线段和差最值问题-经典模型

线段和（差）的最值问题

此类问题特点：1.两个定点，一个定点； 2. 线段

和最小值，线段差最大值

一、线段和最小值问题

若在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；

（1）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接A 、B 两点交直线m 于一点P ，该点P 即为所求点。（PA+PB=AB

）

（2）同侧型：定点A 、B 在动点P 所在直线m 同侧：（方法：一找二作三连）：

一找：找定点A 、B ，动点P 及动点所在的直线m ；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P ，该点P 即为所求。（

PA+PB=PA’+PB=A’B ）

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二、线段差最大值问题

若在一条直线m 上，求一点P ，使得最大

（1）同侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接

A 、

B 两点交直线

m 于一点P ，该点P 即为所求点。()

（2）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：任选

一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()

线段和最小值练习题

1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，

则BM+MN的最小值为．

2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为

__________．

图1 图2 图3 图4

4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．

5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．

6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB

+PE的最小值是

7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC

上的一个动点，则DN+MN的最小值为．

8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值

为 cm．（结果不取近似值）

图5 图6 图7

9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．

10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B 为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.

如图8 如图9

解答题

1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点

A（3，6）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；

3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点

A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M 的坐标．

5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。

⑴在其对称轴上是否存在一点P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标。

⑵在其对称轴上是否存在一点Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。

(先打)线段和差的最大值与最小值练习题(最全)

初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、 E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧 , 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。( 原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧： 过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左 平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线 m 同侧： m m A m A B m n n n m n n n m m n m n m n m m m m m

线段和差最值问题

专题一.线段和（差）的最值问题 【知识依据】 1．线段公理——两点之间，线段最短； 2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线； 3．三角形两边之和大于第三边； 4．三角形两边之差小于第三边； 5、垂直线段最短。 一、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： P m A B m A B m A B P m A B A' n m A B Q P n m A B P'Q'

（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. n m A B Q P n m A B B'Q P n m A B B'A' n m A B m n A B E D m n A B A'B'm n A P Q m n A A'

二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动：点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： m n A P m n A B m n A P m n A A'B m O A P'P m O B A B' m O A P m O A B A'

线段和差最值问题-经典模型(新)

线段和（差）的最值问题 此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值 一、线段和最小值问题 若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）两侧/异侧型：定点A、 B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。（PA+PB=AB） （2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）： 一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。（PA+PB=PA’+PB=A’B） m A B P m A B 二、线段差最大值问题 若在一条直线m上，求一点P，使得最大 （1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。() （2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()

线段和最小值练习题 1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为. 3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 图1 图2 图3 图4 4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为． 5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是 7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为． 8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为cm．（结果不取近似值） 图5 图6 图7 9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．

中考数学之_线段和(差)的最值问题

求线段和（差）的最值问题 【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短 一、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： m m A B m A B m n m n

（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. n m A n n n m

二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： m n m n m n m m m m m

二次函数有关线段和差面积最值问题-doc

二次函数之最值问题 ◆ 线段和或差（或三角形周长）最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最 短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题． ◆ 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的 线段，与对称轴交于一点,这一点即为所求点.线段长即为最短距离和. ◆ 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值. 几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积ｙ与边长x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐 标即为面积最值． 例１、已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()3,0A -和点()1,0B ，且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是2-．(1)求抛物线的解析式;(２)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD +的最小值．? ? ?例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中,直线3 2y x =- +分别交ｘ轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点Ａ顺时针旋转4５°得到射线AN.点D 为ＡＭ上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1)求线段A Ｃ的长； (２）求△BC Ｄ周长的最小值； （3)当△BCD 的周长取得最小值,且52 BD =时,△BCD 的面积为＿＿__＿___. ? ?????1、已知抛物线21y ax bx =++经过点()1,3A 和点()2,1B ．（１）求此抛物线解析式； (２)点Ｃ、D 分别是ｘ轴和y 轴上的动点,求四边形ABCD 周长的最小值;?(3)过点Ｂ作x 轴的垂线,垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置,使 得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．????

求线段(或线段和)(周长)最值问题

求线段（或线段和）（周长）最值问题 福建莆田月塘中学潘立城 中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。 这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。 解几何最值的“手掌心”是什么呢？ ： 撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。 一、“手掌心”法宝: 三角形中两边之和大于第三边 特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。 ④线段的转移 特征：“定”点在“定”直线上 ⑤二次函数最值 特征：有“表达式” ①垂线段最短 ②两点间线段最短 “弯”线 变 “直”线 特征 “直”线的特征 ①“直”线:定点--动点 (定点--动点--动点） (动点--动点--动点） ②直:定点--动点--定点 直:动点--定点--动点

二、类型名词解释：定直线指动点运动所在的直线 ①垂线段最短特征：“弯”线变“直 ”线对称轴 l A C B M 定点 “弯”线 “直”线 例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中， BC=2 4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分 别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 4 。 ①标：定点A，定点C，动点B 定直线AC，定直线l ②特征：“弯”线变“直”线 对称轴：定直线l 作点A关于定直线l的对称点M “弯”线AB+BC变“直”线MC “直”线:定点M--动点B--定点C 垂线段最短 ①标：定点C，动点M，动点N 定直线BD，定直线BC ②特征：“弯”线变“直”线 对称轴：定直线BD 作点N关于定直线BD的对称点E “弯”线CM+MN变“直”线CME “直”线:定点C--动点M--动点E 垂线段最短

中考数学压轴题解题策略：线段和差最值的存在性问题

线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图1 图2 图3 例题解析 例? 如图1-1，抛物线y ＝x 2 －2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点P 的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此PA ＋PC 最小，△PAC 的周长也最小． 由y ＝x 2 －2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)． 图1-2 图1-3 例?如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．

经典几何中线段和差最值(含答案) (2)

几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． P A +P B 最小， 需转化， 使点在线异侧 B l

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC 边 上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O

中考数学中的二次函数的线段和差以和最值问题

v1.0 可编辑可修改 二次函数与线段和差问题 例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y 轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1）求抛物线解析式。 （2）求顶点D的坐标与对称轴l. （3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。 （4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。 （5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。 （6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。 （7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d ①求d关于h的函数关系式 ②求d的最大值及此时H点的坐标 （8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少

1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。 （1）求此抛物线的解析式。 （2）求AD的长。 （3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线4 1 2+ =x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。 （1）填空：点B 的坐标是 。 （2）过点的直线 （其中）与轴相交于 点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。 （3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

二次函数中线段和差最值问题

二次函数中线段和、差最值问题 姓名： 1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；并求出周长的最小值；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

2、如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，3 2 -），抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点。（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 3、如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|| AM MC -的值最大，求出点M的坐标。

4、如图8，对称轴为直线x =2的抛物线经过点A （-1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ，已知M （0，1），E （a ，0），F （a +1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当a =1时，求四边形MEFP 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由． 图8 O A E F B M C P x y 备用图 A O M C E F x B y P

上海初三数学《线段和差最值》经典例题解析

上海初三数学《线段和差最值》经典例题解析 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图1 图2 图3 例题解析 例? 如图1-1，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC 的周长最小，求点P 的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此P A ＋PC 最小，△P AC 的周长也最小． 由y ＝x 2－2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)． 图1-2 图1-3 例?如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点

B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程． 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ． 在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据 相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43 ，NH ＝1．所以M (83, 0)，N (4, 1)． 图2-2 例? 如图3-1，抛物线248293 y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标． 图3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|P A －PB |的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)． 绝对值|P A －PB |的最小值当然是0了，此时P A ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如 图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x = ．此时P 41(,0)6 ． 在△P AB 中，根据两边之差小于第三边，那么|P A －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当 点P 在BA 的延长线上时，|P A －PB |取得最大值，最大值AB ＝5．此时P 3(,0)2-．

线段和最小值问题--已经分类整理

两线段之和最短专题 一、数学模型 1、实际问题： 要在河边修建一个水泵站，分别向村、庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短 2、数学问题： 已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。 二、构建“对称模型”实现转化 三、练习题 1题图 2题图 3题图 1、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN 的周长为________。 2、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC 的周长为__________。 3、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E， AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。 4、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△ BDC的周长为________．【正方形专区】 5、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点， DN＋MN的最小值为_____ 4题图 5题图 6题图

6.（2013?）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是_________ ． 7.（2013?）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为_________ ． 7题 8题 9题 10题 8.（2012?）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_________ ． 9.如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN= _________ ． 10.（2010?越秀区二模）如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为_________ ． 【菱形矩形梯形专区】 11.（2013?江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= _________ ． 11题 12题 13题 12.（2008?）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________ ． 13.（2011?）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________ ． 14.（2014?一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，AP+EP的最小值为_________ ． 14题

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件 发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的. [例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是. [例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为

对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为

由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. [例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)} ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)} ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 由条件概率公式得,

抛物线与线段和差最值问题(含答案)

线段和差最值问题 一、如图，抛物线2-2 12bx x y +=与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-1，0）. （1）求抛物线的解析式以及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC +MD 的值 最小时，求m 的值。 二、如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-2，-4）、B （2,0）、O （0,0）三点。 （1）求抛物线c bx ax y ++=2的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值。 三、如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标． x C B A D O E y

四、已知抛物线bx x y +=22 1经过点A (4，0），设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为 。 方法总结： 1、（A 、B 两点在直线同侧）线段和最小问题：利用轴对称转化为“两点之间、线段最短”，再利用勾股定理求之； 2、线段差最大问题 分两类（1）A 、B 两点在直线同侧，直接利用“三角形三边关系之任意两边之差小于第三边求解”；（2）A 、B 两点在直线异侧，先利用轴对称转化为同侧，然后再按照（1）方法求解即可，计算过程中需要用到“相似三角形”或“解析式法”求最值或点的坐标.

条件概率及全概率公式练习题

二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公 式 , , ∴

P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

“求两线段长度值和最小”问题全解析 在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个 比较全面的认识和了解，我们特此编写了求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助. 一、在三角形背景下探求线段和的最小值 1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值 例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4运，/ BAC=45 , / BAC的平分线交BC 于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值为 ____________________________ . 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法?我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决. 解：如图1,在AC上截取AE=AN，连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D，所以/ EAMMNAM ,又因为AM=AM , 所以/ AM匡/ AMN ,所以ME=MN .所以BM+MN=BM+MEBE .因为BM+MN 有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4. 1.2在等边三角形中探求线段和的最小值 例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为________________________ .

分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所 学的知识求出这条线段的长度即可. 解：因为等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ,所以EM+CM=BE，过点E作EFZ BC,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以FC=2,EF=』訂—卅=肿—F =2」. 因为BC=6 , FC=2 , 所以BF=4 ?在直角三角形BEF中，BE=厂」亠「，一亠 =「'.■. 二、在四边形背景下探求线段和的最小值 2.1在直角梯形中探求线段和的最小值 例3（ 2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，/ ABC = 90° ADZ BC , AD = 4, AB = 5, BC = 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为___________________ . 分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对 称法.

综合题之线段和差最值问题

中考数学压轴题解题策略 线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题， 常见的是典型的“牛喝水”问题， 关键是指出一条对称 轴“河流”（如图1）. 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图2）. 两条线段差的最大值问题， 一般根据三角形的两边之差小于第三边， 当三点共线时，两 条线段差的最大值就是第三边的长.如图 3, PA 与PB 的差的最大值就是 AB ,此时点P 在 AB 的延长线上，即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题. 例题解析 例1、如图1-1,抛物线y = x 2— 2x — 3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,点P A 与点 B 对称，连结 BC ,那么在 △ PBC 中，PB + PC 总是大于 BC 的.如图1-3，当点 此FA + PC 最小，△ PAC 的周长也最小. 由 y = x 2 OD = 1.所以 DB = DP = 2,因此 P(1, — 2) . P 落在BC 上时，PB + PC 最小，因 图3 P 的坐标. 【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流，点

例2、如图，抛物线y 1x2 4x 4与y轴交于点A, B是OA的中点.一个动点G从 2 点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点 A .如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程. J A B 岸 L 0N 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的 点A'，作点B关于x轴对称的点B 连结A'B与x轴交于点M ,与抛物线的对称轴交于点N . 在Rt△ AAB 中， MH = 4, NH = 1?所以M(8,0), N(4, 1). 3 3 L 6 0'I V 图2-2 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|FA —PB |的最小值与最大值. 由抛物线的解析式可以得到A(0, 2), B(3, 6).设P(x, 0). 绝对值|PA —PB|的最小值当然是0 了，此时PA = PB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2).解方程x2+ 22= (x—3)2+ 62，得x 41.此时P (410). AA = 8, AB = 6，所以A 'B = 10,即点G走过的最短路程为10.根据 OM = 8 3 相似比可以计算得到 例3、如图3-1 , 抛物线 的一个动点，求线段 出相应的点P的坐标. PA 与PB 4 2 x 9 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求 8x 2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上 3

条件概率与全概率公式-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练(原卷版)

专题30 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930 ，下雨的概率为 1130，既吹东风又下雨的概率为830 .则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A ．25 B ．89 C ．811 D ．911 2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为 35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．35 D ．34 3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G 、H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =（ ） A ．2π B ．21π- C ．12 D ．π142 - 4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()P B A =（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知()1P B|A 2= ，()35P A =，()P AB 等于（ ） A ．56 B ．910 C ．310 D ．110 6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38 B ．1340 C ．1345 D ．34 7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ）

浅谈初中数学线段之和最值问题

浅谈初中数学线段之和最值问题 近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。 1.直接应用定（公）理求最值 平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短. 1.1应用两点之间线段最短 教材链接：七上7.3线段的长短作业题： 如图，A 、B 、C 、D 表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由. 解题分析： 教材作业题中，因点D 与点B 、点A 与点C 是定点，当水井打在AC 与BD 的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。 中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B 分别在平面直角坐标系的x 轴,y 轴的正半轴上滑动,点C 在第一象限,连接OC,求OC 的长的最大值. 解题分析：潍坊的这一试题对教材进行了拓展：点C 为动点，直接相联不可能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值, 所以设AB 中点为P ，在一般情况下OP+PC ＞OC ，当O 、P 、C 三点一线时OC=OP+PC 最大. 求解策略：教材的模型是在两定点之间求最小值，根据“两点之间线段最短”，只要把两定点直接相连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，再利用三角形三边关系或两点间线段最短可得出最值. 1.2应用垂线段最短 教材链接：七上7.7相交线（2）作业题 如图,直线l 表示一段河道,点A 表示集镇,图上距离与实际距离之比为1︰2000 000.现要从河l 向集镇A 引水，问沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长度最短？…… 解题分析：教材作业题解决思路是过点A 向垂直于水渠的方向开挖水渠，水渠长最短. 直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短”的原理. 试题链接：2010台湾 如图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动.若AB=AC=5,BC=6，則AP +BP +CP 的最小值为何？ (A) 8 (B) 8.8 (C) 9.8 (D) 10 解题分析：台湾此题AP +PC=AC 为定值5，从而三线段和转化为求BP 最小值，因为B 为定点，P 为AC 上一动点，所以BP 最小值就是定点B 到AC 的垂线段. 求解策略：教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值.解答此类试题只要透过问题找到本质，剔 A C D A B C P