《数学广角──鸡兔同笼》教材分析

《数学广角──鸡兔同笼》教材分析

一、教学目标

1.了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。

2.经历自主探究解决问题的过程，体验解决问题策略的多样化。

3．了解列表法、假设法等解决问题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力,增强应用意识和实践能力。

二、教材编排特点

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。其解法包括：列表法、假设法、方程法。由于本单元还没学习到方程法，因此,教材主要引导学生通过猜测、列表和假设等方法来逐步解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力。

1.利用古题激发学习兴趣。

“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题，教材主题图借助富有情趣的古代课堂情境，生动地引出《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，并通过古代课堂上学生冥思苦想的画面和小精灵的提问激发学生解决古代数学问题的兴趣。

2.体现解决问题的策略和方法多样化。

“鸡兔同笼”的原题数据比较大,不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先将《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题数据变小编排了例１，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后,再解决《孙子算经》中数据比较大的原题。

例1教学依次呈现让学生经历从猜测到列表法，再到“假设法”解决问题的探究过程。“阅读材料”中还介绍了古人的巧妙解法,拓宽学生的解题思路。让学生在经历、体验解决问题的过程中感受解决问题的策略和方法的多样化。

3．拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。

配合“鸡兔同笼”问题，教材在“做一做”和练习中安排了一些类似的习题，比如“龟鹤”问题,生活中的一些实际问题,如购物、租船等,让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用,并巩固用列表法、假设法等解题策略。

《数学广角──鸡兔同笼》课标要求

《义务教育数学课程标准（2011年版)》在“学段目标”的“第二学段”中提出:“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”“经历与他人合作交流解决问题的过程,尝试解释自己的思考过程”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。《义务教育数学课程标准（201１年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出:“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思,进一步理解所用的知识和方法,了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。

《数学广角──鸡兔同笼》重难点突破

一、了解“鸡兔同笼”问题的本质，渗透化繁为简的数学思想

突破建议:

1.注重“问题”研究。

“鸡兔同笼”问题是比较有代表性的趣味数学问题,要想教好这一内容，教师首先对这一类

的问题要有一定的研究，对“鸡兔同笼”问题的研究当然不是在繁、难、深上下功夫,而是一方面重点了解这一问题的不同解题思路和策略;另一方面要了解“鸡兔同笼”问题与实际生活的联系，即生活中哪些问题可以用鸡兔同笼的数学思想或解题策略进行解答。

2．体现化繁为简的必要性。

“鸡兔同笼”问题原题的数据比较大，为学生经历猜测、验证的过程提出了挑战,从而使学生充分体会到从简单问题入手的必要性，初步感受化繁为简的思想。因此，在教学时,教师不要急于出示例1，要充分利用教材的主题图，提出有思考价值的问题，如，“为什么猜不准呢?”“数据比较大，不好猜，我们应该怎么办？”借助这样的问题自然过渡到例1。

二、引导学生探索解决问题的策略和方法,丰富解题策略

突破建议:

1．引导学生加深对“鸡兔同笼”数量关系的理解。

教学时可以用一些启发性的问题,引导学生去思考和领悟，如：“为什么脚会少了呢?”“每次把兔子看成鸡，相差了几只脚呢?”“总共少的脚数与每次相差的脚数有什么关系呢?”“这样算出来的数表示的是鸡还是兔？”这些问题犹如抽丝剥茧，能使数量关系清晰地展现出来。运用这些数量关系解决实际问题是培养学生问题解决能力的重要途径。

２.理解假设法的算理,深化学生对假设法的认识。

假设法是一种算术方法,可分为“假设——计算——推理——调整（置换)”四个关键步骤，计算比较简便,但理解算理有一定难度，尤其是推理和调整这两个步骤不好理解，学生过不了这两关就不能真正掌握假设法。教学时,教师要认真分析学生的思维障碍,充分运用直观和其他手段，如借助画图,数形结合等方法，使学生直观地理解推理、调整的过程，包括假设法算式中每一步的含义。

在学生掌握假设法的基础上,教师可通过阅读资料拓展一些特殊的假设思路，如“半兔法”“抬脚法”等，让学生充分感悟假设的巧妙与灵活,并再次运用这种思维去解决一些数学问题。3．丰富学生解题策略。

在解决“鸡兔同笼”问题的方法中,猜测是探究解决此类问题的基础，列表法则有助于通过有序思考找到问题的答案，假设法则有利于培养学生的逻辑推理能力，切实解决此类问题的一般方法。教学时，教师要给学生充分的空间，足够的时间探究、讨论解决此类问题的方法，在小组交流、合作学习的过程中将各种解决方法相互碰撞，了解不同方法的特点,积累解决问题的经验。当然,解决这类问题，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。

《数学广角──鸡兔同笼》课标解读

一、课标要求

《义务教育数学课程标准(201１年版)》在“学段目标”的“第二学段”中提出:“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力,能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考,体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法,了解解决问题方法的多样性”“经历与他人合作交流解决问题的过程,尝试解释自己的思考过程”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准(2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出:“结合实际情境,体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思,进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系,获得数学活动经验”。

二、课标解读

鸡兔同笼问题是我国民间流传下来的一类数学妙题，它集题型的趣味性、解法的多样性、应用的广泛性于一体,具有训练智能的教育功能和价值,是实施开放式教学的好题材。

（一)注意渗透数学思想

《义务教育数学课程标准(2011年版）》将数学基本思想作为“四基”之一提出，模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”之称的概念,实际明示它是数学基本思想之一。教学过程中,要帮助学生积累思维的经验,逐渐形成自己的合理思维方法。

1.渗透化繁为简的思想。

鸡兔同笼的原题数据比较大,不利于首次接触该类问题的学生进行探究。因此，通过化繁为简思想引导学生从简单问题着手,帮助学生探索出解决该类问题的一般方法后,再解决《孙子算经》中数据较大的原题。这样处理,可使学生充分体会到从简单问题入手的必要性，经历先寻找简单问题的求解策略,再将其应用到解决较复杂问题的过程,从而使学生初步感受化繁为简的思想。

2.渗透数形结合的思想。

让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。列表尝试法虽然有局限性，但它是假设法的基础,因此在引导学生用列表尝试法解决问题时,就要有意识地作好铺垫,为下面的教学埋下伏笔。本课的重点放在理解假设法的算理上,充分运用直观和其他手段（如借助画图，数形结合)，能使学生直观地理解推理、调整的过程,包括假设法算式中每一步的含义。

３.渗透数学模型的思想。

数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题,而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。将现实问题转化成数学模型是对学生解决问题能力的检验,也是数学教育的重要任务之一。教学时给学生足够的空间和时间，使学生在巩固解题方法的同时加深对“鸡兔同笼”本质的理解。

“鸡兔同笼”问题的教学就是通过实际生活情境,让学生领悟“发现、抽象、简化、解决、处理”问题的整个思维过程。从“鸡兔”“龟鹤”到“人狗”问题的过程，作出初步的事物对象的提炼，然后通过其它情境突出数量差异的变化，从而提炼简单的问题模型。最后，将模型演绎到各种生活现象和问题情境中促进模型的进一步内化,完成模型的建构与应用。（二）引导学生探索解决问题的策略与方法

在解决“鸡兔同笼”问题的方法中，猜测是探究解决此类问题的基础,列表法则有助于通过有序思考找到问题的答案，假设法则有利于培养学生的逻辑推理能力,切实解决此类问题的一般方法。当然，学生选用哪种方法解决这类问题均可，不强求用某一种方法。

1.让学生经历问题解决的过程。

鸡兔同笼问题,让学生经历解决问题的过程，可以采用数形结合,这一方法比较直观,易学好教，也可采用逐一列表、跳跃列表和折中列表三个层次的列表方法,这种在算的基础上逐步尝试、调整的方法,更符合学生的认知规律和解决问题的习惯，这种回归思维原点、不教也能试的方法，本质就是“逼近”的思想，而“穷举、列表”又体现了分类的思想。在解题教学中渗透数学思想方法,提高学生的数学素养和能力。解题过程实质上是在化归思想的指导下,合理联想。调用一定数学思想方法加工处理题设条件,运用数学思想方法分析解决问题,开拓学生的思维空间,优化解题策略。人教版呈现的三种不同思维层次的方法，蕴藏着不同的数学思想:列表法体现了“分类”的思想,假设法蕴涵着“逼近”思想。在教学中，可从基本的假设法入手,通过例题教学，让学生掌握用假设法解题的技巧,感悟思想方法，并在解决一些实际问题的练习中进行巩固。

2．丰富学生解题策略。

通过例题教学展示多种解题策略,并把每种解决方法及时收归到假设法,从假设的角度去融会

贯通。这种处理方法中，如何将其他策略引至假设法是课堂的关键。对于画图法,可作为理解假设法计算过程的直观辅助手段，起到数形结合加深理解的作用；对于枚举列表法,可作为理解假设法的铺垫材料，因为对列表中鸡（或兔）脚数变化规律的掌握,能促进学生对假设法中难点的突破——即对推理和调整过程的理解；对于方程法，本单元还没有学到，在今后的学习中可作为假设法的另一种形式去理解。

3．有效沟通生活实际问题与“鸡兔同笼”问题的联系。

《义务教育数学课程标准(2０11年版)》明确了问题解决能力的培养是数学课程教学的重要目标。问题解决能力的培养体现在几个领域中的不同数学知识与方法的学习过裎中,贯穿于数学学习的全过程。很多实际问题虽然形式上与“鸡兔同笼”问题不同,但在数量关系上却与“鸡兔同笼”问题一致。教学时依据学生的认知能力和思维水平，帮助学生将各种生活中的实际问题与“鸡兔同笼”问题沟通起来，有效解决问题。