高三数学第一轮总复习培优版讲义(理)
高三数学第一轮总复习讲义（培优版）
供理科生使用
第一讲等差数列及其性质与前n项和
第二讲等比数列及其性质与前n项和
第三讲数列的通项公式与前n项和的求法
第四讲数列的综合问题
第一讲 等差数列及其性质与前n 项和
【教学目标】
1、 掌握等差数列的概念及通项公式；
2、 理解并能应用等差数列的性质；
3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。
【重点难点】
1、应用等差数列的性质解题；
2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用;
3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值;
【命题趋势】
1、题型以选择题和解答题为主;
2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用;
3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。
【教学过程】 一、知识要点
1. 等差数列的判定方法：
（1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ?是等差数列； （2）)(2
2
1*++∈+=
N n a a a n n n {}n a ?是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ?是等差数列；
（4）B A Bn An s n ,(2+=是常数，)1≥n {}n a ?是等差数列. 2. 等差数列的性质.
由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列.
②),()(*
∈-+=N n m d m n a a m n .
③
),(*∈=--N n m d n
m a a n
m ;
④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2,
若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和;
⑤若n n t t t r r r +++=+++ 2121,则n n t t t r r r a a a a a a +++=+++ 2121; ⑥项数成等差数列的项是等差数列,
{}n ka ,{}r ka n +也都是等差数列,公差是.kd
⑦等差数列中依次k 项的和成等差数列，即 k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列,其公差为d k 2
⑧若{}n a ,{}n b 都是等差数列,公差分别为21,d d ,则{}n n pb ka +也是等差数列,其公差为21pd kd +.
二、典例精析
题型一、等差数列的证明
例1. 已知数列{}n a 满足),2(44,41
1≥-
==-n a a a n n 若,2
1
-=
n n a b （1）求证: {}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式
题型二、等差数列的性质
例2. 在等差数列{}n a 中,若,36121132=+++a a a a 求876a a a ++的值.
例3. （2010广东惠州调研，改）已知{}n a 为等差数列，,87,105864531=++=++a a a a a a n S 是数列
{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）
A.21
B.20
C.19
D.18
变式：设公差为-2的等差数列{}n a 中,,5097741=++++a a a a 求99963a a a a ++++ 及99S 的
值.
例4. （07年辽宁，改）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，求151413a a a ++的值。
变式：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若18,293==S S ，求24S 的值。
题型三、等差数列的前n 项和n S
例5. 在等差数列{}n a 中,若,4,84111073=-=-+a a a a a 求前13项的和13S .
例6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,,2410171S S a ==问数列{}n a 的前多少项和最大?并求此最大
值.
题型四、综合问题
例7. （2009年湖南四市，改）数列{}n a 中，0,262==a a ，且数列?
??
???+11n a 是等差数列。
求：(1)84,a a ; (2)求数列n a 的通项公式;
(3)若))(1)(1(1*
+∈++=N n a a b n n n ，求n b 的前n 项和n S 。
例8.
（2010年广东惠州调研，14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，
对于*
∈N n ，点),(n n n y x P 在函数)0(2≥=x x y 图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与X 轴相切，且⊙n P 与
⊙1+n P 又相外切，若11=x ，且n n x x <+1。 (1)求证：数列?
??
??
?n x 1是等差数列; (2)设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +++= 21，求证：2
3π
<
n T 。
三、优化训练
选择题
1. 设等差数列{}n a 单调递增，且前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为( ) (A)1 (B)2 (C) 4 (D)6
2. 在各项均为正数的等差数列{}n a 中,公差,0≠d 则( )
(A) 5481a a a a > (B) 5481a a a a < (C) 5481a a a a +>+ (D) 5481a a a a = 3. 首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 只有有限个负项的条件是( ) (A)0,01>>d a (B) 0,01<>d a (C) 0,01> 5. 公差d 为正数的等差数列{}n a 中,若,15321=++a a a ,80321=??a a a 则131211a a a ++=( ) (A)120 (B)105 (C)90 (D)75 6. 等差数列{}n a 中,,33,4,3 1 521==+= n a a a a 则=n ( ) (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 填空题 7. 等差数列{}n a 中,103,a a 是方程0532 =--x x 的两根,则该数列前12项的和=12s 。 8. 已知等差数列{}n a 中,,12321=++a a a ,18654=++a a a 则151413a a a ++= . 9. 已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,且最后一项超过第一项10.5, 那么该数列的项数是 . 10. （09年辽宁抚顺）在等差数列{}n a 中，0,011101a a a ，若n S 是数列的前n 项和,且 12,361810==S S ，则数列{}n a 的前18项之和18T 的值是 。 解答题 11. 在数列{}n a 中,2 2,211+==+n n n a a a a ,求n a . 12. 设{}n a 为等差数列, (1)已知,11=a 求公差,d 使3231a a a a +最小; (2)已知,97=a 求公差,d 使21a a 最小. 13. 数列{}n a 是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项变为负. (1)求此等差数列的的公差;d (2)设数列{}n a 的前n 项和为n s ,求n s 的最大值; (3)当n s 是正数时,求n 的最大值. 14. 已知等差数列{}n a 中, 公差),(02,0,0212* ++∈=++≠≠N n k a x a x a a d k k k n . (1)求证:当k 取不同的正整数时方程有公根; (2)若方程不同的根为依次为,,,,21n x x x 求证:1 1 ,,11,1121+++n x x x 是等差数列. 第二讲 等比数列及其性质与前n 项和 【教学目标】 1. 掌握等比数列的概念及通项公式； 2. 理解并能应用等比数列的性质； 3. 熟练掌握各种方法求等比数列的通项公式及前n 项和; 4. 应用等比数列解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。 【重点难点】 1．应用等比数列的性质解题； 2．等比数列前n 项和公式理解、推导及应用; 3．理解等比数列前n 项和公式与指数函数的联系，能解等比数列与不等式函数等综合问题。 【命题趋势】 1. 题型以选择题和解答题为主; 2. 选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3. 解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。 【教学过程】 一、知识要点 1. 等比数列的判定方法: (1) q a a n n =+/1(常数)),2(*N n n ∈≥ {}n a ?是等比数列; (2) )(* 22 1N n a a a n n n ∈=++ {}n a ?是等比数列; (3)),0,0(1 1≠≠=-+q a aq a n n {}n a ?是等比数列; （4）)1,0(1≠>-=a a a s n n , {}n a ?是等比数列. 2. 等比数列的性质: 由通项公1 1-=n n q a a 可以推导出许多性质, ①若01>a ，则1>q 时{}n a 递增;10< ②),(*-∈=N n m q a a m n m n