关于Smarandache函数的复合函数的均值_赵琴
第30卷第2期2012年2月
河南科学
HENAN SCIENCE
Vol.30No.2Feb.2012
收稿日期：2011-10-24
基金项目：国家自然科学基金资助项目（10271093）；陕西省教育厅专项科研计划项目（07JK430）；延安大学自然科学专项
科研基金项目（YDZD2011-04
）作者简介：赵
琴（1985－），女，陕西米脂人，硕士研究生，主要从事数论方面的研究
通信作者：高丽（1966－
），女，陕西绥德人，教授，硕士，主要从事数论、代数方面的研究.文章编号：1004-3918（2012）02-0153-03
关于Smarandache 函数的复合函数的均值
赵
琴，高丽
（延安大学数学与计算机学院，陕西延安716000）
摘
要：对任意的正整数n ，
定义数论函数W （n ）为最小的正整数k ，使得n ≤k （3k +1），即W （n ）=min ｛k ：n ≤k （3k +1），k ∈N ｝.利用初等及解析的方法研究复合函数S （W （n ））的均值分布，并获得了较强的均值分布的渐近公式.关键词：Smarandache 函数；复合函数；均值；渐近公式中图分类号：O 156．4
文献标识码：A
On the Mean Value of the Smarandache Function
Z hao Q in ，G ao L i
（College of Mathematics and Computer Science ，Yan ’an U niversity ，Yan ’an 716000，Shaanxi China ）
Abstract ：For any positive integer n ，the new function W （n ）is defined as the smallest positive integer k such that
n ≤k （3k +1）.That is W （n ）=min ｛k ：n ≤k （3k +1），k ∈N ｝．The main purpose of this paper is to study the mean value properties of the composite function S （W （n ）），a nd to give a sharper asymptotic formula by the elementary and analytic methods ．
Key words ：Smarandache function ；c omposite function ；m ean value ；a symptotic formula
1引言及结论
对于任意的正整数n ，著名的Smarandache 函数S （n ）定义为最小正整数m ，使得n │m !，即S （n ）=min ｛m ：
n │m !，m ∈N ｝．对于任意正整数n >1，如果n =p 1α1p 2α2…p s αs 是n 的标准素因数分解式，由S （n ）的定义和性质容易推出[1]
S （n ）=max 1≤i ≤s
｛S （p i αi
）｝．
（1）
关于S （n ）的算术性质，许多学者进行了研究，例如文献［2］研究了Smarandache 函数的有界性问题，得到了S （p α）的上下界估计，即
（p -1）α≤S （p α）≤（p -1）α［α+1+log p α
］+1．
（2）
文献［3］讨论了一个与S （n ）相关的加权均值的分布问题，文献［4］研究了S （n ）的均值分布问题，给出了该函数均值的一个较强的渐近公式
n ≤x
ΣS （n ）=π212·x 2ln x +O x 2ln 2x x x
．对任意的正整数n ，定义一个新的函数W （n ）为最小的正整数k ，使得n ≤k （3k +1），即W （n ）=min ｛k ：
n ≤k （3k +1），k ∈N ｝．本文研究了复合函数S （W （n ））的均值分布问题，并给出一个较强的渐近公式．
第30卷第2期
河南科学
定理
设k ≥2是给定的整数，则对任意实数x >1，有渐近公式
n ≤x ΣS （W （n ））=π2
486·（3x ）3
2
ln 3x 姨+k
i =2Σb i ·（
3x ）3
2ln i 3x 姨+O x 3
2
ln x
x
x
，其中b i （i ＝2，
3，…，k ）是可计算的常数．特别地，当k =1时有下面结论：推论
对任意实数x >1，有渐近公式
n ≤x ΣS （W （n ））=π2·（3x ）3
2ln 3x 姨+O x 3
ln 2x
x x
．2定理的证明
事实上在和式
n ≤x
ΣS
（W （n ））（3）
中注意到，如果W （n ）=m ，那么当k （3k +1）≤n ≤（k +1）（3k +4）时都有W （n ）=m ．也就是说，方程W （n ）=m 有6m +4个解，即n =m （3m +1）+1，m （3m +1）+2，…，（m +1）（3m +4）．由于n ≤x ，所以当W （n ）=m 时，m 满足1≤m ≤12x +1姨-16，亦即m=3x 姨3
+O （1），于是注意到S （n ）≤n ，有
n ≤x
ΣS
（W （n ））=n ≤x ，W （n ）=m
ΣS （m ）=m ≤12x +1姨-1
6
ΣmS （m ）+O （x ）=m ≤3x
姨3
ΣmS （m ）+O （x ）．现将区间［1，3x 姨3］中的所有正整数分成两个集合[5]A 和B ，其中集合A 包含所有那些满足存在素数p
使得p │n 且p >n 姨的正整数m ；而集合B 包含所有那些在区间［1，3x 姨］中不属于集合A 的所有正整数
m ．于是利用性质（1）有
m ≤3x
姨3
Σm ·S
（m ）=m ∈A
Σm ·S （m ）+m ∈B
Σm ·S （m ）．现在计算集合A 中的情况
m ∈A
Σm ·S
（m ）=m ∈A
p │m ，p>m
姨Σm ·S （m ）=mp ≤3x
姨3m Σmp ·S （mp ）=mp ≤3x 姨3m Σmp ·p =m ≤x 3 4 姨Σm · m 姨3m Σ p 2．（4） 设π（x ）=p ≤x Σ1，于是利用Abel 求和公式以及素数定理[6] π（x ）=p ≤x Σ1=k i =1 Σ c i x ln x +O x ln k +1x ∈x ，其中，c i （i ＝1， 2，3，…，k ）为常数且c 1=1，有m 姨Σ p 2 =π3x 姨x x 3x 姨x x 2 -π（m ）·m 2 -3x 姨3m m 乙2t π（t ）d t = 13·（3x 姨）3 （3m ）3+k i =2Σa i （3x 姨）3 ·ln i m m 3ln i 3x 姨+O x 3 m 3ln k +1x x x =154-- 2012年2月赵琴等：关于Smarandache 函数的复合函数的均值 1·（3x ）32 m 3ln 3x 姨+k i =2Σa i （3x ）3 2·ln i m m 3ln i 3x 姨+O x 3 m 3ln k +1x Σ Σ ， （5） 其中，a i （i ＝2，3，…，k ）是可计算的常数．注意到∞ i =1Σ1m 2 =π26，结合（4）、（5）式可得：m ∈A Σm ·S （m ）=181·（3x ）3 2 ln 3x 姨·m ≤ x 3 4姨Σ1m 2 +m ≤x 3 4姨Σk i =2 Σ a i （3x ）3 2·ln i m m 2ln i 3x 姨+O x 3 ln k +1 x Σ≤ =π2 486·（3x ）3 2 ln 3x 姨+k i =2Σb i （3x ）3 2ln i 3x 姨+O x 3 ln k +1x Σ≤ ，（6） 其中，b i （i ＝2， 3，…，k ）是可计算的常数．现在讨论集合B 中的情况．由（1）、（2）式及集合B 的定义知，对任意的正整数m ∈B ，当m 的标准素因数分解式是m =p 1α1p 2α2…p s αs 时，则有 S （n ）=max 1≤i ≤s ｛S （p i αi ）｝≤max 1≤i ≤s ｛αi ·p i ｝≤m 姨ln m ， （7） 于是由（7 ）式可得m ∈B Σm ·S （m ）≤m ∈B Σm ·m 姨ln m ≤m ≤3x 姨3 Σm 32ln m ≤x 54 ln x ． （8） 由集合A 、B 的定义并结合（6），（8）式有 n ≤x ΣS （W （n ））=m ≤3x 姨3 Σm ·S （m ）+O （x ）=m ∈A Σm ·S （m ）+m ∈B Σm ·S （m ）+O （x ）=π2 ·（3x ）32 ln 3x 姨+k i =2Σb i （3x ）3 2ln i 3x 姨+O x 3 2 ln k +1x Σ ≤ ．其中b i （i ＝2， 3，…，k ）是可计算的常数．于是完成了定理的证明．在定理中令k =1即可得到推论．参考文献： ［1］Smarandache F．Only p roblems ，n ot s olutions ［M ］．Chicago ：Xiquan Pub lishing House ，1993． ［2］Mark F ，Patrick M．Bounding the Smaranache p roblems ，function ［J ］．Smarandache Notions Journal ，2002，13（1）：37－42．［3］Wang Y ongxing．On the Smarandache function ［M ］//.Zhang Wenpeng ，Li Junzhuang ，Liu Duansen.Research o n Smarandache p roblem in n umber t heory ，Phoenix ，USA ：Hexis ，2005：103-106． ［4］马忠田．关于正整数的六边形数部分［J ］．纯粹数学与应用数学，2007，23（3）：377－380．［5］潘承洞，潘承彪．素数定理初等的证明［M ］．上海：上海科学技术出版社，1988． （编辑康艳） 155-- 简述以样本均值估计总体均值的理由 概率论与数理统计中样本均值为什么是总体均值最好的估计量 哈佛孙一峰 哈佛孙一峰 首先什么是最优估计量，以下是定义： An estimator W of a parameter, say τ(θ), is called the best unbiased estimator, or uniform minimum variance unbiased estimator 换成中文来说就是一个估计量如果它无偏并且方差最小那么他就是最优的。样本均值是总体均值的无偏估计用大数定理就自然而然知道了（当然这里就要假设期望有界了）。那怎么知道他是方差最小的呢？我们需要用到Cramer-Rao Inequality. 简而言之就是任何一个估计量的方差是有下界的。这个部分的证明并不复杂。用Cauchy-Schwarz Inequality可以很轻松的证明出来。 因为要涉及的概念实在太多了，所以略过很多复杂的证明，最后直接跳到结论就是在指数分布族里，样本均值是分布均值的无偏估计且方差就是估计量方差下界。 更具体的可以搜索Lehmann Scheffe theorem。虽然这部分我觉得本科生的概率论并不会接触到。 (sample)，是指从总体中抽出的一部分个体。样本中所包含个体数目称样本容量或含量，用符号N或n表示。 总体(population)是指客观存在的，并在同一性质的基础上结合起来的许多个别单位的整体，即具有某一特性的一类事物的全体，又叫母体或全域。简单地说，总体也就是我们所研究的性质相同个体的总和。 样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分。按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。又称子样。例如因为人力和物力所限，不能每年对全国的人口进行普查，但可以通过抽样调查的方式来得到需要的信息。从总体中抽取样本的过程叫抽样。最常用的抽样方式是简单随机抽样，按这种方式抽 关于数论函数方程() ()2 S n n ?= 李宋宋 （安徽师范大学 安徽芜湖 241000） 摘要:对于任给的正整数n ，()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法，对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。 关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程 On the Arithmetic Functional Equation ()()2S n n ?= Abstract: For any given positive integer n, ()n ? and ()S n are Euler function and Smarandache function respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ?=and finally given the expression and the discriminants of solution. Keywords: Euler function ；Smarandache function ；factorial ；Fermat number ；equations 1 引言 对于任意正整数n ,设()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ?表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得 |!n m ，即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈. ()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一 个十分引人关注的研究课题[1] .关于这两个 函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研 究的对象[2]-[4] , 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t n S n ?=的相关性质和求解过程，并且在很多学者努力下，此类型方程的求解结果已经很完善；文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ω?=的解.在诸多文章和结果的启发下，本文提出了一类数论方程 ()()2S n n ?=的求解问题,并通过分类讨论的 方法，在现有的五个费马素数的基础上得到 了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面： 定理 对于任给的正整数n ,()n ?和 ()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函 数，若n 为数论方程() ()2 S n n ?=的解，则n 的标准分解式为： 1 2m s n p p =, 1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中 22 1k i i p =+，{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=， m 满足： (1)当1s =时，1121k m p =-+， 1{23,4}k ∈，，或者m 满足不等式组： 1.4 随机变量的特征函数 引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。 数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的 增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。 特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。特别是计算、处理多个随机变量，特征函数 显示其优越性一。 1．4．1 特征函数的定义 (1) 设X 是定义在概率空间),,(P F S 上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称juX e 的 数学期望)(juX e E 为X 的特征函数，记为)(u C X 。 当X 为离散型随机变量时，其特征函数为： ∑∞ ====1 )()()(i i jux juX X x X P e e E u C i 当X 为连续型随机变量时，其特征函数为： ?+∞ ∞ -==dx x p e e E u C jux juX X )()()( (2) 利用特征函数求概率密度函数 ? +∞ ∞ --= du u C e x p X jux )(21 )(π 证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。 举例： 例1：求标准正态分布)1,0(N 的特征函数。 2 2 2221)()(u jux x juX X e dx e e e E u C - ∞ +∞ -- ===? π 1．4．2 特征函数的性质 (1) 1)(≤u C X 1)0(=X C (2) 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即： 若∑== n k k X Y 1 ，式中n X X X Λ,,21为n 个两两相互独立的随机变量，则 ∏==n k X Y u C u C k 1 )()( 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即 012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且 01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)； 2014-2015随机过程参考题 一.判断题 1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11 n n k k k k E X E X ==??=????∏∏． （ ） 3．若12(,, )n F x x x 是随机向量1=, ,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是 单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布． （ ） 7．复合P o i s s o n 过 程一定是计数过程． （ ） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（ ） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量1, ,n X X ，都有[]1 1n n k k k k Var X Var X ==??=????∑∏． （ ） 13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ） 14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过 程． （ ） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson 过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ） 21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ） 有关数论函数的一些问题 题目：有关数论函数的一些问题研究生：任荣珍 任课教师：杨海 学科专业：应用数学 学号：2014081034 学院：理学院 时间：2015年1月2日 有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”. 数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置. 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义: 对任意的正整数2n ≥, ()n ?是由满足如下条件的整数数组 12(,,...,)s a a a 所构成的集合: (1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =; (2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =; (3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤. 定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈? 设1 i k a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同 素因子的个数. 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 样本平均数的方差的推导： 假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本 1,,n x x ，则有 22 (),i i x X E x X σσ== 即每一个样本单位都是与总体同分布的。 在此基础上， 证明样本平均数以总体平均数为期望值。 []121212()() 1 ()1 ()()()1 ()n n n x x x E x E n E x x x n E x E x E x n X X X X n +++==+++=+++=+++= 接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。 在此，需要注意方差的计算公式为： 22(())X E X E X σ=- 以下需要反复使用这一定义： 22 2 122 122 2122222 122222 122(())()1(())1 ()()()1()()()()()1()()()()()1x n n n n i j i j n i j i j E x E x x x x E X n E x x x nX n E x X x X x X n E x X x X x X x X x X n E x X E x X E x X E x X x X n σ≠≠=-++ +=-= +++-??=-+-++-? ???=-+-++-+--???? ??=-+-++-+--????=∑∑∑∑222n n n σσ?= 在证明中，一个关键的步骤是()()0i j i j E x X x X ≠--=∑，其原 因在于这一项事实上是i x 与j x 的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。 如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。此时样本均值的方差为221 X x N n n N σσ-= ? - 样本方差的期望： 证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。 先构造一个统计量为2 1 () n i i x x S n =-'= ∑，我们来求它的期望。 根据方差的简捷计算公式：()2 2 2X X X n σ = -∑，可得 数论函数与拓扑 摘要：自然数的诸多性质，由各种各样的数论函数来描述。有些数论函数之间存在着数量关系，可以看作数论研究领域的一种拓扑现象。 关键词：数论函数，拓扑 若干例子 1，不超过N的，孪生素数个数R2(N)与素数个数π(N)之间的关系 R2(N)=c1 N [π(N)]2 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c1是正常数。 2，偶数N表为两个奇素数之和的表法个数r2(N)，与不超过N的素数个数π(N)之间的关系 r2(N)=c2 N [π(N)]2 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c2是正常数。 3，不超过偶数N的孪生素数个数R2(N)，与表N为两个奇素数之和的表法r2(N)之间的关系 R2(N)=c3[r2(N)] 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c3是正常数。 4，不超过N的，多连生素数组的个数R k(N)，与素数个数π(N)之间的关系 R x(N)=c x[π(N)]m 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c x是正常数。 等等。 诸多数论函数之间往往存在着某种数量关系。 耐人寻味，值得研究。 参考资料： 1 初等数论：潘承洞，潘承彪著1997.6 月北京大学出版社 2 组合数学：屈婉玲著1997.9 月北京大学出版社 3 王元论哥德巴赫猜想李文林著1999.9 月山东大学出版社 4 数学与猜想G.玻利维亚2001.7 月科学出版社 5 数论导引哈代著2008.10 月人民邮电出版社 6 华罗庚文集2010.5 月科学出版社 7 代数数论冯克勤著2000.7 月科学出版社 第一章： 1． 填空 若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1) (2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=s p k k k ∑ ∞ =0，则p ′（s ）=s kp k k k 1 1 -∞ =∑，令s ↑1，得EX==∑∞ =1 k k kp p ′(1)。 （2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 2 3.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n n C p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n, ()00 k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ? ??? ? ? ? ? ? ? --===+∑∑== 由性质得 ()() np it dt d i i EX t n q e p g =-=-==+0 , ()()() p n q e p dt d g i EX npq it i t n 2 2 2 2" 2 2 0+=-===+- ()npq DX EX EX =- = 2 2 4． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx x t g e itx ?∞ +∞ --= 2 2 21)(π 由于e e x x x ix itx 22 2 2 =-，且 ?+∞?∞ +∞ --dx x e itx 2 2 21π ，故由积分号下求导公式有 ??? ?????-= =-∞ +∞-∞ +∞ --??de e ixe g x i dx x t ixt itx 22' 2 2 221)(π π .总体平均数与方差的估计 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是 这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神. 第一章：预备知识 §1.1 概率空间 随机试验，样本空间记为Ω。 定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。如果 （1）∈ΩF ； （2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； （3）若∈n A F ， ，，21 =n ，则 ∞ =∈1 n n A F ； 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。 由定义易知： . 216\,,)5)4(1 1 1 F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（； 则若（； 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞=∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1 121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有 时，当）对两两互不相容事件（；）（； 任意 则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。 定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ?，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ， ,2,1=n 有： (),1 1 ∏===??? ? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1.2 随机变量及其分布 随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数， {}T t X t ∈,是独立的。 §1.3随机变量的数字特征 定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若 ? ∞ ∞ -∞<)(||x dF x ，则称 )(X E ＝?∞ ∞ -)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。 方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DY DX B XY XY =ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 （Schwarz 不等式）若,,2 2 ∞<∞ 样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量 立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X- 期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同 样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它 不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就 是那个”偏"的由来 刊屮）二 Ei a.—-￡（A;-W） f=l 9 =rr 一 证明: 10次，测量值和期望值之间是独 DGH 兀） 担工加D （X ；）） g ? u 曰右力m-工P) 占E (m ：-寸) __________ ■!■ A^(E ：=iCV —2A ；T + X-)) 闵肯) ) + ￡：D) n(<7- + //-) E(X 力二丫) nE(X~) MD(X) + E2(X)) M 吟+ “?) 尙e + //-) - 角F + "') t7- 证毕?? D(X)二 --- ◎ E(f)= D(X) + Eh 工) E{S-)= ￡(E ； =1 A ；y )= σ2与总体方差σ2、样本容量n的关系是xσ2=（σ2 1.样本平均数分布的方差x ／）。 2.样本中各观察值与其平均数的差数的平方的总和为（P42 ）。 3.样本中各观察值与其平均数的差数的总和为（0 ）；样本中各观察值与平 均数的差数的平方的总和为（P42 ）。 4.一般而言，假设测验可能犯（ 2 ）类错误。 5.一般正态分布的正态离差U=（）；样本平均数分布的正态离差U= （）。 6.一个4因素3水平试验的所有可能处理组合数为（81 ）。 7.由回归方程估计x为某一定值时条件总体平均数的95％置信区间为 （）；估计x为某一定值时条件总体预测值的95％置信区间为（）。 8.有12个处理，要进行随机区组设计，可查得随机数字表中任一页的任一行，去掉 （00 ）、（97 ）、（98 ）和（99 ）四个数字后，凡大于12的数均被12除后得余数，将重复数字划去，即得12个处理的排列次序。 9.有6个处理，每处理3次重复，用对比法设计，至少要安排（9 ）个对照。 10.有8个处理，每处理3次重复，用对比法设计，至少要安排（12 ）个对照。 11.有一个总体共有4个个体，分别为2，4，6，8，从总体中进行复置随机抽样，每次抽2 个观察值，抽出所有样本，则共有（）个可能样本；所有样本平均数分布的平均数为（），标准差为（）。 12.有一样本，其6个观察值分别为6，3，8，4，1，3；则其中数为（ 3.5 ），均 方为（22.5 ）。 13.有一样本，其6个观察值分别为7，3，8，4，2，3；则其中数为（ 3.5 ）。 14.有一样本，其6个观察值分别为7，4，8，5，2，3；则其中数为（ 4.5 ）。 15.有一样本的5个观察值为2，7，7，5，4；则其样本均方为（28.6 ）。 16.有一正态分布N(16,4),已知U0.05＝1.96，则其分布中间有95％观察值的全距为 （7.84 ）。 17.有一正态分布N（30，9），则落于24与36之间的观察值的百分数为（）。 18.有一正态分布N（36，9），已知U0.01＝2.58，则其分布中间有99％观察值的全距为 （10.32 ）。 一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时， ＝ ＝ 设离散型随机变量X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 所以： 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分 布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 ，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的 指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 特征函数、母函数、矩母函数 确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题 可以通过微分运算求随机变量的数字特征 1．特征函数： 设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称： (){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞?∞?∞ Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。 特征函数的性质： 1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定； 2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积； 3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ= 典型随机变量的特征函数 1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+ 2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+ 3． 几何分布：()1jt jt pe t qe Φ=? 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t e λ??Φ= 5． 正态分布2(,)N σ?：22 ()exp{}2t t j t σΦ=?? 6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt ?Φ= 7． 负指数分布：()t jt λ λΦ=? 2．母函数 研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法： 对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞ =Φ==?∑ (1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换 母函数的性质： 1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。 2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附 合泊松过程的应用) 3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ==" 通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。 3． ()1(){(1)(1)}1,2,k z z E X X X k k =Φ=??+="" 通过矩生成函数的微分可以得到随机变量的数字特征： 均值： '1{}()|z E X z ==Φ 方差： 22''''2111{}{}[{}]()|()|[()|]z z z D X E X E X z z z ====?=Φ+Φ?Φ 典型随机变量的母函数 1． 两点分布的母函数：()z q pz Φ=+ 2． 二项式分布的母函数：()()n z q pz Φ=+ 3． 泊松分布(λ)：(1)()z z e λ??Φ= 4． 几何分布：()1pz z qz Φ=? 随机过程综合练习题 一、填空题（每空3分） 第一章 1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则 n X X X 21的特征函数是 。 2． )(Y X E E 。 3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X 21的特征函数是 。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。 第三章 11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。 13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程， n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n 14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程． 17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ． 第四章 18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。 20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且 p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有 1,1 n X Y n k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。 答案 一、填空题 1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5． n i i t g 1 )(； 6．等价 7．时间差； 8．独立增量过程； 9． 0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2 t s X 11．t t ;； 12． 000 )(11t t e t f t 00)()()(321321t t e t f t 13． t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43 71 e 2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念 随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。 通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。 随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。 为即若用映射来表示注意: t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令 掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 ( 随机过程综合练习题 一、填空题(每空3 分) 第一章 1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则 X1 X2 X n 的特征函数是。 2．E E(X Y) 。 3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。 4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。 5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则 X1 X 2 X n 的特征函数是。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。 第三章 11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为； 方差函数为。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它 们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。 13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程， ( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17． 71 4 e P X(t s) X(s) n 14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程． 17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是． 第四章 18．无限制随机游动各状态的周期是。 19．非周期正常返状态称为。 20．设有独立重复试验序列{X n,n 1}。以X n 1记第n次试验时事件A发生，且n Y n X k,n 1，则{Y n,n 1}是链。 k1 答案 一、填空题 n 4．Y;是5．g i(t) ；6．等价 i1 7．时间差；8．独立增量过程； 9．E X(t2) X(t1) X(t4)X(t3)02 10．X2(min{ s,t}) 11．t; t ；12．f (t)1e 1 t t0 f (t) ( 1 2 3)e(1 2 3)t t 0 0t00 t 0 n 0,1, P{X n 1} p ，以X n 0 记第n 次试验时事件 A 不发生，且P{ X n 0} 1p ，若有 n 1．g n(t)； 2．EX ；3．e ibt g(at) 13． 3简述以样本均值估计总体均值的理由
关于数论函数方程
第1章随机信号概论特征函数随机过程统计特性
初等数论知识点汇总
随机过程参考题
有关数论函数的一些问题
随机过程试题及答案
样本平均数的方差的推导
数论函数与拓扑
随机过程复习提纲
总体平均数与方差的估计
随机过程知识点
样本方差与总体方差的区别
样本平均数分布的方差
随机过程习题和答案
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
随机过程题库1
第二章随机过程基本概念.
随机过程题库