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第四章 圆与方程

一、选择题

1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交

B ．外切

C ．内切

D ．相离

2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1

4．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0

D ．2x －y ±5＝0

5．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2

B ．2

C ．22

D ．42

6．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．

A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0

B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0

C ．x 2＋y 2－2y ＝0

D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝0

7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．

A ．30

B ．18

C ．62

D ．52

8．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2

D ．(a ＋b )2＝2r 2

9．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2

＋y 2＝10相切，则c 的值为( )．

A ．14或－6

B ．12或－8

C ．8或－12

D ．6或－14

10．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )．

A ．4

53

B ．

2

53 C ．

2

53 D ．213

二、填空题

11．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________．

12．已知直线x＝a与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则a的值是_________．

13．直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________．

14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．

15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．

三、解答题

16．求下列各圆的标准方程：

(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；

(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．

17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．

18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．

19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．

(1)求直线P A，PB的方程；

(2)求过P点的圆的切线长；

(3)求直线AB的方程．

20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．

参考答案

一、选择题 1．A

解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2 ＋ 1 ＋ 2)()(＝13．

因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C

解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 － ＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，

所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A

解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D

解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由

2

2

1

＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．

故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C

解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A

解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．

依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．

联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．

(第6题)

所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0． 7．C

解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝

2

10＞r ，

所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B

解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A

解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得

2

2

1

＋ 3

4 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，

所以c ＝14或－6．

10．C

解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ???

??3 ，23 ，2， 所以|CM |＝22

2

0 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(??

?

??＝

253． 二、填空题

11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．

解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)． 所以AB 的中点，即圆心为??? ?

?

23 2， －． 因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2

＋2

23 － ??

? ??

y ＝425．

即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．

解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切， 所以a 的值是0或2．

13．8．

解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．

所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．

解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2

＝36．所以z ＝7，或－5．

15．22． 解析：如图，S

四边形

P ACB ＝2S △P AC ＝

2

1

|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为

2

2

4

3843＋|＋＋|＝3．

于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22． 三、解答题

16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得 ??

?

??．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得?????．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．

(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，

所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． 由?????．＝＋，－＝023 y x x y 解得?????．

－ ＝，

＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 － ＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．

17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，

(第15题)

DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝

2

1． 所以点E 的坐标为??

? ??0 ，21 ，

1， 又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，

所以点F 的坐标为??? ??21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为??

? ??21 21 1，，．

18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，

所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，

所以5a ―3b ―8＝0．由方程组?????，＝－，＝－－00835b a b a 或?????，＝＋，

＝－－00835b a b a

解得?????，＝，44b a ＝或?

????．＝－，

11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．

故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．

19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即k x ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，

1

＋ 3 － － 2

k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．

故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．

(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 － ＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．

(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝3

1．

如图，由CA 2

＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2

＝10

2．

设直线AB 的方程为y ＝31

x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．

由

102＝2

3 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．

所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．

(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．

(第19题)

20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )， 圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝2

2 － a ．

又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |， 设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 2

2 2 － ???

?

?

?a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．

故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．

(第20题)