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用几何性质求三角形外接圆的标准方程

用几何性质求三角形外接圆的标准方程（QG ）

题目：圆过A(1,1),B(3,3),C(4,0)三点，求圆的标准方程。 8

25)45()411(8

251622524

5)045()416411(||4

5,41173),2

5(3213,3

11410)2

1,25(4),2(21-,11

313)

2,2(22222=-+-=?=∴=-+-==-=-=--=--=+-=--=-=--=y x r DC r D x y x y AC AC k AC x y x y AB AB k AB AB AB 故圆的标准方程为圆的半径）（心坐标为联立方程①②，解得圆②

即的中垂线方程为的中垂线的斜率为故的中点为①

即

的中垂线方程为的中垂线的斜率为故的中点为解：

三角形五心及其性质

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。三角形垂心的性质设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF。 5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。垂心的向径定义设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，则h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐标的解析解：设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。其中， Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]); Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);

2021年椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质欧阳光明（2021.03.07） 1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数 |)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时,P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时,P 的轨迹不存在; 当2 12 12F F a PF PF ==+时,P 的轨迹为以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<>=+b a b y a x 的位置关系:

当12222 >+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当1 2 2 22=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离 0

三角形五心性质概念整理(超全)

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。证明方法：设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 。最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC） —

椭圆的标准方程与性质

椭圆的标准方程与性质教学目标：１了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数：有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a

标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形性质范围－a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点 A1(-a,0),A２(a,０）Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1）ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结

类型一椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_．【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3

初中几何三角形五心及定理性质讲解学习

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论： 1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图1） 2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1） 3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图2）定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE

椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程（一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？（二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。实验探究：保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义引导学生概括椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F

椭圆的标准方程及其几何性质(供参考)

椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<>=+b a b y a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0

椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题【基础知识】一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的，两个焦点之间的距离叫做椭圆的。椭圆方程的总形式为 [经典例题]：例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段

例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5）例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为； [典型练习]：椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

三角形的五心性质以及典型问题--初中数学竞赛

三角形的五心三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一．三角形的外心定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．定理3：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．定理4：AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1 ,21,21 1.如图所示，在锐角ABC ?中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，O 为ABC ?的外心. 求证：（1）AEF ?∽ABC ? (2)EF AO ⊥ O F E D C B A 2.设O 为锐角ABC ?的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则 CN BM AL 1 11++的值是_______________.(设R 为ABC ?外接圆半径) 二．三角形的内心定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．定理3：内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =1 2 (a +b －c )． A B C O I K H E F A B C M

B C D A I B C E D A 定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2 1 90A BIC ∠+ =∠ B CIA ∠+=∠2190 ， C AIB ∠+=∠2190 。 3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。证明：D 是ABC ?的内心. 4.如图，在ABC ?中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当?=∠60A 时，求BDE ∠度数 5.如图，I 是ABC ?的内心，AI 的延长线交ABC ?的外接圆于D ，则，DC DB DI ==

椭圆的标准方程与几何性质

椭圆的标准方程与几何性质高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆ 典例在线（1）已知椭圆24x +2 2 y =1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|=2，则12PF F △的面积是 A B ．2 C ． D （2）已知F 1，F 2分别是椭圆E :22x a +221y b =(0a b >>)的左、右焦点，点(1)在椭圆上，且点(1-，0)到直线PF 2P (1-，4-)，则椭圆的标准方程为 A ．x 2 +2 4 y =1 B ．24x +y 2 =1 C ．x 2 +2 2 y =1 D ．22 x +y 2 =1 （3）已知椭圆22x a +2 2y b =1(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1(c -，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P ，使1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．(01-) B ．，1) C ．(0) D ．1-，1) 【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ．【试题解析】（1）由椭圆的方程可知a =2，c ，且|PF 1|+|PF 2|=2a =4，又|PF 1|－|PF 2|=2，所以|PF 1|=3，|PF 2|=1．又|F 1F 2|=2c =|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2 ，即12PF F △为直

角三角形，所以12122||11 12 |2|PF F S F F PF = =?=△．故选A ．（3）根据正弦定理得 2112 21 sin sin PF PF PF F PF F ∠∠= ，又 1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=可得 21 a c PF PF =，即12 PF c PF a = =e ，所以 |PF 1|=e|PF 2| ．又 |PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a ，所以|PF 2|= 21 a e +．因为a －c <|PF 2|往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．（2）求椭圆的方程有两种方法：①定义法；②待定系数法．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 221mx ny =+(0,0m n >>且)m n ≠．（3）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．（4）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两

高中数学 2.5第11课时椭圆标准方程与几何性质复习小结学案理新人教A版选修2-1

课题：椭圆标准方程与几何性质复习（1）课时：11 课型：复习课一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及重要结论．二．知识要点： 1、椭圆及标准方程：标准方程有两种，注意焦点在坐标轴上位置的确定；有时标准方程可以改写为=1；标准方程有时可以用待定系数法求得。 2、椭圆中的四线：两对坐标轴，两对准线；六点：两个焦点，四个顶点； 3、弦长公式：|AB|= 4、椭圆中的点对焦点的张角的变化情况： 5、点代作差结论： 6、焦点三角形的面积：tan 7、特殊的焦点弦：通径= 8、椭圆中的最值问题：（1）、椭圆上的点到椭圆外的直线距离有最大值和最小值；

（2）、椭圆上的点到椭圆内的点及椭圆的焦点的距离之和有最大值和最小值；（3）、A为椭圆内的点，F为椭圆的一个焦点，M是椭圆上动点，则存在M，使得|MA|+|MF|有最小值；（4）、A为椭圆内的点，F为椭圆的一个焦点，M是椭圆上动点，则存在M，使得|MA|-|MF|最大； 9、椭圆的焦半径左：= a+e = a-e 10、有关椭圆中向量的最值问题P是椭圆上的点，则 (1)、||||=(a+e)( a-e)=. (2)、| |:(| |==++2=+ +2||||()=+4-2()=4+. (3)、+（或+）. (4)、=||||()=-()=-+. 三、椭圆精典题型： 1、已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 A.2 B.3 C.4 D.5

2、椭圆22 12516 x y +=的一个焦点为F,O 是坐标原点,点P 在椭圆上,且||4PF =,M 是线段PF 的中点,则||OM =___________; 3、在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则____. 4、椭圆22 14 x y m +=的焦距为2,则m 的值等于（） A.5或 5、已知方程22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.2m >或1m <- B. 2m >- C.12m -<< D. 2m >或21m -<<- 6、 “0m n >>”是“方程22 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 7、椭圆122 22=+n y m x )0,0(>>n m 的一个焦点坐标是(2,0), 且椭圆的离心率2 1=e , 则椭圆的标准方程为 ( ) A.1161222=+y x B.1121622=+y x C.164482 2=+y x D.148 6422=+y x 8、已知椭圆22 221x y a b +=有两个顶点在直线22x y +=上,则此椭圆的焦点坐标是( ) A.(0) B.(0, C.(0) D.(0,

完整版初中几何三角形五心及定理性质

外心定理页6 共页1 第三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。1为锐角或直角）或A是△ABC的外心，则∠BOC=2∠（∠A2、若O ∠为钝角）。A（∠A∠BOC=360°-2当三角形为钝角三角形时，外心在三角形内部；、当三角形为锐角三角形时，3外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。、外心到三顶点的距离相等5 垂心定理

2 图图1 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。页6 共页2 第垂心的性质：6个四点圆。1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到。（此直︰2三点共线，且OG︰GH=1、重心2、三角形外心OG和垂心H Euler line））线称为三角形的欧拉线（倍。、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的32 、垂心分每条高线的两部分乘积相等。4推论：）。（图1ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 、1. 若 D 、 E F 分别是△（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。2）∠2 。（图∠E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则1 = 、3. 若 D 定理证明并延长，连接相交于点OCO、中，ADBE是两条高，AD、

椭圆定义、标准方程及性质(一)

椭圆的定义、标准方程及性质(一) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1、椭圆的焦距（） A．2 B． C． D． 2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（） A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线 3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C．　D． 4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（） A． B． C． D．（0,1） 5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（） A． B．2 C． D．1 6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（） A．或 B． C．或 D． 7、已知，则曲线有（） A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（） A．9 B．12 C．10 D．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9、椭圆的离心率为，则= . 10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 . 11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍. 12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程.

14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标.

1、抛物线的定义、标准方程、几何性质

1、抛物线的定义、几何性质学习目标：理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题重点：抛物线的定义、几何性质难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题知识梳理：抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不在直线l 上）．注意：点F 在直线l 上时，轨迹是过点F 且垂直于直线l 的一条直线 2．抛物线四种标准方程的几何性质：轴 ) 轴轴 ) 轴 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），焦点(,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦半径：抛物线 )0(22>-=p px y 上一点),(00y x P 到焦点( ,0)2p F 的距离2||||0p x PF += 抛物线 )0(22>±=p py x 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离 2 ||||0p y PF += (5) 焦点弦长：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,

则p x x AB ++=21||． 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切 (2) 2 21p y y -=，4 2 21p x x = (3) p BF AF 211=+ (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p ． 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 221212()()AB x x y y =-+-||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 分类例析：一、抛物线的定义、几何性质及应用例1（1）过抛物线x y 82 =的焦点F 作倾斜角是π4 3 的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB = A ．8 B ．28 C ．216 D ．16 （2）（2020新课标1理4）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 （3）经过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，则2 12 1x x y y 的值为__________。（4）过抛物线px y 22 =)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为' A 、' B ，则①' ' FB A ∠为（），②B AF ' ∠为（）． A ．大于等于?90 B ．小于等于?90 C ．等于?90 D 不确定 y x O F A B （N ） D E C l

三角形五心性质概念超全

三角形五心性质概念超全 The document was prepared on January 2, 2021

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。证明方法：设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x ，y ）则该点到三顶点距离平方和为： (x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2+(x 3-x)2+(y 3-y)2 =3x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32 =3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)]2+3[y-1/3*(y 1+y 2+y 3)]2+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（）时上式取得最小值x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 最终得出结论。 4、在中，重心的坐标是的，即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空间——：(X 1+X 2 +X 3 )/3，：(Y 1 +Y 2 +Y 3 )/3，：（Z 1 +Z 2 +Z 3 ）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）内心设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+∠BAC/2． 3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：

一元一次方程知识点几何图形的初步(总复习)

第三章一元一次方程知识要点梳理一.元一次方程及解的概念 1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 2、方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解注意：（1）一元一次方程必须满足的3个条件：只含有一个未知数；未知数的次数是1次；整式方程．（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．二.方程变形——解方程的重要依据 1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么 2、分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m≠0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为的形式：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。三.解一元一次方程的一般步骤 1、解一元一次方程的基本思路通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把

方程“转化”成x＝a的形式。 2、解一元一次方程的一般步骤是变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律等式基本性质1 移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) 合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程等式基本性质2 的解x＝四.列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案． 2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。 (1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。 (2)解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。 (3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。五.常见的一些等量关系

椭圆及其标准方程知识点

椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足