向量的坐标表示(一)
【学习重点与难点】:
重点:平面向量基本定理的应用;平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点:平面向量基本定理的理解.
【学法与教学用具】:
1. 学法:
(1)自主性学习+探究式学习法:
(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具:多媒体、实物投影仪.
【课时安排】:1课时
【教学思路】:
一、思考和讨论
【问题1】:(教材69P 例1):平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ,=?→?AB a ,=?→?AD b ,试用向量a ,b 表示?→?MA ,?→?MB ,?→?MC ,?→
?MD 。
结论:由作图可得a 1λ=1e +2λ2e 【问题2】:对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组?
二、研探学习
1.共面向量定理
【探索】:(1)是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是唯一的?
(2)对于平面上两个不共线向量1e ,2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示? 学生分析设1e ,2e 是不共线向量,a 是平面内任一向量
?→?OA =1e ?→?OM =1λ1e ?→?OC =a =?→?OM +?→?ON =1λ1e +2λ2e
?→?OB =2e ?→?ON =2λ2e
平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ,2λ,使a 1λ=1e +2λ2e .我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;这个定理也叫共面..向量定理. 【注意】:
1e 2e a C
(1)1e ,2e 均非零向量,必须不共线...
,且它是这一平面内所有向量的一组基底. (2)基底不惟一,当基底给定时,分解形式惟一;1λ,2λ是被a ,1e ,2e 唯一确定
的数量
(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;同一平面内任一向...
量.
都可以表示为两个不共线向量的线性组合. (4)20λ=时,a 与1e 共线;10λ=时,a 与2e 共线;120λλ==时,0a =.
基底:我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
正交分解:一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e +2λ2e 的形式,我们称它
为向量a 的分解,当1e ,2e 所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a 的正交分解。
【思考】:平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别
和联系?
三、小试牛刀
例1 (教材69P 例2)如图2-3-4,质量为m 的物体静止地放在斜面上,斜面与水平的夹
角为θ,求斜面对物体的磨擦力→
f
例2 已知向量12,e e ,求作向量-251e +3e 作法:(1)取点O ,作?→?OA =-251e ?→?OB =32e (2)作OACB ,?→
?OC 即为所求-251e +32e 例3.(教材69P 例3)设1e ,2e 是平面内的一组基底,如果?→?AB
=31e -22e ,?→?BC =41e +2e ,
?→?CD =81e -92e 求证:A 、B 、D 三点共线
【举一反三】 1.设12
,e e 是两个不共线的向量,已知?→?AB =21e +k 2e ,?→?CB =1e +32e ,?→?CD =21e -2e ,若A ,B ,D 三点共线,求k 的值。
解:?→?BD =?→?CD -=?→
?CB (21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e ,∵A ,B ,D 三点共线,
A
C B D
∴?→?AB 与?→?BD 共线,即存在实数λ,使得?→?AB
=λ?→?BD , 即是12122(4)e ke e e λ+=-. 由向量相等的条件,得24k λλ=??
=-? ,∴8k =-. 例4.如图,?→?OA 、?→?OB 不共线,t AP =?→??→?AB )(R t ∈,
用?→?OA 、?→?OB 表示?→?OP
变式1:(例4改编)如图:?→?OA ,?→?OB 不共线,P 点在1.=+μλμλ且使?→
??→??→?+=OB OA OP μλ
变式2:设?→?OA ,?→?OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且?→??→??→?+-=OB t OA t OP )1( )(R t ∈.求证:A 、B 、P 三点共线.
四、巩固深化,反馈矫正
教材70P 练习
五、归纳整理,整体认识
1.熟练掌握平面向量基本定理,平面向量基本定理的理解及注意的问题.;
2.会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表
示。
课后记: