高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积
在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．
例题
1
图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．
分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小
块，
练习1
图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．
我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使
用．
计算时，就要视情况灵活运用割补法．
例题2
「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求
的，形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎
单位：厘米）
一块一块地求面积呢？
单位：厘米）
我们将来做几何面积
如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6 厘米，图中线段AE、AH 都等于2 厘米．求长方形EFGH 的面积．
但是正方形面积以及周围四个直角三角
么计算呢？
练习2
如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形
ABCD 的边长是6 厘米，图中线段AE 、AF 都等于2 厘
米．求三角形CEF 的面积．
3
例题
如图所示，大正方形的边长为10 厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点
与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和
等于多少平方厘米？
分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？练习3
如图所示，大正三角形的面积为10 平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？
例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1 中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分
米？
图1 图2
分析」图1和图2中最小正三角形的面积
是不一样的，
但两个大正三角形面积却是样的，你能求出大正三角形的面积吗？
7
例题 4 中的阴影部分都是同样形状的花图形， 我们不能直接看出花图形和大正三角形的 面积之间有什么倍数关系， 但是借助一块块小正三角形， 我们把花图形和大正三角形之间联 系起来， 看看它们各自占了多少个小正三角形． 找到面积之间的联系， 是解决类似问题的钥 匙．
有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形， 实际上不过是将分割线隐藏起来或者只 出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割．
例题 5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是 36 平 方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米？
「分析」乍一看上去和例题 2有些相似， 我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？ 它的面积和正方形 A 、B 之间有什么关系呢？
例题 6
如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数， 这个
四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
「分析」 这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已 经知
道了其中的三个角， 其中有直角也有 45°角．你能从这两种 “特 殊角”发
现图形的特点吗？
练习 4
图1
图
2
毕式定理
据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB 为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇??于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5 块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了
大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．
这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．
实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖” ，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖” ，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
作业
图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？ 12
如下图所示， 在正方形 ABCD 内部有梯形 EHGF ．已知正方形 ABCD 的边长是 6 厘米， 图中线段 AE 、AH 、BF 、DG 都等于 2厘米．则梯形 EHGF 的面积是多少平方厘米？
如图所示，平行四边形的面积是 12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形 另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？
4. 下图中空白部分的面积是 100，那么阴影正方形的面积是多少？
5. 如图所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 36．阴影正六边形的面积是多少？
1.
2.
3. C D