河北省任丘一中2019-2020学年高一数学下学期第二次阶段考试试题

河北省任丘一中2017-2018学年高一数学下学期第二次阶段考试试题

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的

值等于( ) A ．5

B ．13

C ．13

D ．37

2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )

A ．58

B ．88

C ．143

D ．176 3．下列说法正确的是( )

A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形

B ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线

C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面

D ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面

4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )

A ．5 2

B ．7

C ．6

D ．4 2

5．古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )

A ．32，1

B ．23，1

C ．32，32

D ．23，32 6．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形

7．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）

A ．α内有无穷多条直线与β平行

B ．α内的任何直线都与β平行

C ．直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α

D ．直线a α?,直线a//β 8．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝

4

1

，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )

A ．16(1－4－n

) B ．16(1－2－n

) C ．

3

32

(1－2－n )

D ．

3

32

(1－4－n ) 9．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与

BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）

A ．菱形

B ．梯形

C ．正方形

D ．矩形

10．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个 几何体的体积是 ( ) A ．288＋36π B ．60π

C ．288＋72π

D ．288＋18π

11．将数列｛13 n ｝按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：

(1)，(3，9)，(27，81，243)，…则第101组中的第一个数是( ) A ．49503 B ．50003 C ．50103

D ．50503

12．设a 1，a 2，…，a 50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2

＋(a 2＋1)2

＋…＋(a 50＋1)2

＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有（ ） A ．11个 B ．12个 C ．15个

D ．25个

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A ，B ，C ，D 为其上四个点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积为________

（13） （14）

14．如图，已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC⊥BD，四边形ABCD 的形状是________ 15．递减等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n 最大，则n ＝______ 16．正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2

n ＝a 2

n ＋1＋a 2

n －1(n ∈N *

，n ≥2)，则n a ＝________

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(满分10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5

3cos ,2a ==B (1)若b ＝4，求sin A 的值； (2)已知△ABC 的直观图的面积'

111C B A S ?＝2，求b ，c 的值．

18．(满分12分) 如图已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点．

(1)证明：BC 1∥面A 1CD ；

(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求E A 1与1BC 所成的角

19．(满分12分)

在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边长．已知b 2

＝ac 且a 2

－c 2

＝ac －bc . (1)求角A ；(2)求b sin B

c

的值．

20． (满分12分) 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足n n a n S 2=+ (n ∈N *

)．

(1)证明：数列{1+n a }为等比数列，并求数列{n a }的通项公式； (2)若12)12(+++=n a n b n n ，数列{n b }的前n 项和为n T .求满足不等式

20181

22

>--n T n 的

n 的最小值．

21．(满分12分)

如图所示，已知BCD ，AB 平面⊥M 、N 分别是AC 、AD 的中点，BC ⊥CD ． （1）求证：MN ⊥平面ABC ；

（2）若AB ＝1，CD ＝3，060=∠BDC ，求直线AC 与平面

BCD 所成的角的余弦值．

（3）在（2）的条件下，求四面体ABCD 的外接球的表面积

22．(满分12分)

已知{}n a 是首项11a =的递增等差数列，n S 为其前n 项和，且223a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1

2

n n n b a a +=

?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．若对任意的n *N ∈，不等

式n n

T <-)1(λ恒成立，求实数λ的取值范围

.

任丘市第一中学2017—2018学年下学期第二次月考 高一年级 数学试题答案 一．选择：CBDAC BBDCA DA 6.B 解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .

有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.

8．D 解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4

＝41，两式相除可求得q ＝2

1，a 1＝4，又因为数列

{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2

为公比的等比数列，根据等比数列前n 项

和公式可得222111q

q a a n

－)－(＝332(1－4－n

)．

10.A 解析 将几何体的三视图转化为直观图

此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据，可得

V 长方体＝6×8×6＝288，V 半圆柱＝1

2

×32×π×8＝36π.

∴此几何体的体积为V ＝288＋36π. 答案：A 11. D 解析 每组的第一个数03，13，213+，3213++，------505010032133=+--+++ 选D

12.A 解析：法一：(a 1＋1)2

＋(a 2＋1)2

＋…＋(a 50＋1)2

＝a 2

1＋

a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 2

50

＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.

法二：设-1，0，1的个数分别为,,x y z ，则有5094107

x y z x z y z ++=??-+=??+=?

解得151124x y z =??

=??=?故选A 。

二、填空：13.

6

1

14. 菱形 15.7或8 16. 23-n 17.解：(1)由cos B ＝35，得sin B ＝4

5

.--------------2分

因为a ＝2，b ＝4，所以2sin A ＝445，所以sin A ＝2

5

.-----------5分

(2) 由△ABC

的直观图的面积'

1

11C B A S ?＝

2，由'

1

11C B A S ?

=

ABC S ?

得

4ABC S ?=------------------6分由S △ABC ＝1

2ac sin B ＝c ·45

＝4，可解得c ＝5，-------8分

b 2＝a 2＋

c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35

＝17. 所以b ＝17.----------10分

18. 解：（1）连接 1AC 交C A 1于O ，连OD,则O 是C A 1的中点，则OD 是1ABC ?的中位线，OD//1BC ---3分.又OD ?面A 1CD ，BC 1?面A 1CD BC 1∥面A 1CD ；-----6分 （2）取1AA 中点H ，则BH//E A 1,1HBC ∠就是E A 1与1BC 所成的角--------8分 易得BC 1=22 ，BH=3，51=H C ------10分

由余弦定理的22cos 1=

HBC ∴ 1HBC ∠=4

π

----------12分 19. 解:(1)∵b 2

＝ac 且a 2

－c 2

＝ac －bc ，∴a 2

－c 2

＝b 2

－bc ，

∴b 2

＋c 2

－a 2

＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1

2

，∴A ＝60°. ----------5分

(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2

＝ac ，∴b a ＝c b

. ∴sin B ＝

b sin A a ＝

c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝3

2

. 方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝1

2ac sin B

∵b 2

＝ac ，∴bc sin A ＝b 2

sin B ，∴

b sin B

c ＝sin A ＝sin 60°＝3

2

.----------12分 20. 解析：(1)S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *

)．两式相减， a n ＝2a n －1＋1. --2分,所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *

)，{a n ＋1}为等比数列． --4分

因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1. a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n

－1. --6 分 (2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n

. --------------7分 所以T n ＝3×2＋5×22

＋7×23

＋…＋(2n －1)·2

n －1

＋(2n ＋1)·2n

，

① 2T n ＝ 3×22

＋5×23

＋……………………＋(2n －1)·2n

＋(2n ＋1)·2n ＋1

，②

①－②，得－T n ＝3×2＋2(22

＋23

＋…＋2n )－(2n ＋1)·2

n ＋1

＝6＋2×22

－2n ＋1

1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1

---9分

所以T n ＝2＋(2n －1)·2

n ＋1

. ---10分

若T n －22n －1>2 010，即2n ＋1>2 018.由于210＝1 024,211

＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式T n －2

2n －1

>2 018的n 的最小值是10. ---------------------12分

21. 证明：∵BCD ，AB 平面⊥∴AB ⊥CD ．又BC ⊥CD ．∴CD ⊥平面ABC ； ∵M 、N 分别是AC 、AD 的中点，∴MN//CD ∴MN ⊥平面ABC ；----4分

（2）∵BCD ，AB 平面⊥ ∴ACB ∠就是直线AC 与平面BCD 所成的角 -------5分 ∵BC ⊥CD ．CD ＝3，060=∠BDC ∴BC=3 ∵BCD ，AB 平面⊥∴AB ⊥CB ． ∴AC=10 -------7分 ∴10

10

3cos ==

∠AC BC ACB --------8分 （3）由CD ⊥平面ABC ；得CD ⊥CA ．又N 是AD 中点，NC=AD 2

1

同理NB=

AD 21 NA=NB=NC=ND=AD 2

1

N 就是四面体ABCD 的外接球的球心 ---10分 BD=32AD=13,2

13

=

R ,四面体ABCD 的外接球的表面积S=24R π=13π--12分 22.解：(1)设公差是d,由223a S =得，d d 33)2(2

+=+，

解得2=d 或-1（舍） -----3分所以12-=n a n ------------5分 （2）由（1）得1

21

121)12)(12(2+--=+-=

n n n n b n -------------7分

=n T 11

21

1121121)5131()311(<+-=+--++-+-n n n L -----------9分

又n T 对+∈N n 单增 当n 为奇数时，只需321=<-T λ，即3

2

->λ

当n 为偶数时，只需542=

4

32<<-λ -----12分