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导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题

含参数导数问题的分类讨论问题

1 ?求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实

根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)

x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2

f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)

★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间

x -(a 2)x 2a f (x)

2 x

(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。

解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。

(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =

(x +1 )

I 1 '■

-2a x - a x

2―—义域R 内，但不知它们之间

(x 2

+1)

a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。

函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o

1 —

(-一「：)内为增函数，在区间

1 」 1

(a,)为减函数。故函数 f x 在％

处取得极小值

X 2二a 处取得极大值f a = 1。

(x-2)(x-a)

2ax -a 1 x 2

x R ，其中a R 。

, X 2 = a 。这两个实根都在定 a

2 2

2a x 1；-2x 2ax - a 1

f x

二

2 2 (x 2+1)

的大小。因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。

易得f x 在区间

，a, ?：：内为减函数,

在区间i l,a

I a

为增函数。故函数

i 1 f x 在为

处取得极小值f a [1 I a 」

--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。易得f x 在区间(-：：，a)， ★★★例3已知函数

x 二

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点

的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 ★★★(区间确定零点不确定的典例)

例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交

a 元(3W a w 5)

的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元(9w x w 11)时，一年的销售量为(12-x ) 2万件.

(1) 求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；

(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润

L 最大，并求出L 的最大值Q( a ).

已知 f x = xlnx,gx = x 3 ax 2-x 2 (I ).求函数f x 的单调区间； (n ).求函数f x 在t,t 2\

0上的最小值；

(川)对一切的0, = ：,2fx 乞g 'x 2恒成立，求实数a 的取值范围.

解: ( I ) f (x) =1 nx+1,令f (x )v 0,解得 O v x v — ,二 f (x 的单调递减区间是

0,- |； e

l e 丿

令f ' x 0,解得，f(x)的单调递增是(e ,r),

1 11 1 1

解 (1)分公司一年的利润

L (万元)与售价x 的函数关系式为:

(2)L ，(x)=(12-x)

-2(x-3-a)(12-x)

=(12-x)(18+2a-3x).

L=(x-3-a)(12-x) ,x €[ 9,11 :

L(x)

(万元)；若§ w a w 5,则当每件售价为(6+ 2 a)元时，分公司一年的利润

★ ★★★(导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例)

L 最大，最大值 Q(a)=4 (3- J a ) 3(万元).

L 最大，最大值 Q (a ) =9(6-a) 答若3w a <9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润

(n )( i )0

e e e e e

1 令 h x i ；=0,得 x =1,x = -—(舍)

当 0c x <1 时，h (x )>0;当 x>1 时，h (x )v 0

?当x =1时，hx 取得最大值，h x max =-2……13分…a — -2.

二?求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△> 0、A =0、Av 0;在厶> 0时，求导函数的零点再根据零点是否

在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。

)

★ 1已知函数 f (x) x 3 X 2?(1_a)x ，求函数的单调区间

3 2

f (x) =ax 2 -x (1 -a) =(1 _x)(ax_1 a)

a o

★★例2已知函数f(x)二(1亠a)inx

x 2 2

★★★例3 已知a 是实数，函数f x =、. x x-a

(i)求函数f x 的单调区间；

(n)设g a 为f x 在区间l.0,2 1上的最小值。

(i )写出g a 的表达式; (ii )求a 的取值范围，使得

-6空g a 乞-2。

3.'x_旦 f

丿(x >0)，由 f (x) =0

1 1 (iii) t a 2，即 t 时，f(x)在［t,t

2］单调递增,f(x)min 二 f (t) =tlnt

e e

(X )min S e , tint 1

0 :：:

t :：:-

t e

、，

2 2

(川)由题意：2x ln x _ 3x - 2ax -1 2 在 x 三［0, ?::上恒成立，即 2x in x 空 3x - 2ax - 1

1 3x

可得a - i n x x

(分离参数)，设h x = i n x -

2 1

1 则

T 3云

x -1 3x 1

2x 2 12分

(a>0)，求函数的单调区间

f (x)=

ax -x (1-a)

(x -1)(ax -1 a)

解：(i)函数的定义域为

a 得x

。考虑一是否落在导函数 f (x)的定义域 0,亠「j 内，需对参数a 的取值分a 三0及a 0两

种情况进行讨论。

(1)

当a 乞0时，则f '(x) .0在0上恒成立，所以f x 的单调递增区间为〔0。

a ' a

(2) 当 a . 0 时，由 f (x) ? 0，得 x ；由 f (x) ：：： 0，得 0 ：：： x ：：：

3 3

因此，当a>0时，f (x )的单调递减区间为|0,a I ， f(x )的单调递增区间为.『，址°

(n) (i )由第(I)问的结论可知：

(1)

当a 乞0时，f x 在10^：上单调递增，从而 f x 在10,2 ］上单调递增，所以

g a = f 0 = 0。

(2)

当a 0时，f x 在0,|上单调递减，在￡上单调递增，所以：

②当

a 0,2

，即 —时，

在X 上单调递减，在寺

上单调递增,

2a a - -

',0 :: a 6

3 . 3

x2 2 -a

(ii )令—6 ^g a 空一2。 ① 若a 岂0，无解；

2a I a

② 右 0 - a - 6，由 _6

2 解得

3 - a ：：： 6 ；

3^3

④ 若a 一6，由一6乞-.2 2 —a 乞-2解得6乞a 乞2 3辽。综上所述，a 的取值范围为3乞a 乞2 ? 3 2。

三.求导后，因导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论

所以ga=f 3

= 2a

2a 3a 9

③当3, 2【即a _6时,

f x 在1.0,2 1上单调递减，所以ga 二f2“22-a 。

综上所述, ,a 一?6

★例1已知函数f(x) ax 2 x 求函数的单调区间 2

f (x) =ax T

★★例2已知函数f(x) Jnx_ax 求函数的单调区间 f (x) ~ -a f (x)=^^!

—；X 「1, X _1

试讨论函数F(x)的单调性。

,x ： 1

解：T f(x) =』1—x

, F (x) = f (x)—kx, R

-J X -1, X 31

丄1

kx, x ：： 1,

F(x) = f(x) _kx = <1 -x ,F'(x) =

—J x _1 _kx, x Z 1

考虑导函数F'(x) =0是否有实根，从而需要对参数

k 的取值进行讨论。

(一)若x d ，则F'(X)。由于当k 岂0时，F'(x) =0无实根，而当k 0时，F'(x) = 0 (1—x ) 当k 乞0时，F'(x) _0在(-：：，1)上恒成立，所以函数 F(x)在(-：：，1)上为增函数;

★★★例3设k ? R ，函数

,x ::: 1

,F(x)二 f(x)「kx, x R ,

1-k 1 -x

,x < 1 1-x 1 2k , --------------- ,x 1

2 x -1

有实根,

因此，对

参数k 分k_0和k 0两种情况讨论。 (1) (2)

当 k>0时，F'(x)

_k ( —x)

1-X

(1—X )

由 F'(x) =0,得 x 1

丄I, X = 11 +丄I ，因为k a 0，所以为v 1 v x 2。 k .

、k

由 F '(x) 0，得 1

:::x ：：1 ；由 F '(x) ：：0，得 x ：： 1 — 1-。

因此，当k 0时,

函数 F(x)在(-：：,1 -

上为减函数，在(1 -

,1)上为增函数。

V k

若 x 1,则 F'(x)

1 2k 、x T

。由于当k_0时，F'(x)=0无实根，而当k ：：：0时,

2 x -1

含参数导数问题分类讨论

含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出 ()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值．例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值；（Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．例2.已知a 是实数，函数))(2 a x x x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值．三、导函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性．四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．例4、已知0>m ，讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性．

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1 t ＋2＋t ＝ 1＋t 2 t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。（1）121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f =

最全导数解答题方法归纳总结

导数解答题归纳总结 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a （Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2 <-++a a a ，解得15-<<-a 20.（2009北京文）（本小题共14分）设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切， ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? （Ⅱ）∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时，()' 0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()' 0f x x a =?=± ，当() ,x a ∈-∞-时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增，当(),x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增，

高中数学含参导数问题

由参数引起的案—— 含参导数问题一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ，x x x x g 452)(2 3 ++=，按以下条件求k 的范围。（1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。（构造新函数，恒成立问题）（2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待）（3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、（注意21,x x 可以不是同一个x ）（4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。（注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。）（5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立；（与（4）相同）二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ,

(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值；（可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况) 解： 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<；在区间(,3)a a 上，()0f x '>，因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间，函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<；在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分例1变式．若2 '()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。（比较根大小，考虑定义域）

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

函数与导数压轴题方法归纳与总结

函数与导数压轴题方法归纳与总结题型与方法题型一切线问题例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结：题型二利用导数研究函数的单调性例2 已知函数f (x )＝ln x －a x . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为3 2，求a 的值； (3)若f (x )

归纳总结：题型三已知函数的单调性求参数的围例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数，且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ （1）求θ的值. （2）若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数，求m 的取值围. 归纳总结：

题型四已知不等式成立求参数的围例4..设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈????12，2都有f (s )≥g (t )成立，数a 的取值围. 归纳总结：跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++（m,n 为常数）在x=1处的切线为x+y －2=0（10月重点高中联考第22题）（1）求y=f(x)的单调区间；

（2）若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ，使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立，数a 的取值围。跟踪2. 设f (x )＝－13x 3＋12 x 2＋2ax .（加强版练习题） (1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值围； (2)当0