高二数学上册期末模块检测考试题2
兰州一中2010-2011学年第一学期高二年级期末考试数学试
题（理） 第Ⅰ卷
注意：考试时间100分钟，满分100分，选择答案填入答题卡内，交卷时只交第Ⅱ卷。
3
选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分）
1、空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上且2OM MA = ，N 为BC 的中点，则MN =
（ ）
A 、1212
32a b c -+ B 、211322a b c
-++ C 、112223a b c +- D 、
221332a b c +- 2、若直线l 与平面α所成的角为3π
，直线a 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与直线a
所成的角的取值范围是 （ ）
A 、
2(0,
]3π B 、2[,]33ππ C 、(,]32ππ D 、[,]32ππ
3、设椭圆22
221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则
P 到右准线的距离为 （ ）
A 、6
B 、2
C 、12 D
、
4、设a 、b 、c 为三条不同的直线，α、β、γ
为三个不同的平面，则下列四个命题中真
命题的个数是 （ ） ①若,αββγ⊥⊥，则//.αγ ②若,,a b b c ⊥⊥则//a c 或.a c ⊥ ③若,a b α?、,,,c a b a c β?⊥⊥则.αβ⊥ ④若,,//,a b a b αβ⊥?则.αβ⊥
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
5、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）
A
B
C
、 D
、
6 、过双曲线
2224x y -=的右焦点F ，作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若
|AB|=这样的直线存在 （ ）
A 、一条
B 、两条
C 、三条
D 、四条
7、在ABC ?中，若AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，P A=8，则P 到直线BC 的距离为 （ ）
A
、 B
、 C
、 D
8、已知12,F F 是双曲线22
:1C x y -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠= ，
则点P 到x 轴的距离为 （ ）
A
、 B
、 C
D
9、若抛物线2
2y x =上两点
1122(,),(,)A x y B x y 关于直线y x b =+对称，且121y y =-，则
实数b 的值为 （ ）
A 、52-
B 、52
C 、12-
D 、1
2
10、设1A 、2A 是椭圆22
1
94x y +=的长轴的两个端点，1P 、2P 是垂直于1A 2A 的弦的两个
端点，则直线
11A P 与22A P 交点的轨迹方程为 （ ）
A 、22194x y +=
B 、22
194y x += C 、22194x y -= D 、22
194y x -=
2010-2011-1学期兰州一中高二年级期末考试
数学试题及答案（理）
第Ⅱ卷
1
B 1
一、选择题答题卡
4
填空题（本大题包括5小题，每小题4分，共20分）
11、已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0),||
b a b λ=+=
0λ>，则λ= ３ . 12、已知
双曲线222
21x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆22
1259x y +=的焦点相同，那么双曲线的渐近
0y ±= .
13、已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线:1l y x =-被圆C 所截得的弦长为l 垂直的直线方程为30.x y +-=
14、已知点P 是抛物线2
2y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线
准线的距离之和的最小值为
15、给出下面四个命题：
①“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；
③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；
④“平面α//平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等. 其中真命题的序号是 ② ④ .(写出所有真命题的序号)
解答题（本大题包括5小题，共40分） 16、（6分）在空间平移正ABC ?到111A B C ?,得到如图的几何体.若点D 是AC 的中点，1AA ⊥
平面ABC ，1:,AA AB =求异面直线1AB 与BD 所成的角.
解：取11AC 的中点1D ，连结11B D ，
依题意
11//BD B D ，则11D B A ∠是异面直线1AB 与
BD 所成的角，
（２分） 连结1AD ．不妨设1,AB =由1:,AA AB
知
1AA 1AA ⊥平面
ABC ，1ABB ?，11AA D ?均为.RT ?
又ABC ?，
111A B
C ?均为为正三角形，
11B D =
∴
1AB ==1
3,2AD
== （４分） 在
11D B A ?中， 2
2211
1
1
1111139
3cos 2B D AB AD D B A B D AB +-
+-∠==?1.2=（５分） ∴异面直线1AB 与BD 所成的角为.
3π （６分）
17、（8分）如图，在正方体''
'
'
ABCD A B C D -中，E 、F 分别为'
DD 、''
C D 的中点.
（Ⅰ）求证：'//B F 平面'
A BE ；
（Ⅱ）求直线BE 和平面''
ABB A 所成角的正弦值. （Ⅰ）证明：连结'
AB 交'
A B 于O ，
''ABB A 是正方形，O ∴为正方形''ABB A 的中心，
连结OE 、EF ，则'
//EF OB ，且'
EF OB =，∴四边形'
EFB O 是平行四边形，
∴'//EO FB ，又点'B 不在平面'A BE 上，∴'
//B F 平面'
A BE （３分）
（Ⅱ）取'
AA 的中点M ，连结EM ，BM ．
∵E 是'DD 的中点，四边形''
ADD A 是正方形，∴//.EM AD
又AD ⊥平面''ABB A ，∴EM ⊥平面''
ABB A ，从而BM 是BE 在平面''
ABB A 上的射影，
EBM ∠是直线BE 和平面''ABB A 所成的角。 （５分）
设正方体的棱长为２，则
2, 3.EM AD BE ====
于是在RT BEM ?中，
2
sin .3EM EBM BM ∠=
=
即直线BE 和平面''
ABB A 所成角的正弦值为2.3 （８分）
注：用向量方法参照上述解答给分
18、（8分）如图，已知点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD
，
PA AB =，点E 是棱PB 的中点.
（Ⅰ）求证： AE
⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若AD =A EC D --的大小.. 解：（Ⅰ）如图以A 为坐标原点
射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，
建立空间直角坐标系.A xyz -
设(0,,0),D a
则
,0),E C
a P E
因此((0,,0),22AE BC a PC ===
，
则0,0,AE BC AE PC ?=?=
∴AE ⊥平面PBC.
（３分）
（Ⅱ）∵||
AD
则D C
设平面AEC 的一个法向量1
111(,,)n x y z = ，则110,0n AC n AE ?=?=
，
又(),
22AC AE ==
故
11110,
0.x y =
+=1111,.y z x ∴
==-可取1
x =
则1
(n =
（５分） 设平面DEC 的法向量2
222(,,)n x y z = ，则220,0,n DC n DE ?=?=
又
DC DE
==
故
2
222
0,
0.
x
x z
=
?
=
所
以222
0,2,
x z y
==
取2
1,
y=
则2
(0,1
n=
（６分）
故
12
12
12
cos,
||||
n n
n n
n n
?
<>===
（７分）
所以二面角E CD A
--
的平面角的（８分）
19、（9分）已知动直线
y a
=与抛物线
2
1
2
y x
=
相交于A点，动点B的坐标是
(0,3).
a
（Ⅰ）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点N（1，0）的直线l交轨迹C于P、Q两点，点O是坐标原点，若OPQ
?面积为4，求直线l的倾斜角α.
解：（Ⅰ）设M点坐标为
(,)
x y，易知2
(2,)
A a a，又B的坐标是(0,3)a，
则
2
2
2
,
2
3
2,
2
a
x a
a a
y a
?
==
??
?
+
?==
??消去a，得24.
y x
=（３分）
（Ⅱ）易知N（1，0）是抛物线
24
y x
=的焦点，(0,0)
O是抛物线C的顶点.
当直线l的倾斜角90
α= 时，||4
PQ=，所以
1
142
2
OPQ
S
?
=??=
，不满足题设条件，故90.
α≠ （４分）
设l的方程为(1)
y k x
=-，
1122
(,),(,).
P x y Q x y
将直线方程代人抛物线方程，得
24(1)
y
y
k
=+
，
即
2
4
40
y y
k
--=
，∴
1212
4
,4,
y y y y
k
+=?=-
∴
12
||
y y
-==
故
12
11
||||14
22
OPQ
S ON y y
?
=?-=?=
，（６分）
解得
k=
（８分）
所以直线l的倾斜角6
π
α=
或
5
.
6
π
α=
（９分）
20、（9分）无论m为任何实数，直线:l y x m
=+与双曲线C：
22
2
1(0,
2
x y
b
b
-=>
且
22)
b≠
恒有公共点
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C交于P、Q两点，并且
1
,
5
FP FQ
=
求双曲线C的方程.
解：（Ⅰ）联立
22
2
,
1,
2
y x m
x y
b
=+
?
?
?
-=
??
得
22222
(2)2(2)0
b y b my b m
--+-=（*）
当22
b=时，方程2
42(2)
my m
=-，当0
m=时方程组无解，即直线l与C无交点，与l、C恒有交点矛盾.
当22
b≠时，方程（*）中0
?≥对实数m R
∈恒成立，即
42222
44(2)(2)0,
b m b b m
---≥即222
8(2)0
b b m
+-≥对实数m R
∈恒成立，
∵
0,
b>∴222
0,2
b b m
>≥-对m R
∈恒成立，22
b≥，又22
b≠，
∴
22,
b>∴
2
2
2
4
2,
2
c
e
a
=>=
∴e>（４分）
（Ⅱ）设1122
(,),(,)
P x y Q x y
，由
1
,
5
FP FQ
=
得
1122
1
(,)(,),
5
x c y x c y
-=-
∴
12
1
.
5
y y
=
由方程（*）得222121222
2(2)
,,22b m b m y y y y b b -+=?=--
将1215y y =代人上面两个方程，得2222
9,5(2)(2)b m b m =--
∵直线l 过双曲线C 的右焦点F ，∴,m c =-∴2292
,
52b b +=-
∴2
7,b =∴双曲线C 的方程为 22 1.27x y -= （９分）