为ρ＝ p 1－cos θ ，表示抛物线； 当e＞1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ 表示双曲线，其中ρ∈R. 已知A、B为椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为 原点)． 求证： 1 OA2＋ 1 OB2为定值． [再练一题] 1．本例条件不变，试求△AOB面积的最大值和最小值．
过双曲线x2 4－ y2 5＝1的右焦点，引倾斜角为 π 3的直线，交双曲 线于A、B两点，求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|. 2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝ 9 4－5cos θ ，求双曲线的实轴长、虚轴长 和准线方程． 已知抛物线y2＝4x的焦点为F.
(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角． [再练一题] 3．平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F 的距离和定直线l的距离的比等于常数1 2的点的轨迹的极坐标方程． 已知双曲线的极坐标方程为ρ＝ 3 1－2cos θ ，过极点作直线与它交于A，B 两点，且AB＝6，求直线AB的极坐标方程．
高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案
三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r
④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,π/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,θ０)，半径为a 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２ 例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6π θρ-= 为直角坐标方程。 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C) ()() .2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ????=-=- ? ?? ?? ?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是多少？ 2 sin (4)π πρθρθρθρ3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)4 3 (3)＝3 ＝６ 2222423020x y x y x y x y x +-+==+==．填空： (1)直角坐标方程的 极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(π C ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。
椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 (2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r, https://www.wendangku.net/doc/457834694.html,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.
o
1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（） A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 ?过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线 C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ?以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选 D.由极 坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆. 2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ? p=2sin8 解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在 （1 , 0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2 所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0, 即 x 2 + y^=2 2x+ 2y ? 2 2 2 2 ］ _ 化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ? 4 4 4 4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ? 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗? 答案：u 圆的极坐标方程 3TT 求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点 是否在这个圆上. ［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0, A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA. 3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（） -rr-i ?椭 A.双曲线 B 闾 C.抛物线 解析：选D.p TT cos K 4 —0 IT =cos cos 0+sin A D ?圆 K 4 sin 0 = 2 2 COS 0 + 2 2 sin 0, 5TT —2, sin 6
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
微专题 极坐标方程的应用
极坐标 一、内容回顾 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ???? x ′＝λx ，λ>0， y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对 应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝ x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)． 3．常用简单曲线的极坐标方程
二、典型例题 题型一：平面直角坐标系中图象的变换 1.在同一平面直角坐标系中， （1）求 x 2＋y 2＝1 在变换φ：? ??='='y y x x 32的作用下，得到的曲线方程 【解析】 由题意可得：??? ? ?? ?'=' =3 2 y y x x ，代入x 2＋y 2＝1，即13222=??? ??'+??? ??'y x ， 则所得新曲线方程为19 42 2 =+y x ； （2）曲线C 在变换φ：???='='y y x x 32的作用下得到椭圆x 29＋y 2 4＝1.求此曲线C 方程 【解析】 由题意可知：将???='='y y x x 32，代入x 29＋y 2 4＝1，即 149942 2=+y x ，
圆的极坐标方程教案
三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程
选修4-4曲线极坐标方程-教案
简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.掌握极坐标方程的意义 2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美 【重难点分析】 ; 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法 教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【教学方法】 引导发现、讲授 【教学过程】 1.导入 问题设置 1、直角坐标系中怎样描述点的位置 # 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样 3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求 曲线方程 2、极坐标方程的概念 引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件 : [解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有， OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ. [思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗
定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ) , (= θ ρ f,并且坐标适合0 ) , (= θ ρ f的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条 曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。 [注] 1.定义中的所涉及到的两个方面. 2.极坐标系下求曲线方程的步骤： Step1找到曲线上点满足的几何条件； Step2 几何条件坐标化； $ Step3 化简. 例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 [分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r. ) [思考] 和直角坐标方程2 2 2r y x= +相比较，此方程有哪些优点 [变式练习] 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (２)中心在(a,/2)，半径为a； 答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin 例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0 8 2 2= - +y y x为极坐标方程， & （2）化极坐标方程) 3 cos( 6 π θ ρ- =为直角坐标方程。 3、直线的极坐标方程 例3．求过极点，倾角为/4， π的射线的极坐标方程。
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用 表示线段OM的长度， 表示从OX到OM 的角度， 叫点M的极径， 叫点M的极角，有序数对 ，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ，．若点M在极点，则其极坐标为 =0， 可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表 示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加
后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限定 或，那么除极点外，平 面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这 两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条 件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程：
3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用4.1极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M 的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点 如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。 4.4以焦点为极点 凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标
直线与圆的极坐标方程教学案
§1.3 直线与圆的极坐标方程 撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________ 授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________ 【学习目标】 1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程； 2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义； 3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点难点】 重点：直线和圆的极坐标方程的求法 难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【自主探究】 探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？ 探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义; 3、求曲线方程的步骤; 【合作探究】 探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？ 探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。 教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案：cos 1ρθ=- 例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。 分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。 反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。 例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。 学生练习，准对问题讲评。 变式训练：求圆心在)2 ,3(π A 且过极点的圆A 的极坐标方程。 【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3 小结：本节课学习了以下内容： 1．如何求直线和圆的极坐标方程 。 2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。 3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。 【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1 【教学反思】
直线与圆的极坐标方程
第三章参数方程、极坐标教案直线和圆的极坐标方程教案 教学目标 1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤． 3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应． 教学重点与难点 建立直线和圆的极坐标方程． 教学过程 师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？ 问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程． 师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．) 解设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|， (两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．) 师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？ (2)在极坐标系下：在△AOP中 |AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ， 即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化简整理，得 2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，
师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简 坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容． 一、曲线的极坐标方程的概念 师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ= (投影) 定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系： 1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同． (先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义) 曲线的极坐标方程定义： 如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系： 1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程． 师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程． 求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．
《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案
1.6《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案 一、教学目的： 知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程 能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式 教学难点：方程中字母的几何意义 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1、问题情境 情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？ 情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？ 2、学生回顾 (1)．求曲线方程的方程的步骤 (2)．两种坐标互化前提和公式 (3)．圆锥曲线统一定义 (二)、讲解新课： 1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线.那么当0
学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ ρ= 3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ ρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状. 4、思考交流：学生讨论交流课本P 18页的问题：当0
圆锥曲线的极坐标方程及应用
圆锥曲线的极坐标方程及应用 圆锥曲线的统一极坐标?/? Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ep 尸 1—eoR ( 其中P 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距. 当Ov ev 1时，方程尸1—COSI 表示椭圆; 当e = 1时，方程(***)为p= —P —-，表示抛物线; 1 — cos 0 当e > 1时，方程P 「竟表示双曲线，其中p€ R . I — ecos 0 2 2 已知A 、B 为椭圆予+ *= 1(a > b > 0)上两点， OA 丄OB(O 为 原点). ［再练一题］ 1. 本例条件不变，试求△ AOB 面积的最大值和最小值. ?例 1 1 求证：OA 2+OB 2为定值. ■2 +
2 2 过双曲线J-￥ = 1的右焦点，引倾斜角为扌的直线，交双曲线于A、B两点，求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点（极点）的弦长非常方便.椭圆和抛物线中，该弦长都表示为p+ P,而双曲线中，弦长的一般形式是|p+ p|.
(1) 以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2) 过F 作直线I 交抛物线于A , B 两点，若AB = 16,运用抛物线的极坐标 方程，求直线I 的倾斜角. 3 p= 1—2C0SV 过极点作直线与它交于A ，B 两点，且AB = 6,求直线AB 的极坐标方程. ［再练一题］ 3.平面直角坐标系中，有一定点 F(2,0)和一条定直线I : x = — 2.求与定点F 的距离和定直线I 的距离的比等于常数 1 2的点的轨迹的极坐标方程. 已知双曲线的极坐标方程为
极坐标及极坐标方程的应用精编版
极坐标及极坐标方程的 应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限定或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三
种圆锥曲线统一的极坐标方程： 3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用 4.1极坐标法求到定点的线段长度 解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点
直线的极坐标方程教学设计
课题：2、直线的极坐标方程 教学目标： 知识与技能：掌握直线的极坐标方程 过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点：直线的极坐标方程的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、探究新知： 阅读教材P13-P14 探究1、直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是 4π 思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？ 探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点(,0)(0)A a a >，平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢？ 二、知识应用： 例1、已知点P 的极坐标为(2,)π，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 3π，求直线l 的极坐 标方程。
例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 （1） 5()4R πθρ= ∈ （2）(2cos 5sin )40ρθθ+-= （3） sin()43πρθ-= 例3、判断直线sin()4πρθ+ =与圆2cos 4sin ρθθ=-的位置关系。 三、巩固与提升： P15第1，2，3，4题 四、知识归纳： 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置： 1、在直角坐标系中，过点(1,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A sin 1ρθ= B sin ρθ= C cos 1ρθ= D cos ρθ= 2、与方程(0)4πθρ= ≥表示同一曲线的是 （ ） A ()4R πθρ=∈ B 5(0)4πθρ= ≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4πθρ=≤ 3、在极坐标系中，过点(2,)2A π -且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是 4、在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 5、在极坐标系中，过点3(2,)4 A π且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是
极坐标方程及其应用
考点一 极坐标方程及其应用 例题（2015·山西四校联考）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程??? x ＝1＋cos φy ＝sin φ (φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ① 求圆C 的极坐标方程； ②直线l 的极坐标方程是2ρsin ? ?? ??θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【审题立意】本题考查极坐标方程，属于中档题． 【技能突破】求解极坐标方程的题应注意两点： (1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形． (2)已知两曲线的极坐标方程求交点时，可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点，再化为极坐标． 【解题思路】把直角坐标方程化为极坐标，注意化简，联立求交点坐标． 【参考答案】①圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． ② 设P (ρ1，θ1)，则由????? ρ＝2cos θθ＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3． 设Q (ρ2，θ2)，则由????? ρ(sin θ＋3cos θ)＝33θ＝π3 ，解得ρ2＝3，θ2＝π3． 所以|PQ |＝2． 【变式训练】 (2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x － 1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求 △C 2MN 的面积． 解析: (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0． (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝2．故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2．